Προς τα πού θα στραφεί;

Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας 2m μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το σημείο της Ρ, όπου (ΑΡ)= ¼ (ΑΒ), ενώ στα  δυο άκρα της κρέμονται μέσω νημάτων δύο σώματα. Το Σ₁ μάζας m και το Σ₂ μάζας 4m. Το σύστημα συγκρατείται ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί.

Η ράβδος θα:

i) περιστραφεί δεξιόστροφα

ii) περιστραφεί αριστερόστροφα

iii) ισορροπήσει.

Απάντηση:

ή

Προς τα πού θα στραφεί;

Δυνάμεις από και προς… σε κύλινδρο που ισορροπεί

Ένας κύλινδρος Α βάρους w ισορροπεί βυθισμένος σε υγρό, όπως στο διπλανό σχήμα (θέση (1)), όπου το μισό ύψος του είναι έξω από το υγρό. Προκειμένου να τον βυθίσουμε πλήρως, τοποθετούμε πάνω του έναν δεύτερο κύλινδρο Β. Το πείραμα προφανώς πραγματοποιείται εντός της ατμόσφαιρας (δεν θα μπορούσε άλλωστε να συμβεί και διαφορετικά…)

i) Η δύναμη που ασκεί ο κύλινδρος Α στο υγρό στη θέση (1) είναι:

α) μικρότερη του βάρους w,

β) ίση με το βάρος,

γ) μεγαλύτερη από το βάρος του κυλίνδρου.

ii) Στη θέση (2) το υγρό ασκεί στον κύλινδρο Α δύναμη μέτρου:

α) F₁=w,  β) F₁=2w,  γ) F₁>2w

Απάντηση:

ή

Δυνάμεις από και προς… σε κύλινδρο που ισορροπεί

Η τροχαλία και η κρούση

Στο σχήμα εμφανίζεται το ίδιο σύστημα σε ισορροπία, με την μόνη διαφορά ότι το αβαρές νήμα έχει πολλές φορές τυλιχθεί στο αυλάκι της Α τροχαλίας, σε αντίθεση με το δεύτερο νήμα, που απλά περνά από το αυλάκι της Β.

i) Για την ισορροπία του συστήματος ασκούμε κατακόρυφες δυνάμεις στο μικρότερο σώμα Σ₂. Για τα μέτρα τους ισχύει:

ii) Αν καταργήσουμε τις ασκούμενες δυνάμεις, τότε το σώμα Σ₁ πέφτει και μετά από λίγο προσκολλάται στο έδαφος, ενώ τα νήματα δεν γλιστρούν στα αυλάκια των τροχαλιών. Στη διάρκεια της πτώσης:

α) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά η τροχαλία Α.

β) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά η τροχαλία Β.

γ) Οι δύο τροχαλίες αποκτούν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση.

iii) Αμέσως μετά την πρόσκρουση του Σ₁ με το έδαφος, μεγαλύτερη κατά μέτρο γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:

α) Η Α τροχαλία,  β) Η Β τροχαλία,  γ) αποκτούν γωνιακές επιταχύνσεις με ίδιο μέτρο.

Απάντηση.

ή

Η τροχαλία και η κρούση

Μια μόνιμη ροή και η πίεση

Κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής, συνδέεται ένας χονδρός οριζόντιος σωλήνας διατομής Α₁, ο οποίος καταλήγει σε δεύτερο διατομής Α₂= ½ Α₁. Μέσω των σωλήνων αυτών έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή νερού, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό με παροχή Π₁.

i) Η πίεση στο σημείο Α έχει τιμή:

α) p_Α=p_ατμ,  β) p_Α=p_ατμ + ½ ρgh,  γ) p_Α=p_ατμ + ¾  ρgh,  δ) p_Α=p_ατμ + ρgh

ii) Αν ο σωλήνας δεν στένευε αλλά είχε σταθερή διατομή Α₁, τότε για την παροχή Π₂ θα είχαμε:

α) Π₂=Π₁,  β) Π₂=2Π₁,  γ) Π₂=4Π₁

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση.

