Το μαγνητικό πεδίο «μισού» αγωγού

 Ο ευθύγραμμος, απείρου μήκους, αγωγός xx΄ διαρρέεται από ρεύμα έντασης i=10 Α.

i)  Να βρεθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Ο το οποίο απέχει r=2cm από τον αγωγό (σχήμα α).

ii) Λόγω συμμετρίας, η ένταση στο Ο οφείλεται τόσο στο τμήμα xΜ, το οποίο δημιουργεί μαγνητικό πεδίο έντασης Β₁, όσο και στο τμήμα Μx΄ το οποίο δημιουργεί μαγνητικό πεδίο έντασης Β₂, οπότε Β₁=Β₂.  Λυγίζουμε τον παραπάνω αγωγό, παίρνοντας τον αγωγού του (β) σχήματος. Να υπολογιστεί η ένταση στο σημείο Ο, αν δίνεται ότι η ένταση που δημιουργεί το τμήμα Μx΄ στην προέκτασή του, είναι μηδενική.

 iii) Στο επίπεδο της σελίδας δίνονται τρεις ευθύγραμμοι αγωγοί, όπως στο σχήμα (γ), όπου i₁=10 Α και i₂=16 Α. Να βρεθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Ο όπου (ΟΜ)=r=2cm.

iv) Στο σχήμα (δ) δύο κατακόρυφοι αγωγοί συνδέονται στο κάτω μέρος τους με αγωγό μήκους r=2cm και διαρρέονται από ρεύμα έντασης i=10 Α. Να υπολογιστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Ο του οριζοντίου επιπέδου, στην προέκταση του ΜΝ σε απόσταση (ΝΟ)=r=2cm.

Απάντηση:

ή

  Το μαγνητικό πεδίο «μισού» αγωγού

  Το μαγνητικό πεδίο «μισού» αγωγού

Το μαγνητικό πεδίο εντός και εκτός

 

Στο σχήμα (σε κάτοψη), σε ένα οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται ένας ευθύγραμμος αγωγός, μεγάλου μήκους, ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι₁=10 Α και ένας οριζόντιος κυκλικός αγωγός κέντρου Ο και ακτίνας r=(π/20)m, ο οποίος διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι₂.

i)  Η βρεθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου (μέτρο και κατεύθυνση) στο κέντρο Ο του κυκλικού αγωγού, που οφείλεται στον ευθύγραμμο αγωγό, αν η απόσταση του Ο από τον αγωγό είναι d=0,2m.

ii) Αν η συνολική ένταση του μαγνητικού πεδίου, που οφείλεται και στους δύο αγωγούς,  στο σημείο Ο, έχει μέτρο Β_ο=3∙10^-5Τ, είναι κάθετη στη σελίδα και έχει φορά προς τα μέσα, να βρείτε την φορά του ρεύματος που διαρρέει τον κυκλικό αγωγό και στη συνέχεια να υπολογιστεί η ένταση Ι₂.

iii) Αν η ΟΚ είναι παράλληλη στον ευθύγραμμο αγωγό, τότε η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο Κ:

Α) Είναι κατακόρυφη ή όχι;

Β) Μπορεί να έχει μέτρο:

α) Β_Κ=0,   β) Β_Κ=1∙10^-5Τ,  γ) Β_Κ=2∙10^-5Τ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Το μαγνητικό πεδίο εντός και εκτός

  Το μαγνητικό πεδίο εντός και εκτός

Δύο άλλοι ασύμβατα κάθετοι αγωγοί

 

Ένας ευθύγραμμος, μεγάλου μήκους, κατακόρυφος αγωγός βρίσκεται στο επίπεδο της σελίδας και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι₁=5Α. Ένας δεύτερος οριζόντιος ευθύγραμμος αγωγός, είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας στο σημείο Α, και διαρρέεται επίσης από ρεύμα έντασης Ι₂=4Α,  με φορά προς τον αναγνώστη, όπως στο σχήμα (οι δύο αγωγοί αποκαλούνται ασύμβατα κάθετοι). Η απόσταση μεταξύ των δύο αγωγών είναι (ΟΑ)= d=0,4m.

