Αλλάζοντας την ακτίνα της τροχιάς.

 

Ένα υλικό σημείο μάζας m=0,2kg κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=0,5m και κινείται με ταχύτητα υ0 διαγράφοντας οριζόντιο κύκλο, κέντρου Ο, με το νήμα να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ1, όπου ημθ1=0,6 (συνθ1=0,8), όπως στο πρώτο σχήμα.

i) Να υπολογισθεί η ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς και η ταχύτητα υ0.

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς τον κατακόρυφο άξονα z,  ΟΚ, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής αυτής.

Ασκώντας στο σώμα οριζόντια μεταβλητή δύναμη F, με αρχική κατεύθυνση ίδια με την αρχική ταχύτητα υ₀, ανεβάζουμε το σώμα, ώστε να διαγράφει τελικά οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Ο΄ και το νήμα να σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία θ₂, όπου ημθ₂=0,8 (συνθ₂=0,6), όπως στο δεξιό σχήμα.

iii) Ποιος ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς τον άξονα z, αν η δύναμη έχει μέτρο F0=0,1N, στην αρχική θέση και ποια η μεταβολή της στροφορμής του σώματος, ως προς τον άξονα z, κατά την διάρκεια της άσκησης της δύναμης αυτής;

iv) Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F, για την παραπάνω μεταβολή.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας την ακτίνα της τροχιάς.

Αλλάζοντας την ακτίνα της τροχιάς.

Η κίνηση πάνω σε μια σφαίρα.

 

Ένα σώμα μάζας 2kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, ηρεμεί στη θέση Α, στην κορυφή μιας λείας ημισφαιρικής επιφάνειας, ακτίνας R=0,5m, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=12,5cm. Εκτρέπουμε ελάχιστα το σώμα από την θέση ισορροπίας του, με αποτέλεσμα να κινηθεί κατά μήκος της σφαιρικής επιφάνειας και μετά από λίγο περνά από την θέση Β, όπου ο άξονας του ελατηρίου εφάπτεται στην σφαίρα, κέντρου K, με ταχύτητα μέτρου υ=1m/s.

i) Να υπολογισθεί το μήκος του ελατηρίου στη θέση Β, καθώς και η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των θέσεων Α και Β.

ii) Να βρεθεί η σταθερά k το ελατηρίου. 

iii) Πόση δύναμη δέχεται το σώμα από το ημισφαίριο στη θέση Α και πόση στη θέση Β;

iv) Να υπολογισθεί η  στροφορμή του σώματος και ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το κέντρο Ο του ημισφαιρίου, στη θέση Β.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η κίνηση πάνω σε μια σφαίρα.

Η κίνηση πάνω σε μια σφαίρα.

Μια στροφή δίσκου και η στροφορμή.

 

Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται, όπως στο σχήμα, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ενώ σε απόσταση r από το κέντρο του Ο, έχει στερεωθεί ένα υλικό σημείο A, αμελητέων διαστάσεων και μάζας m. Στο σχήμα έχει σχεδιασθεί ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων x,y,z και δίπλα βλέπετε και τον προσανατολισμό των τριών αξόνων.

i) Η στροφορμή του υλικού σημείου Α έχει κατεύθυνση:

α) Του θετικού ημιάξονα z.                  β) Του αρνητικού ημιάξονα z.

γ) Του θετικού ημιάξονα y.                 δ) Του αρνητικού ημιάξονα y.

ii) Πόση  είναι η μεταβολή της στροφορμής του υλικού σημείου Α, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου, σε χρόνο ίσο με μισή περίοδο;

Στρέφουμε το δίσκο κατά 90°, ώστε το επίπεδό του να συμπέσει με το επίπεδο xOz, όπως στο σχήμα, ενώ το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής δεν άλλαξε.

iii) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα το διάνυσμα της στροφορμής του υλικού σημείου Α, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.

iv) Να βρεθεί η μεταβολή της στροφορμής του υλικού σημείου Α (μέτρο και κατεύθυνση) κατά την αλλαγή επιπέδου περιστροφής του δίσκου.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια στροφή δίσκου και η στροφορμή.

Μια στροφή δίσκου και η στροφορμή.

Ένα υλικό σημείο πάνω σε δίσκο.

 

Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο και στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της γωνιακής του ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. Πάνω στο δίσκο έχει στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ (υλικό σημείο, αμελητέων διαστάσεων) μάζας m=0,2kg, όπου κάποια στιγμή t1<3s βρίσκεται στη θέση Α του σχήματος (σε κάτοψη), ενώ τη στιγμή t2=5s στη θέση Β. Η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του Σ είναι r=0,5m.

i) Να σχεδιάστε την ταχύτητα και τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα Σ, στη θέση Α. 

ii) Να υπολογιστούν τη στιγμή t1, για το υλικό σημείο Σ, η ορμή και η στροφορμή ως προς τον άξονα z, καθώς και οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής τους. 

iii) Για τη στιγμή t2=5s, ζητούνται:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και η επιτάχυνση του σώματος Σ. Να σημειώστε στο σχήμα τη συνισταμένη δύναμη που ο δίσκος ασκεί στο σώμα Σ και να υπολογίσετε το μέτρο της και την ισχύ της. 

β) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της (ως προς τον άξονα z) του σώματος Σ.

Απάντηση:

ή

Ένα υλικό σημείο πάνω σε δίσκο.

Ένα υλικό σημείο πάνω σε δίσκο.

Δυνάμεις ανατροπής.

 

Μια ομογενής δοκός ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε δύο τρίποδα Α και Β. Για να ανατραπεί η δοκός, στο πρώτο σχήμα (α), χρειάζεται να ασκήσουμε κατακόρυφη δύναμη στο άκρο Γ, όπως στο σχήμα, μέτρου τουλάχιστον F1=200N.

i) Απομακρύνουμε τη θέση του τρίποδου Α, πλησιάζοντάς το στο αριστερό άκρο της δοκού, όπως στο σχήμα (β). Για να ανατραπεί τώρα η δοκός χρειάζεται να ασκηθεί στο δεξιό άκρο Γ, κατακόρυφη δύναμη μέτρου τουλάχιστον F2:

α) F2 < 200Ν,         β) F2 =200Ν,         γ) F2 > 200Ν. 

ii) Αφήνουμε το τρίποδο Α στην αρχική του θέση και μετακινούμε το τρίποδο Β, πλησιάζοντάς το στο δεξιό άκρο Γ, όπως στο σχήμα (γ). Η απαιτούμενη τώρα δύναμη θα έχει μέτρο F3, όπου:

α) F3 < 200Ν,         β) F3 =200Ν,        γ) F3 > 200Ν.

iii) Να συγκρίνετε τις αντιδράσεις που ασκούνται στη δοκό από το Β τρίποδο, στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δυνάμεις ανατροπής.

Δυνάμεις ανατροπής.

Η δοκός στηρίζεται στον τοίχο.

 

Μια ομογενής δοκός ισορροπεί όπως στο σχήμα, σε επαφή με το δάπεδο και τον κατακόρυφο τοίχο ενός δωματίου.

i) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί να υπάρξει η ισορροπία αυτή, αν δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ δοκού και των δύο επιφανειών.

ii) Να εξετάσετε αν μπορεί να υπάρξει η ισορροπία αυτή, αν αναπτύσσεται τριβή μόνο μεταξύ της δοκού και του τοίχου, ενώ το δάπεδο είναι λείο.

iii) Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και δαπέδου είναι μs=0,5, ενώ ο τοίχος είναι λείος:

α) Να εξηγήσετε γιατί μπορεί να υπάρξει ισορροπία της δοκού.

β) Να υπολογίσετε την ελάχιστη γωνία μεταξύ δοκού και δαπέδου για την ισορροπία της δοκού.

Απάντηση:

ή

Η δοκός στηρίζεται στον τοίχο.

Η δοκός στηρίζεται στον τοίχο.

Τι κίνηση κάνουν τα σώματα;

 Τρεις ερωτήσεις πάνω στις κινήσεις στερεού σώματος:

iii)  Ο ομογενής δίσκος του σχήματος ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, όταν κάποια στιγμή δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη , όπως στο σχήμα, μέσω αβαρούς νήματος που έχουμε τυλίξει γύρω του.

α) Αν το επίπεδο είναι λείο να περιγράψετε την κίνηση του δίσκου.

β) Αν ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), να εξηγήσετε γιατί το κέντρο του Κ δεν μπορεί να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, όταν ασκούμε μια δύναμη πάνω του, όπως αυτή του σχήματος.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Τι κίνηση κάνουν τα σώματα;

Τι κίνηση κάνουν τα σώματα;

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

 

Μια σφαίρα Α, μάζας Μ=3kg ηρεμεί στη θέση (1), δεμένη στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου μη ελαστικού νήματος μήκους l=08m, το άλλο άκρο του οποίου έχε δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή μια δεύτερη σφαίρα Β, μάζας m=1kg, συγκρούεται κεντρικά και  ελαστικά με τη σφαίρα Α, έχοντας οριζόντια ταχύτητα υ0 ελάχιστα πριν την κρούση. Μετά την κρούση, η Α σφαίρα φτάνει με μηδενική ταχύτητα στη θέση (2), με το νήμα οριζόντιο.

i)  Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας, ελάχιστα μετά την κρούση στη θέση (1), καθώς και στη θέση (2).

ii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Β, μεταφέρεται στην σφαίρα Α κατά την κρούση;

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το σημείο Ο, στη θέση (3) όπου απέχει κατακόρυφα κατά h=0,6m από τη θέση (1), κατά την άνοδό της.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

 