ή

Μια μόνιμη ροή και η πίεση

Το ψάρι, η σπηλιά και η πίεση.

Στο σχήμα, ένα μικρό ψάρι κινείται οριζόντια και περνά από τις θέσεις Α, Β και Γ, όπου στο χώρο Σ υπάρχει μια σπηλιά.

i) Για τις πιέσεις στις θέσεις Α, Β και Γ ισχύει:

α) p_Α<p_Β<p_Γ , β) p_Α= p_Β<p_Γ,  γ) p_Α= p_Β = p_Γ.

ii) Σε ποια από τις παραπάνω θέσεις, το μάτι του ματιού δέχεται μεγαλύτερη δύναμη από το νερό της θάλασσας;

iii) Υποστηρίζεται ότι η σπηλιά Σ του σχήματος, επικοινωνεί με την ατμόσφαιρα, μέσω κάποιων σχισμών που εμφανίζονται στα  πετρώματα που βρίσκονται από πάνω της. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε; Εξηγήστε την άποψή σας.

Απάντηση:

ή

Το ψάρι, η σπηλιά και η πίεση.

Να πάμε αριστερά ή να πάμε δεξιά;

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο ελατήρια με σταθερές k₁ και k₂ που ικανοποιούν την σχέση k₁ = 2k₂. Το σώμα Σ μάζας m βρίσκεται αρχικά στην θέση ισορροπίας. Το σύστημα το διεγείρουμε σε ταλάντωση με δύο τρόπους. Στην πρώτη περίπτωση μετακινούμε το σώμα προς τα αριστερά μέχρι να φτάσει το ελατήριο σταθεράς k₁ στο φυσικό του μήκος και το αφήνουμε από εκεί να ταλαντωθεί, ενώ στην δεύτερη περίπτωση μετακινούμε το σώμα προς τα δεξιά μέχρι να φτάσει το ελατήριο σταθεράς k₂ στο φυσικό του μήκος και το αφήνουμε ξανά να ταλαντωθεί. Αν ονομάσουμε Α₁ το πλάτος για την πρώτη περίπτωση διέγερσης και Α₂ το πλάτος για την δεύτερη περίπτωση διέγερσης και Ε₁ και Ε₂ τις αντίστοιχες ενέργειες ταλάντωσης τους τότε:

Α. Ο λόγος των περιόδων ταλάντωσης για τις δύο περιπτώσεις είναι ίσος με:

    

Μια ταλάντωση και ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m, μέχρι τη θέση Ρ που το ελατήριο αποκτά το φυσικό μήκος του και το αφήνουμε να κινηθεί, ξαναπιάνοντάς το τη στιγμή που μηδενίζεται ξανά η ταχύτητά του. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.

Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω προτάσεις.

i)  Η αρχική επιτάχυνση του σώματος είναι ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g.

ii) Τη χρονική στιγμή t₂ το σώμα έχει επιτάχυνση -g.

iii) Η αρχική φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης είναι φ₀ =3π/2.

iv) Ισχύει t₂-t₁ = 0,1π (s), όπου  τη στιγμή t₁ η ταχύτητα είναι μέγιστη.

v) Η μέγιστη δύναμη που ασκεί το σώμα Σ στο ελατήριο είναι διπλάσια του βάρους του.

Δίνεται g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

Μια ταλάντωση και ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Πόσο θα ανέβει το νερό στο σωλήνα;

Μια μεγάλη δεξαμενή περιέχει νερό σε βάθος Η. Κοντά στον πυθμένα της ξεκινά ένας σωλήνας Σ, σταθερής διατομής, ο οποίος μετά από ένα οριζόντιο τμήμα του, ανυψώνεται και τελικά καταλήγει σε ύψος h από τον πυθμένα της δεξαμενής. Στο οριζόντιο τμήμα, έχει προσαρμοσθεί ένας δεύτερος κατακόρυφος σωλήνας σ. Αν νερό εκρέει με μια σταθερή ταχύτητα υ, από το δεξιό ανοικτό άκρο του σωλήνα Σ, τότε για το ύψος του νερού h₁ στο σωλήνα σ ισχύει:

α) h₁< h,     β) h₁ = h,      γ) h< h₁< Η,       δ) h₁=Η.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας, θεωρώντας το νερό ιδανικό ρευστό και τη ροή μόνιμη.

