Αρχές διατήρησης στροφορμής , ορμής , ενέργειας και μια απλή αρμονική ταλάντωση

Ένας δίσκος μάζας M = 2 kg και ακτίνας  R =0,1m  μπορεί να στρέφεται ως προς κατακόρυφο σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.

Μια κατακόρυφη επιφάνεια που έχει σχήμα ημικυκλίου ακτίνας r = R/2 είναι στερεωμένη πάνω στον δίσκο όπως φαίνεται στο σχήμα,  όπου Κ το κέντρο του δίσκου.

Αρχικά το σύστημα ηρεμεί.

Μια μικρή σφαίρα  αμελητέων διαστάσεων σε σχέση με την ακτίνα του δίσκου , μάζας  m =M/2  κινείται χωρίς να περιστρέφεται στη διεύθυνση μιας διαμέτρου  του δίσκου,  με ταχύτητα μέτρου  υ =8·2^1/2  m/s  ,  και  φτάνοντας στο  σημείο Κ , μπαίνει εφαπτόμενα στον κυκλικό οδηγό που  ορίζει η κατακόρυφη ημικυκλική επιφάνεια.

Α. Να υπολογίσετε τις τιμές που έχουν τα παρακάτω μεγέθη τη χρονική στιγμή που βγαίνει η σφαίρα από τον κυκλικό οδηγό και εγκαταλείπει το δίσκο κατά τη διεύθυνση της κοινής εφαπτομένης στο απέναντι από το Κ σημείο της περιφέρειάς του:

Α1. το μέτρο  V της  ταχύτητας  της σφαίρας

Α2. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου.

Β. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας από τη στιγμή που μπαίνει στον κυκλικό οδηγό μέχρι τη στιγμή που βγαίνει.

Γ. Η σφαίρα μετά που θα βγει από τον κυκλικό οδηγό,  συνεχίζει να κινείται πάνω σε  οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται τη χρονική στιγμή  t = 0 ,  μετωπικά πλαστικά,  με σώμα Σ μάζας m₁ που κινείται  με αντίθετη ταχύτητα ,  δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο.

Αν το συσσωμάτωμα που προκύπτει , εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω στο οριζόντιο επίπεδο με απομάκρυνση της μορφής  x=0,8·3^1/2·ημ(5·2^1/2·t+π/2)  SI , να υπολογίσετε:

Γ1. Τη σταθερά k του ελατηρίου.

Γ2. Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελούσε το σώμα  Σ πριν την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου Ι_cm = ½MR² ,  η μάζα του κυκλικού οδηγού αμελητέα σε σχέση με τη μάζα του δίσκου, η κρούση γίνεται ακαριαία και ότι κατά της κινήσεις των σωμάτων δεν υπάρχουν τριβές.

Απάντηση