 Μια σφαίρα μάζας 0,2kg είναι δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με μήκος , το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Ο και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή δέχεται μια ώθηση, με αποτέλεσμα να αποκτήσει οριζόντια αρχική ταχύτητα, κάθετη στον άξονα του ελατηρίου, μέτρου υ0=4m/s. Μετά από λίγο η σφαίρα φτάνει στη θέση Β, όπου ο άξονας του ελατηρίου έχει διαγράψει γωνία 90°, με ταχύτητα υ1 κάθετη στην ΟΒ, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), ενώ το ελατήριο έχει μήκος .

i)   Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης: «η ταχύτητα υ1 είναι η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη διάρκεια της κίνησης».

ii) Να υπολογιστούν για τη σφαίρα οι μεταβολές ορμής και στροφορμής ως προς το Ο,  μεταξύ των θέσεων Α και Β.

iii) Ένας μαθητής βρίσκει την κεντρομόλο δύναμη στη θέση Β και από αυτήν υπολογίζει στη συνέχεια την σταθερά του ελατηρίου. Να εξετάσετε αν αυτή είναι μια ορθή μέθοδος και στη  συνέχεια να υπολογιστεί η σταθερά k του ελατηρίου.

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

 Ας δούμε την  ισορροπία μιας επίπεδης πλάκας, με το επίπεδό της κατακόρυφο, σε δύο περιπτώσεις, όπου από τη στήριξη σε δύο σημεία, περνάμε στην στήριξη από το επίπεδο.

Άσκηση 1η:

Μια τετράγωνη επίπεδη ομογενής πλάκα, πλευράς α=0,4m και βάρους w= 200Ν, ισορροπεί με το επίπεδό της κατακόρυφο, στηριζόμενη σε  δύο μικρούς κώνους, πολύ κοντά στις κάτω κορυφές της Α και Β, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις στήριξης στην πλάκα από τους δυο κώνους.

ii) Να υπολογιστούν οι κάθετες αντιδράσεις που θα ασκήσουν οι κώνοι, αν ασκήσουμε στην  κορυφή Γ, μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=68Ν και η πλάκα συνεχίζει να ισορροπεί.

iii) Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης , ώστε  η πλάκα να πάψει να στηρίζεται στην κορυφή Α, ενώ συνεχίζει να ισορροπεί; Στην περίπτωση αυτή, ποια η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής…

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια ισορροπία και… μισή.

 

Μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους L και βάρους w, ισορροπεί σε ορι­ζόντια θέση όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ είναι δεμένη με νήμα στο μέσον της Μ, νήμα το οποίο σχηματίζει γωνία θ=45° με τη ράβδο.

i  Να εξετάσετε αν ο τοίχος μπορεί να είναι λείος ή απαιτείται να είναι τραχύς για να ασκηθεί στη ράβδο δύναμη τριβής. 

ii) Να μελετήσετε την ισορροπία του τμήματος ΜΒ της ράβδου, αντιμετωπίζοντάς το σαν ένα ανεξάρ­τητο στερεό σώμα, το οποίο δεν δένεται με το νήμα.

Απάντηση:

ή

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

 

από Διονύσης Μάργαρης

Μια ομογενής λεπτή σανίδα κρέμεται στο άκρο κατακόρυφου νήματος, το οποίο έχει δεθεί στο μέσον της Μ. Σε μια στιγμή στην σανίδα προσπίπτει μια σφαίρα με ταχύτητα υ, η οποία κατευθύνεται στο σημείο Μ, όπως  στο σχήμα.

i) Να εξηγήσετε αν ισχύει η διατήρηση της ορμής για το σύστημα σφαίρα-σανίδα, στη διάρκεια της κρούσης.

ii) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα,  δείχνει τη θέση της σανίδας, λίγο χρόνο μετά την κρούση;

iii)  Η κίνηση που  πραγματοποιεί η σανίδα μετά την κρούση είναι:

α) μεταφορική,    β) στροφική,     γ) σύνθετη.

iv)  Θα άλλαζε κάτι αν η κρούση της σφαίρας με τη σανίδα γινόταν σε χαμηλότερη θέση, όπως στο διπλανό σχήμα;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

 

ή

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

 

Ένας τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) σε ανηφορικό δρόμο. Σε μια στιγμή t1, ένα σημείο Α της περιφέρειάς του, έχει επιτάχυνση κάθετη στην ακτίνα ΚΑ, όπως στο σχήμα.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Η κύλιση γίνεται με σταθερή ταχύτητα του κέντρου (και κέντρου μάζας) Κ.

ii) Το κέντρο Κ του τροχού,  επιταχύνεται προς τα πάνω κατά μήκος του δρόμου.

iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας τη στιγμή t1 δεν είναι μηδενική.

iv) Η επιτάχυνση του σημείου Α έχει μεγαλύτερο μέτρο από την επιτάχυνση του κέντρου Κ.

Απάντηση:

ή

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.