Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται χωρίς απώλειες ένα αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα y) και φτάνει σε μέγιστη απομάκρυνση 0,2m τη στιγμή t₁=0,2s. Το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Κ, στη θέση x_Κ=x₂=3,5m τη χρονική στιγμή t₂=1,4s.

 i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για τις ταλαντώσεις που θα εκτελέσουν τα σημεία Ο και Κ.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή  t₂ που το κύμα φτάνει στο σημείο Κ και για την περιοχή του θετικού ημιάξονα. Ποια η απομάκρυνση του σημείου Ο την παραπάνω χρονική στιγμή;

iv) Ένα σημείο Λ, βρίσκεται στη θέση x_Λ= 4/3 m.

 α) Να βρεθούν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ τη στιγμή t₂.

 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Λ και για το χρονικό διάστημα από 0-t₂.

Απάντηση:

ή

  Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

 Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα συγκρούεται στιγμιαία με άλλο κινούμενο σώμα, με αποτέλεσμα να τίθεται σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x₁=0,4∙ημ(7t), (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου, καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.

ii)  Ακινητοποιούμε το σώμα στη θέση x=0 και κάποια στιγμή (t₀=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=F_ο∙ημ(8t), όπως στο κάτω σχήμα. Το σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης:

x= 0,27∙ημ(7t) - 0,3∙ημ(8t)  (μονάδες στο S.Ι.)

α)  Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (x=0) και την ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t₁ =π/3 s και t₂= π s.

β)  Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος τις παραπάνω στιγμές.

γ)  Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

 

Παρατηρούμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα.  Ποια η περίοδος του διακροτήματος και πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος;

Απάντηση:

ή

  Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

i)  Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια δύναμη, η ισχύς της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διπλανό διάγραμμα.

Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t=2s.

ii) Ένα σώμα μάζας m=0,5kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την εξάσκηση αρμονικής εξωτερικής δύναμης, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,25∙υ (S.Ι.). Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, παίρνουμε ως εξίσωση απομάκρυνσης την x=0,5∙ημ(4t)  (S.Ι.).

 α) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα περνά από τη θέση x₁=0,3m με θετική ταχύτητα, ενώ η εξωτερική δύναμη έχει τιμή F₁=1 Ν. Να υπολογιστούν τη στιγμή t₁:

α₁) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

α₂) Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο σώμα.

α₃) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος.

β) Να υπολογιστούν στη διάρκεια μιας περιόδου, τα έργα:  της δύναμης επαναφοράς, της δύναμης απόσβεσης και της διεγείρουσας εξωτερικής δύναμης.

Απάντηση:

ή

 Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

Αλλαγή του άξονα περιστροφής. Πώς εφαρμόζεται η ΑΔΣ.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται μια ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₀=1rαd/s, όπως στο σχήμα (κάτοψη). Μια σφαίρα μάζας m=Μ=3kg κινείται στο ίδιο επίπεδο με ταχύτητα υ₀ =4m/s και συγκρούεται πλαστικά στο άκρο Α της ράβδου, τη στιγμή που η σφαίρα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.

Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s που προκύπτει, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ι_ο= (1/12)Μl².

Απάντηση:

ή

 Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)

Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)

Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας 0,2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=16Ν/m και με την επίδραση μιας εξωτερικής αρμονικής δύναμης F, εκτελεί ταλάντωση, όπου (μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου) έχει τη μορφή x=0,5∙ημ(10t) (S.Ι.). Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται αντίσταση από τον αέρα της μορφής F_απ=-0,2∙υ (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη κινητική και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του σώματος στη διάρκεια της εξαναγκασμένης αυτής ταλάντωσης.

ii) Για τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση Β του σχήματος, με απομάκρυνση x₁=0,4m και με θετική (προς τα δεξιά) ταχύτητα, να βρεθούν:

α)  Η επιτάχυνση και η εξωτερική δύναμη F.

β)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια. Πόσο είναι το άθροισμα Κ+U;

γ)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.

δ)  Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της αντίστασης αέρα.

Απάντηση:

ή

  Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m και εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση, όπως στο σχήμα, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής F_απ=-b∙υ. Σε μια στιγμή t₁ περνά από τη θέση ισορροπίας του (x=0) κινούμενο προς τα πάνω με ταχύτητα υ₁=5m/s, έχοντας ταυτόχρονα και επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω και μέτρο α₁=1m/s².

i)  Να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.

ii) Να βρεθούν την παραπάνω στιγμή t₁:

α) Η ενέργεια ταλάντωσης.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος Σ.

iii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t₂ το σώμα Σ φτάνει στη θέση Ρ με απομάκρυνση y=1m (θετική φορά προς τα πάνω), με μηδενική ταχύτητα. Για τη στιγμή t₂, να βρεθούν η επιτάχυνση του σώματος Σ, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

iv)  Πόση είναι η μηχανική ενέργεια που εμφανίζεται ως θερμική από τη στιγμή t₁, μέχρι τη στιγμή t₂;

v)   Μια άλλη χρονική  στιγμή t₃ το σώμα περνά από τη θέση y₃=-0,5m κινούμενο προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ₃=3,2m/s. Για τις χρονικές στιγμές t₁, t₂, t₃ ισχύει:

α)  t₁ < t₂ < t₃,    β)  t₁ < t₃ < t₂,   γ)  t₃ < t₁ < t₂.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

 ή

 Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση

 Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και βρίσκεται στην λεία καρότσα ενός φορτηγού, όπως στο σχήμα. Με το σύστημα αυτό, μελετάμε τρεις κινήσεις, η μελέτη των οποίων θα γίνει ως προς έναν προσανατολισμένο άξονα x με αρχή το σημείο Ο, σημείο από το οποίο περνά το σώμα Σ τη στιγμή t₀=0. 

i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v=2m/s, ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.
Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος Σ τη στιγμή t₁=(7π/30)s≈0,7 s.

ii) Το  φορτηγό παραμένει ακίνητο, ενώ το σώμα Σ εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημωt (S.Ι.):

α) Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₁.

β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t₂=π/4 s;

iii) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v, ενώ το σώμα Σ πάνω στην καρότσα τίθεται σε ταλάντωση με την ίδια, εξίσωση x=0,2∙ημωt (S.Ι.), ως προς την καρότσα του φορτηγού:

α) Τι τιμές θα πάρουν τώρα η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₁.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε τη μέγιστη και ελάχιστη κινητική του ενέργεια.

γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t₂;

Σημείωση: Όλα τα παραπάνω μεγέθη θα υπολογιστούν ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.

Απάντηση:

ή

  Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.

 Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.