Απλή αρμονική ταλάντωση κυλιόμενης σφαίρας.

Η άσκηση συνδυάζει μια απλή αρμονική ταλάντωση του κέντρου μάζας σφαίρας, με την κύλισή της σε οριζόντιο επίπεδο και βρίσκεται μέσα στα πλαίσια δυσκολίας των ασκήσεων που δίνονται στις εισαγωγικές εξετάσεις.

P.M. Φυσικός

Συνέχεια.

Πλαστική κρούση βλήματος με σφαίρα που μπορεί να κυλίεται.

Το πρώτο ερώτημα της άσκησης είναι σχετικά εύκολο και ανταποκρίνεται στο πνεύμα των εξετάσεων, ενώ το δεύτερο ερώτημά της ικανοποιεί ένα μαθητή που έχει αυξημένο ενδιαφέρον για το μάθημα της Φυσικής.

P.M. Φυσικός

Συνέχεια.

Μια τροχαλία σε ιδιάζουσα κατάσταση περιστροφής.

Η άσκηση αυτή θα μπορούσε να γίνει δυσκολότερη αν εζητείτο να μελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου και της τροχαλίας. Υπό την τωρινή της όμως μορφή είναι κατάλληλη για τους απαιτητικούς μαθητές της Γ΄ Λυκείου.   

P.M. Φυσικός

Η άσκηση.

Μια άσκηση που ... δεν μπήκε.

Η άσκηση αυτή επρόκειτο να δοθεί στις εισαγωγικές εξετάσεις του έτους 1990, αλλά την τελευταία στιγμή κατά την αποστολή του μυνήματος προς τα εξεταστικά κέντρα αντί να γραφεί m₁<<m₂ γράφτηκε m₁=m₂ και η άσκηση έχασε την αξία της. 

Το γεγονός αυτό μου το εκμυστηρεύθηκε πολύ αργότερα ο πρόεδρος της επιτροπής, με τον οποίο υπήρξαμε συμφοιτητές.

P.M. Φυσικός

Άσκηση:

Κίνηση δίσκου σε κεκλιμένο επίπεδο, συγκρατούμενου με νήμα.

H άσκηση αυτή δόθηκε σε τμηματικές εξετάσεις στο Φυσικό τμήμα του Πανεπιστημίου της Αθήνας, όμως μπορεί να αντιμετωπιστεί άνετα από ένα μαθητή της Γ! Λυκείου, ο οποίος έχει υπερβεί τα καθιερωμένα.

P.M. Φυσικός

Στην περιφέρεια λεπτόυ δίσκου μάζας m και ακτίνας R έχει τυλιχθεί αβαρές νήμα και ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί κατά μήκος λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Το ένα άκρο του νήματος είναι στερεωμένο στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου (βλέπε σχήμα), με αποτέλεσμα να ξετυλίγεται καθώς ο δίσκος μετατοπίζεται προς τα κάτω. 

Να βρείτε:

i) τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς το κέντρο του και

ii) τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I_C=mR²/2 του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόμενο από το κέντρο του.

Απάντηση:

Μια ράβδος σε ισορροπία και η τροχαλία σε κίνηση

H άσκηση αυτή είναι αρκετά διδακτική για τους μαθητές της Γ! Λυκείου και βρίσκεται στο πνεύμα των ασκήσεων που δίνονται στις εισαγωγικές εξετάσεις.

P.M. Φυσικός

Στην διάταξη του σχήματος η ράβδος ΑΒ είναι ομογενής μήκους L και στο άκρο της Β έχει στερεωθεί σφαίρα διπλάσιου βάρους από το βάρος της ράβδου. 

Το σημείο στήριξης Ο της ράβδου απέχει από το άκρο της Β απόσταση L/4. H ελεύθερη τροχαλία έχει μάζα m και ακτίνα r το δε νήμα που διέρχεται από τον λαιμό της είναι αβαρές και δεν μπορεί να ολισθαίνει. Εάν στο ελεύθερο άκρο Ν του νήματος εφαρμόζεται κατακόρυφη δύναμη F με φορά προς τα πάνω, της οποίας το μέτρο είναι 2mg, όπου g= η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε η ράβδος παραμένει συνεχώς οριζόντια. Να βρεθούν:

i) το βάρος της ράβδου ΑΒ και

ii) η επιτάχυνση του σημείου Ν. Δίνεται ότι, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της είναι Ι=mr²/2.

