Πόσο ανυψώθηκε;

Η διπλή τροχαλία του σχήματος μάζας Μ=2kg αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R₁=2R και R₂=R. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα χωρίς  τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους O και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Η τροχαλία στερεώνεται σε τραπέζι στην επιφάνεια του οποίου έχει στρωθεί λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l=1mm, το οποίο συμπεριφέρεται ως νευτώνειο υγρό με συντελεστή ιξώδους n=0,25Pa·s. Πάνω στο λάδι ηρεμεί μια ξύλινη πλάκα Σ₂ μάζας m₂=4kg σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης A=2000cm². Η πλάκα συνδέεται με την τροχαλία στο αυλάκι του μικρού δίσκου της μέσω μη εκτατού και αβαρούς νήματος, (νήμα 2).  Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα, (νήμα 1), στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg.

Ανυψώνουμε το σώμα Σ₁ κατά h πάνω από τη θέση που το νήμα είναι τεντωμένο και κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Παρατηρείται ότι μόλις τεντώσει το νήμα 1 τα σώματα Σ₁ και Σ₂ κινούνται με σταθερή ταχύτητα και η τροχαλία στρέφεται ομαλά.

                                           

Να βρεθεί το ύψος h που ανυψώθηκε το σώμα Σ₁.

  

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας  της διπλής τροχαλίας  περί άξονα που διέρχεται από το Ο υπολογίζεται από τη σχέση Ι_(Ο)=Μ·R², το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας ισούται με |g| = 10 m/s²  και τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην τροχαλία.

 Απάντηση

Ένα σφαιρίδιο χτυπά σε δύο παράλληλους τοίχους

Ανάμεσα σε δύο παράλληλους λείους τοίχους ΑΓ και ΒΔ μήκους L που απέχουν απόσταση d, Tα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετα στους τοίχους. Σημειακή σφαίρα Σ μάζας m εκτοξεύεται από το μέσο του τμήματος ΑΒ με ταχύτητα μέτρου υ που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα x΄x γωνία θ όπως φαίνεται στο σχήμα το οποίο είναι σε κάτοψη. Η σφαίρα συγκρούεται ανελαστικά στους τοίχους με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από κάθε κρούση η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ της ταχύτητας και της οριζόντιας διεύθυνσης x΄x, να μεταβάλλεται κατά 50%. Η σφαίρα ως σημειακή εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση.

υπάρχει λείο οριζόντιο δάπεδο.

i) Το σφαιρίδιο εξέρχεται από τους τοίχους σε χρόνο t₁. Αν το σφαιρίδιο συγκρουόταν ελαστικά με τους τοίχους ο χρόνος κίνησης t₂ θα ήταν:

α. t₂= 2t₁                         β. t₂= t₁                                γ. t₂= ½ t₁

ii) Για το ποσό ενέργειας που χάνεται μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων ισχύει:

Συνέχεια...

Τι ελεύθερη πτώση, τι ταλάντωση.

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k.  Ανεβάζουμε το σώμα μέχρι κάποια θέση και την χρονική στιγμή t₀ = 0 αφήνουμε το σώμα να εκτελέσει Α.Α.Τ. (σταθεράς D = k). Από την ίδια θέση που αφήσαμε το Σ₁ αφήνουμε ένα άλλο σώμα Σ₂. Όταν το σώμα Σ₂ περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έχει ταχύτητα ίση με αυτή που έχει το Σ₁ στη θέση αυτή.

Α. Η αρχική απομάκρυνση d των σωμάτων από την Θ.Ι. της ταλάντωσης του Σ₁, σε σχέση με την αρχική παραμόρφωση Δℓ₀ του ελατηρίου, είναι:

   

Δύναμη από άξονα και εσωτερική δύναμη.

Σημειακό σώμα Σ μάζας m βρίσκεται κολλημένο στο ένα άκρο ράβδου μάζας M = 12m και μήκους ℓ. Το άλλο άκρο της ράβδου είναι αρθρωμένο στο σημείο Ο και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από τον άξονα της χωρίς τριβές. Αρχικά συγκρατούμε το σύστημα ράβδος – σώμα σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Την στιγμή t₀ = 0  αφήνουμε το σύστημα από την οριζόντια θέση:

Α. Η δύναμη που ασκεί η ράβδος στο σώμα Σ τη χρονική στιγμή t₀ = 0:

Η συνέχεια εδώ....

Δύναμη στην ταλάντωση.

Ένα σώμα Σ μάζας m είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α₀ = 0,2√3 m. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής έχει μέγιστο μέτρο |dp/dt| = 40√3N κάθε 0,1π s. Κάποια στιγμή που ο ταλαντωτής διέρχεται από την θέση ισορροπίας και κατέρχεται, του ασκούμε με φορά προς τα κάτω σταθερή κατακόρυφη δύναμη F διπλάσια του βάρους.

Α. Να βρεθεί το πλάτος Α₁ και η ενέργεια της ταλάντωσης Ε₁ μετά την άσκηση της δύναμης F.

B. Αν η δύναμη ασκείται για χρονικό διάστημα Δt = π/6 s και μετά καταργείται. Μετά την κατάργηση της δύναμης F:

α. να υπολογισθεί το πλάτος Α₂ της νέας ταλάντωσης

β. να γραφεί η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης (t = 0 η στιγμή εφαρμογής της δύναμης).

γ. Να υπολογίσετε το έργο της F για το χρόνο δράσης της.