Απάντηση:

ή

Πόσο θα ανέβει το νερό  στο σωλήνα;

Δυο ενωμένες πλάκες.

Δύο, ίδιων διαστάσεων, πλάκες από διαφορετικά υλικά Α και Β συγκολλούνται δημιουργώντας μια πλάκα, η οποία αφήνεται στην επιφάνεια του νερού που βρίσκεται σε δοχείο, όπως στο σχήμα. Για τις πυκνότητες των υλικών ισχύει ότι ρ_Α>ρ_Β>ρ, όπου ρ η πυκνότητα του νερού. Τι πρόκειται να συμβεί:

i) Η πλάκα θα επιπλεύσει στο νερό.

ii) Η πλάκα θα βυθιστεί εκτελώντας μεταφορική κίνηση.

iii) Η πλάκα θα βυθιστεί εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

Απάντηση:

ή

	Δυο ενωμένες πλάκες.

Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας Μ κινείται ευθύγραμμα γύρω από μια θέση y=0 με εξίσωση κίνησης:

  y=Α∙ημ(ωt+2π/3)+Α∙ημ(ωt)  

i) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση:

α) Κ= ¼ Μω²Α²,    β) Κ= ½ Μω²Α²,    γ) Κ=2Μω²Α²,    δ) Κ= 9/2∙Μω²Α².

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=π/2ω, η επιτάχυνση του σώματος έχει τιμή:

α) α₁= - ¼ ω²Α,    β) α₁= ¼ ω²Α,  γ) α₁= - ½ ω²Α,   δ) α₁= ½ ω²Α.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Υπενθυμίζεται ότι ημ(π-θ)=ημθ, συν(π-θ)=-συνθ, ημ30°=συν60°= ½ και
 συν30°=ημ60°=√3/2

Απάντηση:

ή

Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Μεταβολή Ορμής και Κινητικής ενέργειας.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται μεταφορικά, χωρίς τριβές, δύο μικρές σφαίρες Α και Β με μάζες m και 3m και  κινητικές ενέργειες Κ_Α=4Κ και Κ_Β=3Κ αντίστοιχα. Η κρούση των δύο σφαιρών είναι κεντρική και ελαστική.

i)  Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που οφείλεται στην κρούση είναι ίση:

α) ΔΚ_Α=(7/4)Κ,   β) ΔΚ_Α=(9/4)Κ,   γ) ΔΚ_Α=(11/4)Κ,   δ) ΔΚ_Α=(21/4)Κ.

ii)  Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, η αντίστοιχη μεταβολή της ορμής της Α σφαίρας, έχει τιμή:

α) ΔΡ_Α=-2,5√(2mK),  β) ΔΡ_Α=-4,5√(2mK),    γ) ΔΡ_Α=-5,5√(2mK),  δ) ΔΡ_Α=-7√(2mK)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:
η

	Μεταβολή Ορμής και Κινητικής ενέργειας.

Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Ένας τροχός μάζας Μ κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F₁ η οποία ασκείται στον άξονά του Ο. Κάποια στιγμή ο τροχός συναντά κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου συνεχίζει την κύλισή του με την ίδια επιτάχυνση κέντρου μάζας, αλλά αφού χρειάστηκε να μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₂, με διεύθυνση παράλληλη στο επίπεδο.

i) Η τριβή η οποία ασκείται στον τροχό, κατά την κίνησή του:

 α) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο οριζόντιο επίπεδο.

 β) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο κεκλιμένο επίπεδο.

 γ) Και στα δυο επίπεδα η τριβή έχει το ίδιο μέτρο.

ii) Η παραπάνω κίνηση μπορεί να επιτευχθεί αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης (από F₁ σε F₂) κατά:

 α) ¼ Μgημθ,   β)  1/3 Μgημθ,  γ)  ½  Μgημθ,  δ)  Μgημθ

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Η δύναμη από την άρθρωση στην ισορροπία.