Απάντηση:

Μια περιοδική αλλά μη αρμονική κίνηση

Πρόκειται για μια περιοδική κίνηση, που όμως δεν είναι αρμονική ταλάντωση και παρουσιάζει ενδιαφέρον για ένα καλό μαθητή που συμπαθεί τη ΦΥΣΙΚΗ. Αν νομισθεί ότι προέρχεται από «σκανάρισμα» αυτό θα αποτελεί αδικία.

P.M. Φυσικός

Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, είναι στερεωμένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο B είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, μάζας m, αφήνεται σε ύψος h=3mg/2k από το άκρο B και όταν έλθει σε επαφή με αυτό αρχίζει να συμπιέζει το ελατήριο.

i) Eάν η κρούση του σφαιριδίου με το ελατήριο είναι τελείως ελαστική και η αντίσταση του αέρα αμελητέα, να δείξετε ότι το σφαιρί διο εκτελεί περιοδική κίνηση και να υπολογίσετε την περίοδό της.

ii) Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του σφαιρι δίου, σε συνάρτηση με το χρόνο t, θεωρώντας ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα πάνω και ως αρχή μέτρησης του χρόνου τη στιγμή που το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

ή με κλικ ΕΔΩ.

Ολίσθηση-κύλιση σφαίρας πάνω σε κινούμενο δοκάρι.

H άσκηση αναφέρεται στην κίνηση που θα εκτελέσει μια σφαίρα, όταν αφεθεί πάνω σ’ ένα δοκάρι που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

P.M. Φυσικός

Συνέχεια.

Πλάγια ανελαστική κρούση σφαίρας

H άσκηση αυτή αποτελεί παραλλαγή μιας άσκησης που βρήκα στη συλλογή επαναληπτικών ασκήσεων στο κεφάλαιο «Μηχανική του στερεού σώματος», σκαλίζοντας τις σελίδες των ιστολογίων του Φυσικού Διονύση Μάργαρη.

P.M. Φυσικός

Mια σφαίρα κυλίεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσεως φ κατερχόμενη προς τη βάση του, όπου συναντά οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του κεκλιμένου επιπέδου. 

Mε την προϋπόθεση ότι, η σφαίρα κατά τη μετάβασή της από το κεκλιμένο στο οριζόντιο επίπεδο δεν αναπηδά ούτε ολισθαίνει, να βρείτε, την εκατοστιαία μείωση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας. Δίνεται η ροπή αδράνειας I_C=2mR2/5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, όπου m η μάζα και R η ακτίνα της.

Απάντηση:

Μια τυπική ταλάντωση και κρούση.

Η άσκηση αυτή είναι τυπική  περίπτωση πλαστικής κρούσεως, ταλάντωσης και τριβής και βρίσκεται στο πνεύμα των ασκήσεων που δίνονται στις Πανελλαδικές εξετάσεις.

P.M. Φυσικός

Στις άκρες ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, είναι στερεωμένα τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με αντίστοιχες μάζες m₁ και m₂, το δε σύστημα ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Aνάμεσα στο σώμα Σ₁ και το οριζόντιο επίπεδο η τριβή είναι αμελητέα, ενώ μεταξύ του σώματος Σ₂ και του επιπέδου υπάρχει τριβή με συντελεστή στατικής τριβής n. Ένα βλήμα, μάζας m, σφηνώνεται στο σώμα Σ₁ με οριζόντια ταχύτητα, της οποίας ο φορέας συμπίπτει με τον άξονα του ελατηρίου.

i)  Nα υπολογιστεί η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας του βλήματος, ώστε το συσσωμάτωμα να εκτελέσει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο αρμονική ταλάντωση, χωρίς το σώμα Σ₂ να ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο.

ii)  Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Μια περίεργη κίνηση δοκαριού.

Η άσκηση αυτή αφορά την ευθύγραμμη μεταφορική κίνηση ενός δοκαριού, η οποία υπό κανονικές  συνθήκες οδηγεί στην λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. Όμως οι γνώσεις μας από την θεωρία των ταλαντώσεων μας επιτρέπουν να παρακάμψουμε την διαφορική εξίσωση και να την αντιμετωπίσουμε με στοιχειώδη Μαθηματικά.