Γ. Ποια χρονική στιγμή (η ελάχιστη), έπρεπε να καταργήσουμε την δύναμη F ώστε το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κατάργηση της να είναι μέγιστο και ποιο είναι αυτό;

Δίνεται g = 10 m/s², θετική η φορά προς τα πάνω και σε κάθε περίπτωση το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με D = k.

 

   

 

ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους l₀=0,9m και σταθεράς σκληρότητας K, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή.  Δεύτερο σώμα  Σ₂ μάζας m₂=3kg είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους L με το σώμα Σ₁. Το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο να έχει μήκος l=1,3 m και το σώμα Σ₂ να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπεδο. 

A. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε με κατάλληλη αρχική ταχύτητα το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε το νήμα να παραμένει οριακά τεντωμένο και να μην χαλαρώνει κατά την κίνηση του 

συστήματος των δύο σωμάτων. 

 A1 .  Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της φάσης της ταλάντωσης.  Να θεωρήσετε ως θετική για την ταλάντωση τη φορά της συσπείρωσης του ελατηρίου και ως θέση ισορροπίας της ταλάντωσης των δύο σωμάτων η θέση του σώματος Σ₁ .

 A2 . Να υπολογίσετε την κατάλληλη αρχική ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος Σ₁ καθώς και τη μέση δύναμη που ώθησε το σώμα αν αυτή ασκήθηκε για αμελητέο χρονικό διάστημα Δt=5⋅10^-2 sec (λάκτισμα) ώστε η ταλάντωση να ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της.

 B. Αν το νήμα φθείρεται κατά τη διάρκεια του λακτίσματος σε μεγάλο ποσοστό και σπάει όταν η τάση του νήματος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για πρώτη φορά στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος : 

 B1 . Να υπολογίσετε το όριο θραύσης του νήματος και τη χρονική στιγμή της θραύσης στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. 

Αν για την νέα απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος Σ₁ η χρονική στιγμή της θραύσης του νήματος είναι η στιγμή t'=0 τότε :

  B2 . Να υπολογίσετε το μήκος L του νήματος και το ύψος H οροφής – δαπέδου, αν τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₁ μηδενίζεται για τρίτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του, το σώμα Σ₂ μόλις φθάνει στο δάπεδο και τα σώματα Σ₁ και Σ₂ απέχουν τότε απόσταση d=2m.

Δίνεται : η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και ότι π²=10 

 Λύση σε pdf

Ταλάντωση ράβδου και μια τροχαλία.

Στο σχήμα φαίνεται μια ράβδος μάζας m₁ = m, η οποία βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο συνδεδεμένη σε ιδανικό αβαρές ελατήριο σταθεράς k = 300 N/m.  Η ράβδος βρίσκεται διαρκώς σε επαφή με τροχαλία μάζας m₂ = 2m , στην περιφέρεια της οποίας έχουμε χαράξει αβαθές αυλάκι και έχουμε τυλίξει μέσα σε αυτό αβαρές μη εκτατό νήμα. Στην άλλη άκρη του νήματος είναι συνδεδεμένο σημειακό σώμα μάζας m₃ = m. Τόσο μεταξύ της ράβδου και της τροχαλίας όσο και μεταξύ νήματος και τροχαλίας εμφανίζεται τριβή τέτοια ώστε να μην είναι δυνατή η ολίσθηση. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Δίνονται: m = 1kg, g = 10 m/s², η ακτίνα της τροχαλίας R = 1m και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι = (1/2) m₂ R²  .  Επίσης θεωρούμε ότι δεν εμφανίζεται τριβή στην τροχαλία από τον άξονα περιστροφής.

Α. Να βρείτε την παραμόρφωση του ελατηρίου όσο το σύστημα παραμένει ακίνητο.

Β. Ασκούμε εξωτερική δύναμη και φέρνουμε τη ράβδο στο φυσικό μήκος του ελατηρίου. Στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t₀ = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.

  i)  Πόση ενέργεια προσφέραμε στο σύστημα;

 ii)  Να δείξετε ότι η ράβδος θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση.

iii) Nα δώσετε τη σχέση που περιγράφει την στροφορμή της τροχαλίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική απομάκρυνση της ράβδου.

Απάντηση

Δυο ταλαντώσεις – 2ο Θέμα

Τα σώματα Σ₁, Σ₂ του σχήματος , έχουν μάζες m₁= m  και m₂= 4m αντίστοιχα και  ηρεμούν σε ισορροπία πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Τα σώματα αυτά , είναι δεμένα στα άκρα δυο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k₁ = k₂=k   και παράλληλους άξονες, που βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος. Τα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι ακλόνητα. Μετατοπίζουμε τα σώματα κατά μήκος της διεύθυνσης των ελατηρίων ,  προς την ίδια κατεύθυνση κατά d  και την χρονική στιγμή  t = 0,  τα αφήνουμε ελεύθερα ταυτόχρονα και τα δύο σε ηρεμία.

Αργότερα κάποια χρονική στιγμή  t₁ τα σώματα Σ₁ , Σ ₂ κινούνται με ταχύτητες   υ1 , υ2   και απέχουν ίσες αποστάσεις από το σημείο ισορροπίας των .

Α. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή για τα μέτρα των ταχυτήτων τη χρονική στιγμή t₁ ;

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

α. |υ₁| = 2|υ₂| , β. |υ₁| = 4|υ₂| , γ. |υ₁| = 3|υ₂|

Β. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή για τους ρυθμούς μεταβολής των κινητικών ενεργειών των δυο σωμάτων  κατά τη χρονική στιγμή t₁ ;

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

 

Απάντηση

31. Επανάληψη

Ασκήσεις επανάληψης