Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

 Ας δούμε την  ισορροπία μιας επίπεδης πλάκας, με το επίπεδό της κατακόρυφο, σε δύο περιπτώσεις, όπου από τη στήριξη σε δύο σημεία, περνάμε στην στήριξη από το επίπεδο.

Άσκηση 1η:

Μια τετράγωνη επίπεδη ομογενής πλάκα, πλευράς α=0,4m και βάρους w= 200Ν, ισορροπεί με το επίπεδό της κατακόρυφο, στηριζόμενη σε  δύο μικρούς κώνους, πολύ κοντά στις κάτω κορυφές της Α και Β, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις στήριξης στην πλάκα από τους δυο κώνους.

ii) Να υπολογιστούν οι κάθετες αντιδράσεις που θα ασκήσουν οι κώνοι, αν ασκήσουμε στην  κορυφή Γ, μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=68Ν και η πλάκα συνεχίζει να ισορροπεί.

iii) Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης , ώστε  η πλάκα να πάψει να στηρίζεται στην κορυφή Α, ενώ συνεχίζει να ισορροπεί; Στην περίπτωση αυτή, ποια η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής…

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια ισορροπία και… μισή.

 

Μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους L και βάρους w, ισορροπεί σε ορι­ζόντια θέση όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ είναι δεμένη με νήμα στο μέσον της Μ, νήμα το οποίο σχηματίζει γωνία θ=45° με τη ράβδο.

i  Να εξετάσετε αν ο τοίχος μπορεί να είναι λείος ή απαιτείται να είναι τραχύς για να ασκηθεί στη ράβδο δύναμη τριβής. 

ii) Να μελετήσετε την ισορροπία του τμήματος ΜΒ της ράβδου, αντιμετωπίζοντάς το σαν ένα ανεξάρ­τητο στερεό σώμα, το οποίο δεν δένεται με το νήμα.

Απάντηση:

ή

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

 

Ένα στερεό s αποτελείται από μια ομογενή ράβδο μάζας Μ=3kg, μήκους (ΑΒ)= l=4m, στο άκρο Β της οποίας έχει προσδεθεί ένα σημειακό υλικό σημείο Σ μάζας m=1kg. Το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο Ο, το οποίο απέχει 1m από το άκρο Α της ράβδου, όπως στο σχήμα. Το στερεό s ισορροπεί με τη ράβδο οριζόντια, δεμένο με νήμα στο σημείο Γ, όπου (ΟΓ)=2m, δεμένο σε ταβάνι. Το νήμα σχηματίζει γωνία θ με τη ράβδο, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6.

i)  Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το υλικό σημείο Σ.

Ελευθερώνουμε το στερεό από το νήμα, το φέρνουμε στη θέση (1) του διπλανού σχήματος και το αφήνουμε να περιστραφεί. Μετά από λίγο το στερεό περνά από την θέση (2) με τη ράβδο οριζόντια, έχοντας  γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=2rαd/s και γωνιακή επιτάχυνση αγ=15/4 rad/s2, της ίδιας κατεύθυνσης. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

ii)  Η ταχύτητα του υλικού σημείου Σ, καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη επιτάχυνσή του. 

iii) Η δύναμη που το σώμα Σ ασκεί στη ράβδο. 

iv) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του υλικού σημείου Σ ως προς τον άξονα περιστροφής.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ, ισορροπεί όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άκρο της Β είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος. Η σανίδα έχει βάρος w=100N και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i) Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που δέχεται η σανίδα από την άρθρωση.

ii) Τοποθετούμε πάνω στη σανίδα, πολύ κοντά στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, βάρους w1=50Ν,  το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων και βλέπουμε να ισορροπεί. Να υπολογισθεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα.

iii) Αν μεταξύ σώματος Σ και σανίδας δεν αναπτύσσονται τριβές, να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα, μόλις το σώμα Α αφεθεί να κινηθεί στο μέσον Μ της σανίδας.

Απάντηση:

ή

 Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα 

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

 Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L, αφήνεται σε ισορροπήσει σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σχηματίζοντας με το επίπεδο γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8, ενώ στηρίζεται σε ένα βαρύ κιβώτιο ύψους h, το οποίο είναι προσκολλημένο στο επίπεδο.

i)  Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₁ = 0,2L όπως στο σχήμα (α), να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα ισορροπήσει.

ii) Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₂=0,3L, όπως στο σχήμα (β), να δείξετε ότι μπορεί να υπάρξει ισορροπία, αρκεί να αναπτυχθεί τριβή στο σημείο στήριξης Μ. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και κιβωτίου είναι ίσος με μ_s=μ=0,6  θα εξασφαλιστεί η ισορροπία;

iii) Αν στο σχήμα (γ) h₃= 0,5L, να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-κιβωτίου, ώστε η ράβδος να ισορροπεί.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Η ισορροπία ενός αγωγού