i)  Να υπολογιστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί ο οριζόντιος αγωγός στο σημείο Ο, καθώς και η δύναμη που ασκείται σε ένα στοιχειώδες τμήμα ds₁ μήκους 1cm του κατακόρυφου αγωγού, το οποίο έχει μέσον το σημείο Ο.

ii)  Αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το σημείο Α του οριζόντιου αγωγού με το μέσον Μ του τμήματος ds₂ (ds₂=ds₁) σχηματίζει γωνία φ με την ΑΟ (ημφ=0,6 και συνφ=0,8), να υπολογίσετε την ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Μ και να υπολογίσετε την δύναμη που το μαγνητικό πεδίο του οριζόντιου αγωγού, ασκεί στο τμήμα ds₂.

iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για το τμήμα ds₃ συμμετρικού του ds₂, ως προς το Ο;

Θεωρούμε ότι σε όλα τα σημεία κάθε στοιχειώδους τμήματος ds επικρατεί η ίδια ένταση με αυτήν του μέσου του, ενώ k_κ=10^-7Ν/Α².

Απάντηση:

ή

 Δύο ασύμβατα κάθετοι αγωγοί

 Δύο ασύμβατα κάθετοι αγωγοί

Η ισορροπία και η κίνηση μιας πλάκας

 

Μια ορθογώνια πλάκα, με πλευρές α=1,2m και β=1,6m και μάζας 15kg, ηρεμεί όρθια σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,8. Σε μια στιγμή ασκούμε στην πάνω δεξιά κορυφή της Α, μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του μέτρου της ασκούμενης δύναμης F, για την οποία η πλάκα ισορροπεί;

ii) Αν το μέτρο της δύναμης γίνει ίσο με F₁=70Ν να υπολογιστούν:

α) η αρχική επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο της πλάκας.

β) Οι αρχικές τιμές της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου και της ασκούμενης τριβής στην πλάκα.

iii) Αν για τους συντελεστές τριβής μεταξύ πλάκας και επιπέδου είχαμε μ=μ_s=0,3, να βρεθεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της πλάκας και η επιτάχυνση της κορυφής Β, με την επίδραση της δύναμης F₁.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς κάθετο στο επίπεδό της άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας Ο,  Ι= Μ(α²+β²)/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

  ή

 Η ισορροπία και η κίνηση μιας πλάκας

 Η ισορροπία και η κίνηση μιας πλάκας

Μια οριζόντια βολή και δύο αατ

 

Σε ένα οριζόντιο λείο υπερυψωμένο σκαλοπάτι ηρεμούν δύο σφαίρες Α και Β, της ίδιας ακτίνας, σε ύψος h=0,8m από το έδαφος, η πρώτη δεμένη στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Απομακρύνουμε την σφαίρα Α, από την θέση ισορροπίας της, συμπιέζοντας το ελατήριο και τη στιγμή t₀=0 την αφήνουμε να κινηθεί και να εκτελέσει αατ, με εξίσωση απομάκρυνσης:

x=0,5∙ημ(10t+ 3π/2).

Την χρονική στιγμή t₁=π/12s η σφαίρα Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Β, η οποία πέφτει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση d=h.

i) Να βρεθεί η αρχική απόσταση των δύο σφαιρών, καθώς και η ταχύτητα της Α σφαίρας ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα της Β σφαίρας, τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος;

iii) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου, αν δίνεται η μάζα της Β σφαίρας m₂=1,5kg.

iv) Αν Ε₁ η ενέργεια της ταλάντωσης της Α σφαίρας πριν την κρούση και Ε₂ μετά από την κρούση, να βρεθεί ο λόγος Ε₂/Ε₁.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια οριζόντια βολή και δύο αατ

