Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

 Ας δούμε την  ισορροπία μιας επίπεδης πλάκας, με το επίπεδό της κατακόρυφο, σε δύο περιπτώσεις, όπου από τη στήριξη σε δύο σημεία, περνάμε στην στήριξη από το επίπεδο.

Άσκηση 1η:

Μια τετράγωνη επίπεδη ομογενής πλάκα, πλευράς α=0,4m και βάρους w= 200Ν, ισορροπεί με το επίπεδό της κατακόρυφο, στηριζόμενη σε  δύο μικρούς κώνους, πολύ κοντά στις κάτω κορυφές της Α και Β, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις στήριξης στην πλάκα από τους δυο κώνους.

ii) Να υπολογιστούν οι κάθετες αντιδράσεις που θα ασκήσουν οι κώνοι, αν ασκήσουμε στην  κορυφή Γ, μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=68Ν και η πλάκα συνεχίζει να ισορροπεί.

iii) Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης , ώστε  η πλάκα να πάψει να στηρίζεται στην κορυφή Α, ενώ συνεχίζει να ισορροπεί; Στην περίπτωση αυτή, ποια η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής…

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια ισορροπία και… μισή.

 

Μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους L και βάρους w, ισορροπεί σε ορι­ζόντια θέση όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ είναι δεμένη με νήμα στο μέσον της Μ, νήμα το οποίο σχηματίζει γωνία θ=45° με τη ράβδο.

i  Να εξετάσετε αν ο τοίχος μπορεί να είναι λείος ή απαιτείται να είναι τραχύς για να ασκηθεί στη ράβδο δύναμη τριβής. 

ii) Να μελετήσετε την ισορροπία του τμήματος ΜΒ της ράβδου, αντιμετωπίζοντάς το σαν ένα ανεξάρ­τητο στερεό σώμα, το οποίο δεν δένεται με το νήμα.

Απάντηση:

ή

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

 

από Διονύσης Μάργαρης

Μια ομογενής λεπτή σανίδα κρέμεται στο άκρο κατακόρυφου νήματος, το οποίο έχει δεθεί στο μέσον της Μ. Σε μια στιγμή στην σανίδα προσπίπτει μια σφαίρα με ταχύτητα υ, η οποία κατευθύνεται στο σημείο Μ, όπως  στο σχήμα.

i) Να εξηγήσετε αν ισχύει η διατήρηση της ορμής για το σύστημα σφαίρα-σανίδα, στη διάρκεια της κρούσης.

ii) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα,  δείχνει τη θέση της σανίδας, λίγο χρόνο μετά την κρούση;

iii)  Η κίνηση που  πραγματοποιεί η σανίδα μετά την κρούση είναι:

α) μεταφορική,    β) στροφική,     γ) σύνθετη.

iv)  Θα άλλαζε κάτι αν η κρούση της σφαίρας με τη σανίδα γινόταν σε χαμηλότερη θέση, όπως στο διπλανό σχήμα;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

 

ή

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

Η κίνηση της ράβδου μετά την κρούση.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

 

Ένας τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) σε ανηφορικό δρόμο. Σε μια στιγμή t1, ένα σημείο Α της περιφέρειάς του, έχει επιτάχυνση κάθετη στην ακτίνα ΚΑ, όπως στο σχήμα.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Η κύλιση γίνεται με σταθερή ταχύτητα του κέντρου (και κέντρου μάζας) Κ.

ii) Το κέντρο Κ του τροχού,  επιταχύνεται προς τα πάνω κατά μήκος του δρόμου.

iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας τη στιγμή t1 δεν είναι μηδενική.

iv) Η επιτάχυνση του σημείου Α έχει μεγαλύτερο μέτρο από την επιτάχυνση του κέντρου Κ.

Απάντηση:

ή

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

 

Ένα στερεό s αποτελείται από μια ομογενή ράβδο μάζας Μ=3kg, μήκους (ΑΒ)= l=4m, στο άκρο Β της οποίας έχει προσδεθεί ένα σημειακό υλικό σημείο Σ μάζας m=1kg. Το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο Ο, το οποίο απέχει 1m από το άκρο Α της ράβδου, όπως στο σχήμα. Το στερεό s ισορροπεί με τη ράβδο οριζόντια, δεμένο με νήμα στο σημείο Γ, όπου (ΟΓ)=2m, δεμένο σε ταβάνι. Το νήμα σχηματίζει γωνία θ με τη ράβδο, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6.

i)  Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το υλικό σημείο Σ.