Ένας ευθύγραμμος μη ομογενής αγωγός ΑΓ ισορροπεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σχηματίζοντας γωνία θ, με την οριζόντια διεύθυνση, όπως στο σχήμα, όπου το σημείο πρόσδεσης Ο είναι πλησιέστερα στο άκρο Γ.

i) Αν φέρουμε τον αγωγό σε οριζόντια θέση και τον αφήσουμε ελεύθερο να κινηθεί, να εξετάσετε αν θα ισορροπήσει ή θα στραφεί κατά κάποια γωνία.

ii)   Αν ο αγωγός αυτός διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, με φορά από το Α στο Γ (οι αγωγοί σύνδεσης δεν εμφανίζονται στο σχήμα και δεχόμαστε ότι δεν επηρεάζουν την ισορροπία του ΑΓ), να εξηγήσετε γιατί ο αγωγός ΑΓ, δεν μπορεί να ισορροπεί στη θέση που δείχνει το σχήμα, αν στο χώρο επικρατεί ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο με δυναμικές γραμμές κάθετες στο επίπεδο της σελίδας.

iii) Μήπως ο αγωγός θα μπορούσε να ισορροπήσει σε οριζόντια θέση όταν διαρρέεται από ρεύμα;

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία ενός αγωγού

Η ισορροπία ενός αγωγού

 

Μας λείπει η δυναμική του ‎στερεού…‎

 

Κυκλική στεφάνη μάζας Μ = 4kg είναι ακίνητη πάνω σε μια δοκό ΑΒ, στο σημείο Ρ. Το άνω άκρο της δοκού Α συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το κάτω άκρο της ακουμπά σε λείο οριζόντιο δάπεδο σχηματίζοντας γωνία θ με αυτό, όπου ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8. Η ισορροπία της στεφάνης εξασφαλίζεται από κατακόρυφο νήμα που εφάπτεται στη στεφάνη, όπως στο σχήμα.

i)  Να αποδείξετε ότι η στεφάνη δέχεται κατακόρυφη δύναμη από την δοκό και να υπολογίσετε τις συνιστώσες της, μια κάθετη και μια παράλληλη στην επιφάνεια της δοκού.

ii) Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα, οπότε η στεφάνη κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) κατά μήκος της δοκού.

α) Κάποιος συμμαθητής σας υποστηρίζει ότι στη διάρκεια της κίνησης της στεφάνης ασκείται τριβή ολίσθησης πάνω της από την σανίδα. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την άποψη αυτή;

β) Κάποιος άλλος συμμαθητής σας υποστηρίζει αντίθετα, ότι κατά την κύλιση δεν ασκείται τριβή στην στεφάνη. Σας βρίσκει σύμφωνο η θέση αυτή ή όχι και γιατί;

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της στεφάνης, τη χρονική στιγμή t₁=2s.

iv) Αφού υπολογίστε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη στεφάνη, στη διάρκεια της κίνησης, να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων αυτών από 0-t₁. Πόση είναι η κινητική ενέργεια της στεφάνης τη στιγμή t₁;

v) «Στη διάρκεια της κύλισης, η άρθρωση ασκεί στο άκρο Α της δοκού μια κατακόρυφη δύναμη F». Χωρίς να προβείτε σε ακριβείς υπολογισμούς δυνάμεων, να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή λάθος.

Δίνεται g=10m/s², ενώ το μήκος της  δοκού είναι αρκετά μεγάλο, ώστε η στεφάνη να παραμένει πάνω της τη στιγμή t₁.

Απάντηση:

ή

Μας λείπει η δυναμική του ‎στερεού…‎

Μας λείπει η δυναμική του ‎στερεού…‎

Ο κύλινδρος και η ράβδος

 

Σε οριζόντιο επίπεδο  ηρεμεί ένας κύλινδρος. Φέρνουμε μια ράβδο την οποία στηρίζουμε σε κάποιο σημείο της στο κύλινδρο και το άλλο άκρο της στο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Αν μεταξύ ράβδου και κυλίνδρου δεν αναπτύσσονται τριβές, ενώ τριβές εμφανίζονται μεταξύ τω νδύο σωμάτων και του επιπέδου: 

i)  Αν υποθέσουμε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί, να εξετάσετε αν μπορεί να ισορροπήσει και η ράβδος, οπότε ισορροπεί και το σύστημα των δύο σωμάτων. 

ii)  Αν υποθέσουμε ότι η ράβδος ισορροπεί, να εξετάσετε αν μπορεί να ισορροπεί και ο κύλινδρος, οπότε εξασφαλίζεται και η ισορροπία του συστήματος. 