 Μια οριζόντια βολή και δύο αατ

Η ολίσθηση και η ανατροπή του ορθογωνίου

Τo κατακόρυφο ομογενές ορθογώνιο κιβώτιο του σχήματος, έχει μάζα Μ=40kg και ηρεμεί στην καρότσα ενός ακίνητου φορτηγού, ενώ μέσω νήματος, το οποίο περνά από μια αβαρή τροχαλία, ισορροπεί ένα σώμα Σ, μάζας m=4kg, όπως στο σχήμα, όπου το νήμα μεταξύ κιβωτίου και τροχαλίας είναι οριζόντιο. Δίνονται οι συντελεστές τριβής  μεταξύ του κιβωτίου και της καρότσας του φορτηγού μ=μ_s=0,2, ενώ το κιβώτιο έχει διαστάσεις h=1m και d=0,4m και g=10m/s².  Σε μια στιγμή το φορτηγό αρχίζει να επιταχύνεται με αυξανόμενη επιτάχυνση, ξεκινώντας από μηδενική τιμή.

i)  Τι πρόκειται να συμβεί πρώτα. Το κιβώτιο θα ολισθήσει ή θα ανατραπεί;

ii)  Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ κιβωτίου και καρότσας, ώστε να συμβεί πρώτα το αντίθετο ενδεχόμενο, σε σχέση με το προηγούμενο ερώτημα.

Απάντηση:

ή

 Η ολίσθηση και η ανατροπή του ορθογωνίου

 Η ολίσθηση και η ανατροπή του ορθογωνίου

 

Ένας δίσκος μέσα σε ασανσέρ

 

Ένας λεπτός δίσκος μάζας m, βρίσκεται μέσα σε ακίνητο ασανσέρ, με το δάπεδο του οποίου παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μ_s. Σε μια στιγμή t=0 το ασανσέρ αποκτά κατακόρυφη επιτάχυνση με φορά προς τα πάνω και μέτρο α=2,5m/s², ενώ ταυτόχρονα ασκούμε στον κύλινδρο, στο σημείο Α, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του, δύναμη F, όπως στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι ο κύλινδρος κινείται μαζί με το ασανσέρ προς τα πάνω, χωρίς να μετακινείται οριζόντια και χωρίς να περιστρέφεται.

i)  Αν Γ το σημείο επαφής του δίσκου με το δάπεδο του ασανσέρ, τότε ο φορέας της δύναμης F, συναντά το δάπεδο:  

α) Σε ένα σημείο αριστερά του Γ.

β) Στο Γ.

γ) Σε ένα σημείο δεξιά του Γ.

ii) Αν το μέγιστο δυνατό μέτρο της δύναμης F, για να έχουμε την παραπάνω εικόνα είναι F= ¼ mg√2, τότε ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής, μεταξύ δίσκου και δαπέδου, παίρνει τιμές:

α) 0,1 ≤ μ_s ≤ 0,2,    β)  0,2 ≤ μ_s ≤ 0,3,     γ)  0,3 ≤ μ_s ≤ 0,4.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ένας δίσκος μέσα σε ασανσέρ.

 Ένας δίσκος μέσα σε ασανσέρ.

Μέχρι η ράβδος να ολισθήσει…

 

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=3m και μάζας Μ=40kg συγκρατείται σε οριζόντια θέση, ενώ ένα τμήμα της μήκους δ=1m στηρίζεται πάνω σε τραπέζι, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την ράβδο να πέσει και παρατηρούμε ότι στρέφεται γύρω από το άκρο Α του τραπεζιού, μέχρι να στραφεί κατά 12°, αφού στη συνέχεια ολισθαίνει.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της ράβδου, στη θέση που αρχίζει η ολίσθηση.

ii) Πόση είναι η κάθετη αντίδραση του τραπεζιού, στην παραπάνω θέση;

iii) Να υπολογιστεί ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τραπεζιού.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι_cm=mℓ²/12 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ για την γωνία των 12° , ημθ=0,2 και συνθ=0,98.