P.M. Φυσικός

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους L, κινείται με σταθερή ταχύτητα v₀ κατά τον διαμήκη άξονά του, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Kάποια στιγμή αρχίζει να κινείται σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του λείου επιπέδου. Eάν n είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκαριού καί του μή λείου επιπέδου να βρείτε:

i) τη σχέση μεταξύ των μεγεθών L, v0 καί n, ώστε τη στιγμή που το δοκάρι εγκαταλείπει το λείο επίπέδο να μηδενίζεται η ταχύτητά του και

ii) τον χρόνο κίνησης του δοκαριού από τη στιγμή που άρχισε να κινείται στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Περιοδική κρούση δύο σωμάτων.

Η άσκηση αυτή είναι λίγο δυσκολότερη από εκείνες που δίνονται στις εισαγωγικές εξετάσεις και δημιουργήθηκε αφού μελέτησα μια λίγο δυσκολότερη άσκηση του Φυσικού Θοδωρή Παπασγουρίδη,  με τον τίτλο "Συνάντηση σωμάτων που ταλαντώνονται"

P. M. Φυσικός

Tα σφαιρίδια Σ₁ και Σ₂ του σχήματος είναι απολύτως ελαστικά  και ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, στερεωμένα στις άκρες δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων που έχουν διαφορετικές σταθερές, οι δε άλλες άκρες τους είναι ακλόνητες. Αρχικώς τα σφαιρίδια εφάπτονται και τα ελατήρια βρίσκονται στην φυσική τους κατάσταση. Εκτρέπουμε οριζοντίως τα σφαιρίδια Σ₁ και Σ₂ εκατέρωθεν της αρχικής τους θέσεως κατά Α₁ και Α₂ αντιστοίχως.

i)  Nα βρεθεί ο λόγος των μαζών των σφαιριδίων, ώστε αυτά περιοδικώς να συγκρούονται στην αρχική τους θέση.

ii) Να δώσετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σφαιριδίου Σ₂ σε συνάρτηση με τον χρόνο, λαμβάνοντας ως θετική φορά πάνω στον άξονα κίνησής τους x’x την προς τα δεξιά και ως αρχή μέτρησης του χρόνου τη στιγμή της πρώτης κρούσεως των σφαιριδίων.

Απάντηση:

Άσκηση ενέργειας -τριβής

H άσκηση αυτή δόθηκε σε τμηματικές εξετάσεις του Φυσικού τμήματος στο Πανεπιστήμιο των Ιωαννίνων. Όμως μπορεί να λυθεί και από ένα επιμελή μαθητή της Γ! Λυκείου.

P.M. Φυσικός

Το σώμα Σ του σχήματος έχει μάζα 2m και βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. Το σφαιρίδιο έχει μάζα m το δε νήμα που το συνδέει με το σώμα είναι αβαρές και μη εκτατό, μπορεί δε να ολισθαίνει χωρίς τριβή στον λαιμό της μικρής τροχαλίας. 

Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο, ώστε το νήμα να σχηματίσει με την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ₀ και το αφήνουμε ελεύθερο.

i) Να βρεθεί η τάση του νήματος σε συνάρτηση με την γωνία φ που σχηματίζει με την κατακόρυφη διεύθυνση, όταν το σώμα Σ ηρεμεί.

ii) Nα βρεθεί η μέγιστη τιμή της φ₀, ώστε το σώμα να μη ολισθαίνει πάνω στο τραπέζι. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η απόσταση L της τροχαλίας από το σφαιρίδιο

Απάντηση:

Επίπεδη κίνηση στερεού σώματος

Ένας τροχός, μάζας m ακτίνας R και ακτίνας αδράνειας Κ, ακινητεί επί οριζοντίου εδάφους όπως φαίνεται στο σχήμα. Στην περιφέρεια του τροχού έχει περιτυλιχθεί λεπτό και μη εκτατό νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου εφαρμόζεται η οριζόντια δύναμη F.

i) Είναι δυνατόν ο τροχός να κυλίεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος, εάν αυτό είναι λείο;

ii) Εάν ο τροχός έχει τη μορφή τροχαλίας (K²=R²/2) και ο συντελεστής  οριακής τριβής μεταξύ εδάφους και τροχαλίας είναι n=1/2, να βρεθεί η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του μέτρου της F, ώστε η τροχαλία να κυλίεται.

iii) Εάν F=mg/2 να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας της τροχαλίας, όταν έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους L. Πόση γίνεται η ταχύτητα αυτή, αν F=3mg; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Ρ.Μ. Φυσικός.