Απάντηση: 

ή

 Ο κύλινδρος και η ράβδος

Ο κύλινδρος και η ράβδος

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 4m και βάρους 400Ν. Σε μια στιγμή στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=80Ν και παρατηρούμε ότι η σανίδα συνεχίζει να ηρεμεί. 

i)  Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη δοκό, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο μάζας Κ της δοκού. 

ii) Ποια η μέγιστη τιμή F1 που μπορεί να πάρει το μέτρο της δύνα-μης αυτής, χωρίς να πάψει η δοκός να ισορροπεί;  

iii) Μεταβάλλοντας το μέτρο της κατακόρυφης αυτής δύναμης, ανασηκώνουμε τη δοκό, φέρνοντάς την να ισορροπεί σε μια νέα θέση, όπου σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπως στο κάτω σχήμα. Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F2, σε συνάρτηση με την γωνία θ. 

Απάντηση:

ή

 Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w₁=40Ν, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, αρθρωμένη στο άκρο της Β σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ έχει προσδεθεί στο άκρο της Α, μέσω οριζόντιου νήματος, με τον τοίχο. Στο άκρο της Α, έχει δεθεί και το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m,  στο άλλο άκρο του οποίου ηρεμεί μια σφαίρα Σ μάζας m=4kg.

i) Να υπολογιστούν τα μέτρα της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, στο άκρο της Β.

ii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,3m και τη στιγμή t₀=0, την αφήνουμε να κινηθεί, με αποτέλεσμα να εκτελέσει αατ.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.

β) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο Τ=f(t)  και να παρασταθεί γραφικά.

iii) Σε μια στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση ισορροπίας της, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Σ₁, μάζας m₁=2kg, η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ₁, για την οποία μηδενίζεται η τάση του νήματος, που συγκρατεί τη ράβδο.

Δίνεται g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

Ισορροπία μιας ορθογώνιας πλάκας

 

Μια λεπτή ομογενής ορθογώνια πλάκα, βάρους w=200Ν, ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο πρώτο σχήμα. Οι πλάκα έχει πλευρές α=0,4m και β=1m.

i)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο και αφού υπολογίσετε τα μέτρα τους, να υπολογίστε τη ροπή καθεμιάς, ως προς το κέντρο Ο της πλάκας και ως  προς την κορυφή της Β.

ii) Ασκούμε στην κορυφή Α της πλάκας μια δύναμη μέτρου F=50Ν, η οποία σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, όπως στο δεύτερο σχήμα, με αποτέλεσμα η πλάκα να συνεχίσει να ισορροπεί.

α) Να σχεδιάστε ξανά τις ασκούμενες δυνάμεις στην πλάκα και να υπολογίστε τα μέτρα τους.

β) Να υπολογίσετε ξανά τις ροπές όλως των δυνάμεων ως προς το κέντρο Ο και ως προς την κορυφή Β.

γ) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ πλάκας και επιπέδου, για να εξασφαλίζεται η παραπάνω ισορροπία;

iii) Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ πλάκας και επιπέδου είναι διπλάσιος από αυτόν που υπολογίσατε παραπάνω και αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, ώστε F=F₁=60Ν, τότε τι πρόκειται να συμβεί:

α) Η πλάκα θα συνεχίσει να ισορροπεί.

β) Η πλάκα θα επιταχυνθεί μεταφορικά προς τα δεξιά, ολισθαίνοντας πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

γ) Η πλάκα θα περιστραφεί γύρω από την κορυφή της Β.

δ) Η πλάκα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία μιας ορθογώνιας πλάκας

 Ισορροπία μιας ορθογώνιας πλάκας

Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

 

Ένας ομογενής λεπτός δίσκος, κέντρου Κ, βάρους w=100Ν και ακτίνας R=3/8m, ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8 με την βοήθεια νήματος που έχει τυλιχθεί γύρω του, το άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σημείο Μ, έτσι ώστε το τμήμα του νήματος ΜΑ να είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο.

i) Αφού αποδείξετε ότι το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο, να υπολογιστεί το μέτρο της  δύναμης F που ασκεί στον δίσκο το νήμα (η τάση του νήματος).

Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και ο δίσκος αρχίζει να κυλίεται με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Μετά από λίγο,  τη στιγμή t₁, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα, όπου η  επιτάχυνση του σημείου Α, έχει μέτρο α=10m/s² και κατευθύνεται προς την βάση Ο του επιπέδου, όπου το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ σχηματίζει γωνία θ με το κεκλιμένο επίπεδο. Να επισημανθεί ότι το σημείο Α, είναι αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής Β, του δίσκου με το επίπεδο. Να υπολογιστούν τη στιγμή αυτή t₁:

ii) Η επιτάχυνση του σημείου Β.

iii) Η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα  υ_cm του κέντρου μάζας Κ του στερεού.

iv) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.

Απάντηση:

ή

 Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

 Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.