Απάντηση:

ή

 Μέχρι η ράβδος να ολισθήσει…

 Μέχρι η ράβδος να ολισθήσει…

Τρεις ισορροπίες με μια δύναμη

 

Ένα σώμα βάρους w=100Ν θέλουμε να ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s =√3/5, με την επίδραση δύναμης F παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο.

Ζητάμε τις δυνατές τιμές για το μέτρο της δύναμης F, στις τρεις περιπτώσεις που φαίνονται στο σχήμα, όπου:

i) Στο σχήμα (α) το σώμα είναι ένας κύβος και η δύναμη ασκείται στο κέντρο του.

ii) Στο (β) σχήμα το σώμα είναι ένας δίσκος και η δύναμη ασκείται στο κέντρο του.

iii) Στο (γ) σχήμα, ο ίδιος δίσκος αλλά η δύναμη ασκείται μέσω ενός τυλιγμένου νήματος στην περιφέρειά του.

Απάντηση:

ή

 Τρεις ισορροπίες με μια δύναμη

 Τρεις ισορροπίες με μια δύναμη

Δυο παραλλαγές. Η 2η … δύσκολη.

 

Ένα σώμα Σ μάζας m (αμελητέων διαστάσεων) τοποθετείται στην εσωτερική λεία επιφάνεια, ενός κενού κυλίνδρου, μάζας Μ=2m και ακτίνας R=1m, όπως στο σχήμα, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας, ενώ ο κύλινδρος συγκρατείται ακίνητος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερα το σώμα Σ και τον κύλινδρο να κινηθούν. Δίνεται ότι ο κύλινδρος κυλίεται, ενώ τη στιγμή που το σώμα Σ φτάνει στην κατώτερη θέση της τροχιάς του, έχει ταχύτητα μέτρου υ₁, ενώ ο άξονας του κυλίνδρου έχει ταχύτητα μέτρου  υ_cm=υ₂.

i) Το οριζόντιο επίπεδο είναι ή όχι λείο;

ii) Για τα μέτρα των δύο ταχυτήτων ισχύει:

α) υ₁=υ₂,   β) υ₁=2υ₂,   γ) υ₁=3υ₂,   δ) υ₁= 4υ₂.

iii) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητα υ₁ του σώματος Σ, στην κατώτερη θέση της τροχιάς του.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η μάζα του κυλίνδρου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του.

Απάντηση:

ή

 Δυο παραλλαγές. Η 2η … δύσκολη.

 Δυο παραλλαγές. Η 2η … δύσκολη.

Δυο παραλλαγές. Η 1η …εύκολη.

Ένα σώμα Σ μάζας m=5kg (αμελητέων διαστάσεων) τοποθετείται στην εσωτερική λεία επιφάνεια, ενός κενού κυλίνδρου, μάζας Μ=2m και ακτίνας R=1,2m, όπως στο σχήμα, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας, με τον κύλινδρο ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερα και το σώμα Σ και τον κύλινδρο να κινηθούν, οπότε τη στιγμή t₁ το Σ φτάνει στην κατώτερη θέση με ταχύτητα υ₁.

i) Να εξετασθεί η ορθότητα ή μη των παρακάτω προτάσεων.

α)  Στο χρονικό διάστημα 0-t₁ η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

β)  Στο χρονικό διάστημα 0-t₁ η στροφορμή του συστήματος, ως προς το σημείο επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο (σημείο Α), παραμένει σταθερή.

γ) Ο κύλινδρος θα περιστραφεί κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού.

ii) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητα υ₁ του σώματος Σ, στην κατώτερη θέση της τροχιάς του.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η μάζα του κυλίνδρου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του.

Απάντηση:

ή

 Δυο παραλλαγές. Η 1η …εύκολη.

 Δυο παραλλαγές. Η 1η …εύκολη.