Στα παρακάτω σχήματα, μια ομογενής δοκός ισορροπεί οριζόντια αρθρωμένη στο άκρο της Ο, ενώ είναι δεμένη και στο άκρο νήματος.

Ποια από τις δυνάμεις που έχουν σχεδιαστεί στα σχήματα, F₁, F₂, F₃, F₄  και F₅ μπορεί να δείχνει την δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, σε κάθε περίπτωση;

Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ή

	Η δύναμη από την άρθρωση στην ισορροπία.

Ισορροπία και περιστροφή της ράβδου.

Από το ταβάνι έχουμε κρεμάσει με ένα νήμα μια ομογενή ράβδο. Το νήμα έχει δεθεί στο μέσον Ο της ράβδου. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, όπως στο διπλανό σχήμα, με την επίδραση δύο κατακόρυφων δυνάμεων F₁ και F₂, όπου F₁=w, ενώ (ΑΜ)=(ΜΟ). Δίνεται το βάρος w και το μήκος ℓ της ράβδου.

i)  Να βρεθεί (μέτρο και κατεύθυνση) η ροπή κάθε δύναμης που ασκείται στη ράβδο, ως προς το άκρο της Α.

ii) Σε μια στιγμή ασκούμε στη ράβδο ένα ζεύγος δυνάμεων η ροπή του οποίου έχει την κατεύθυνση που δείχνει το δεύτερο σχήμα.  Τότε:

α) Το άκρο Α θα ανέβει ενώ το Β θα κατέβει

β) Το άκρο Β θα ανέβει ενώ το Α θα κατέβει.

γ) Η ράβδος θα περιστραφεί οριζόντια με το σημείο Α να αποκτήσει ταχύτητα προς τα μέσα.

δ) Η ράβδος θα περιστραφεί οριζόντια με το σημείο Α να αποκτήσει ταχύτητα προς τα έξω.

Απάντηση:

 ή

Ισορροπία και περιστροφή της ράβδου.

Προβλέποντας το είδος της ροής.

Στο σχήμα δίνεται ένας οριζόντιος σωλήνας, σταθερής διατομής,  εντός του οποίου έχουμε μια μη τυρβώδη ροή ενός ασυμπίεστου υγρού, ενώ τα σημεία Β και Γ βρίσκονται πάνω στον άξονα του σωλήνα.

Ποια από τα παρακάτω ενδεχόμενα είναι δυνατόν να συμβαίνουν και ποια αποκλείονται;

i)  Στο σωλήνα έχουμε μια ροή ιδανικού ρευστού με σταθερή παροχή.

ii) Στην περιοχή μεταξύ των σημείων Β και Γ έχουμε μια επιταχυνόμενη κίνηση ιδανικού ρευστού, ενώ υ₁<υ₂.

iii) Στην περιοχή μεταξύ των σημείων Β και Γ έχουμε μια επιταχυνόμενη κίνηση ιδανικού ρευστού, ενώ υ₁=υ₂.

iv) Το υγρό είναι πραγματικό εμφανίζοντας εσωτερική τριβή, ενώ η παροχή του σωλήνα παραμένει σταθερή.

v) Το υγρό είναι πραγματικό εμφανίζοντας εσωτερική τριβή, ενώ η ταχύτητα στο σημείο Β αυξάνεται με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

	Προβλέποντας το είδος της ροής.

Δύο υγρά που δεν αναμειγνύονται.

Σε σωλήνα σχήματος U, τοποθετούμε δύο υγρά Α και Β, τα οποία δεν αναμειγνύονται, οπότε προκύπτει μια κατάσταση, η οποία εμφανίζεται σε ένα από τα παραπάνω σχήματα.

i) Για τις πυκνότητες των δύο υγρών ισχύει:

α) ρ_Α < ρ_Β,    β) ρ_Α = ρ_Β,   γ) ρ_Α > ρ_Β.

ii) Ποια από τις τρεις παραπάνω εκδοχές είναι σωστή;

Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση.

ή

	Δύο υγρά που δεν αναμειγνύονται.