Ελευθερώνουμε το στερεό από το νήμα, το φέρνουμε στη θέση (1) του διπλανού σχήματος και το αφήνουμε να περιστραφεί. Μετά από λίγο το στερεό περνά από την θέση (2) με τη ράβδο οριζόντια, έχοντας  γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=2rαd/s και γωνιακή επιτάχυνση αγ=15/4 rad/s2, της ίδιας κατεύθυνσης. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

ii)  Η ταχύτητα του υλικού σημείου Σ, καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη επιτάχυνσή του. 

iii) Η δύναμη που το σώμα Σ ασκεί στη ράβδο. 

iv) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του υλικού σημείου Σ ως προς τον άξονα περιστροφής.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Μια οριζόντια βολή δίσκου.

 

Από ορισμένο ύψος, εκτοξεύεται για t=0, οριζόντια ένας ομογενής δίσκος, ακτίνας R=0,4m, με αρχική ταχύτητα υ0=2m/s και ορισμένη γωνιακή ταχύτητα ω, η οποία παραμένει σταθερή στη διάρκεια της πτώσης. Το επίπεδο του δίσκου ταυτίζεται με το επίπεδο της σελίδας του διπλανού σχήματος. Τη στιγμή t1=0,4s, το κάτω άκρο Α μιας κατακόρυφης διαμέτρου ΑΒ, έχει μόνο κατακόρυφη ταχύτητα υ1. Για τη στιγμή t1 ζητούνται:

i) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου (και κέντρου μάζας) του δίσκου Ο.

ii) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου, καθώς και η επιτάχυνση του σημείου Α, τη στιγμή t1.

iii) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β, του ανώτερου σημείου της κατακόρυφης διαμέτρου.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μια οριζόντια βολή δίσκου.

Μια οριζόντια βολή δίσκου.

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Ένα σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας m=1kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=80Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο (το σχήμα σε κάτοψη). Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος lο=0,4m, ενώ η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι R1=0,5m.

i)  Να υπολογισθεί η ταχύτητα του σώματος Σ και η στροφορμή του ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς.

ii)  Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο σώμα μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη F, η οποία αρχικά έχει μέτρο F0=1,5Ν και κατεύθυνση ίδια με την ταχύτητα υ1, με αποτέλεσμα να αυξάνουμε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Για τη στιγμή t0+, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης, να βρεθούν:

α) Η ισχύς της δύναμης F.

β) Η γωνιακή  επιτάχυνση του σώματος Σ.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς.

iii) Αν τελικά το σώμα Σ κινείται σε μια νέα κυκλική τροχιά με ακτίνα R2=0,6m, όταν παύει να ασκείται πάνω του η μεταβλητή δύναμη F, να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F.

Απάντηση:

ή

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

  

Μια σφαίρα μάζας 2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος, το οποίο αφού περάσει από ένα καρφάκι Κ, οδηγείται σε ένα κύλινδρο, στην επιφάνεια του του οποίου προσκολλάται. Ο κύλινδρος έχει ακτίνα r=0,4m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονά του που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του. Η σφαίρα βρίσκεται στη θέση Α, απέχοντας κατά l0=2m από το Κ, ενώ πάνω της ασκείται μια σταθερού μέτρου δύναμη F1=2Ν, η οποία εξασφαλίζει το τέντωμα του νήματος.  Σε μια στιγμή t=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τη σφαίρα με ταχύτητα υ0=0,9m/s, κάθετα στο νήμα όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Μετά από λίγο θέτουμε σε περιστροφή αριστερόστροφα τον κύλινδρο για χρονικό διάστημα 0,5s, μεταβάλλοντας την γωνιακή του ταχύτητα όπως στο διάγραμμα, οπότε την στιγμή t1 η σφαίρα φτάνει στην θέση Β, με ταχύτητα υ1 κάθετη επίσης στο νήμα, ενώ διαρκώς της ασκείται η δύναμη F1.

i)  Να υπολογισθεί η γωνία κατά την οποία περιστρέψαμε τον κύλινδρο, καθώς και το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω του, στη διάρκεια της περιστροφής.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητα υ1 καθώς και η τάση του νήματος στις θέσεις Α και Β.

iii) Γιατί στη διάρκεια της περιστροφής του κυλίνδρου, η σφαίρα είχε συνιστώσα ταχύτητας στη διεύθυνση του νήματος;

α) Να βρεθεί το μέγιστο μέτρο της συνιστώσας αυτής υR;

β) Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια στη σφαίρα η δύναμη F1, τη στιγμή της μέγιστης υR.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Η στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

  

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,4kg την οποία θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, συγκρατείται στη θέση (A), δεμένη στο άκρο οριζόντιου μη εκτατού νήματος μήκους l=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια  δύναμη σταθερού μέτρου F=(20/π)Ν≈6,4Ν, κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να διαγράφει κατακόρυφο ημικύκλιο και μετά από λίγο να φτάνει στο αντιδιαμετρικό σημείο Β, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο;

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας ως προς το Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στη θέση (Β).

iii) Στη θέση Β το νήμα έρχεται σε επαφή με ένα καρφί Κ στο μέσον του,  γύρω από το οποίο η σφαίρα ξεκινά μια νέα κυκλική τροχιά, κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, ενώ ταυτόχρονα η δύναμη  F παύει να ασκείται.

α) Για την θέση Β, αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης, να βρεθεί η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς το κέντρο Κ, της νέας κυκλικής τροχιάς  στην οποία θα κινηθεί.

β) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια η σφαίρα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Κ, στη θέση μέγιστης κινητικής ενέργειας;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Μια σφαίρα μάζας m=2kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, κρέμεται στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να φτάνει στην θέση Β, έχοντας εκτραπεί οριζόντια κατά x=1,2m.

i)  Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.

ii) Να αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης κατά την παραπάνω μετακίνηση κατά μήκος του τόξου ΑΒ, είναι ίσο με W=F∙x.

iii) Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Ο, στη θέση Β.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη θέση Β;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της 

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της 

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ, ισορροπεί όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άκρο της Β είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος. Η σανίδα έχει βάρος w=100N και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i) Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που δέχεται η σανίδα από την άρθρωση.

ii) Τοποθετούμε πάνω στη σανίδα, πολύ κοντά στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, βάρους w1=50Ν,  το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων και βλέπουμε να ισορροπεί. Να υπολογισθεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα.

iii) Αν μεταξύ σώματος Σ και σανίδας δεν αναπτύσσονται τριβές, να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα, μόλις το σώμα Α αφεθεί να κινηθεί στο μέσον Μ της σανίδας.

Απάντηση:

ή

 Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα 

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

 Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L, αφήνεται σε ισορροπήσει σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σχηματίζοντας με το επίπεδο γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8, ενώ στηρίζεται σε ένα βαρύ κιβώτιο ύψους h, το οποίο είναι προσκολλημένο στο επίπεδο.

i)  Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₁ = 0,2L όπως στο σχήμα (α), να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα ισορροπήσει.

ii) Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₂=0,3L, όπως στο σχήμα (β), να δείξετε ότι μπορεί να υπάρξει ισορροπία, αρκεί να αναπτυχθεί τριβή στο σημείο στήριξης Μ. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και κιβωτίου είναι ίσος με μ_s=μ=0,6  θα εξασφαλιστεί η ισορροπία;

iii) Αν στο σχήμα (γ) h₃= 0,5L, να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-κιβωτίου, ώστε η ράβδος να ισορροπεί.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

 

Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m κινείται οριζόντια, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα φαίνεται η θέση της ράβδου, τη στιγμή t0=0, όπου το μέσον της Ο περνά από την αρχή ενός οριζόντιου συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y, ενώ η ράβδος ταυτίζεται κατά μήκος της, με τον άξονα x. Τη στιγμή αυτή το Ο έχει ταχύτητα υ0=2,5m/s στη διεύθυνση y και επιτάχυνση α1 στη διεύθυνση x, ενώ την ίδια στιγμή το άκρο Α της ράβδου, έχει επιτάχυνση α2, μέτρου α2=(π/4) m/s2, όπως στο σχήμα, κάθετη στην ράβδο. Ταυτόχρονα η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα περιστροφής μέτρου ω= (π/4) rad/s, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα μέσα.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης α1 του μέσου Ο της ράβδου καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

Αν η επιτάχυνση το κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου παραμένουν σταθερές, ζητούνται, για τη χρονική στιγμή t1=2s:

ii)  Η θέση του μέσου Ο της ράβδου, καθώς το μέτρο της ταχύτητάς του.

iii) Ποιος ο προσανατολισμός της ράβδου και ποιο το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας;

iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες υAx και υAy, καθώς και οι αντίστοιχες επιταχύνσεις στους δυο άξονες, του άκρου Α της ράβδου.

Δίνεται π2=10.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου