Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Στα παραπάνω σχήματα βλέπουμε 4 τρόπους για εκροή νερού από μια μεγάλη δεξαμενή, όπου ο οριζόντιος σωλήνας στο σχήμα (α) και οι τρεις άλλοι σωλήνες (σιφώνια), όπου η άντληση γίνεται με αναρρόφηση, έχουν ίσες διατομές.

i) Για τις ταχύτητες εκροής στα σχήματα (α) και (β) ισχύει:

1) υ_α < υ_β,   2)  υ_α = υ_β,   3) υ_α > υ_β.

ii) Για τις  παροχές στα δοχεία (β) και (γ) ισχύει:

1) Π_β < Π_γ,   2)  Π_β = Π_γ,   3) Π_β > Π_γ.

iii) Η σύγκριση των ταχυτήτων εκροής μεταξύ των δοχείων (γ) και (δ) μας δίνει:

1) υ_γ < υ_δ,   2)  υ_γ = υ_δ,   3) υ_γ > υ_δ.

iv) Να συγκριθούν οι συνολικοί χρόνοι εκροής νερού από τα δοχεία (γ) και (δ).

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας, θεωρώντας τις ροές ως μόνιμες και στρωτές ροές, ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Ποιος ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων;

Η τροχαλία του σχήματος μάζας M=6kg και ακτίνας R=0,2m, συνδέεται μέσω νήματος με μια πλάκα μάζας m=2kg σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και εμβαδού βάσης A=200cm². Η πλάκα βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο στην επιφάνεια του οποίου έχει στρωθεί λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l=1mm, το οποίο συμπεριφέρεται ως νευτώνειο υγρό με συντελεστή ιξώδους n=0,25Pa·s. Αρχικά

Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού

 

Από ένα υπερυψωμένο μεγάλο ντεπόζιτο, το οποίο περιέχει νερό σε ύψος h, πρόκειται να αντλήσουμε νερό για να γεμίσουμε ένα άδειο δοχείο όγκου V.  Στο σχήμα βλέπουμε δύο ενδεχόμενα, όπου στο (1) στο κάτω μέρος του δοχείου υπάρχει ένας μικρός οριζόντιος σωλήνας διατομής Α. Στο (2) έχουμε συνδέσει, στην ίδια θέση  ένα λάστιχο εσωτερικής διατομής Α, το οποίο καταλήγει στον πυθμένα του δοχείου.

i) Μόλις αρχίσει η ροή, το νερό θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα στον πυθμένα:

α) του πρώτου δοχείου,  β) του δεύτερου δοχείου,  γ) θα φτάσει με την ίδια ταχύτητα και στα δυο δοχεία.

ii) Η αρχική παροχή θα είναι ίση και στις δυο περιπτώσεις ή όχι;

iii) Η ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας του νερού στο πρώτο δοχείο παραμένει σταθερή ή όχι;

iv) Ποιο δοχείο θα γεμίσει πρώτο;

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας, θεωρώντας τις ροές μόνιμες και στρωτές ροές ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

 ή
  Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού
Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού

Η τροφοδοσία μιας κατοικίας.

Μια διώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό μέσω μιας αντλίας, ο ρόλος της οποίας είναι να δημιουργεί σταθερή πίεση p_ο, στην αριστερή άκρη του οριζόντιου σωλήνα (Σ), με διατομή Α=10cm².

Ο σωλήνας (Σ) διαχωρίζεται σε δύο άλλους σωλήνες (1) και (2), όπου ο πρώτος συνεχίζει σε οριζόντια διεύθυνση μεταφέροντας το νερό στο ισόγειο, ενώ ο δεύτερος ανεβάζει νερό στον πρώτο όροφο σε ύψος h=3m. Οι σωλήνες αυτοί, με διατομή Α₁=5cm², κλείνονται στα άκρα τους με τάπες. Ανοίγουμε την τάπα στο άκρο του σωλήνα (1), οπότε το νερό εκρέει με ταχύτητα υ₁= m/s.

i)   Να υπολογιστεί η πίεση που δημιουργεί η αντλία στο σημείο Ο.

ii)  Κλείνουμε την τάπα στο σωλήνα (1) και ανοίγουμε την τάπα στο άκρο του σωλήνα του πρώτου ορόφου. Ποια είναι η παροχή μέσω του  σωλήνα (2), αν η πίεση στο σημείο Ο παραμένει όση στο προηγούμενο ερώτημα;

Ανοίγουμε ταυτόχρονα και τις δύο τάπες και ρυθμίζουμε έτσι την αντλία, ώστε η παροχή του πρώτου ορόφου να γίνει ίση με 1L/s.

iii)  Να βρεθεί η παροχή από το σωλήνα του ισογείου.

iv) Πόση είναι τώρα η πίεση που δημιουργεί η αντλία στην έξοδό της (σημείο Ο);

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ν/m², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ όλες οι ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Η τροφοδοσία μιας κατοικίας.

Η τροφοδοσία μιας κατοικίας.

Ποσοστιαία μεταβολή παροχής

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης με παροχή Π₁, στο εσωτερικό του οποίου ρέει νερό πυκνότητας ρ_ν=10³kg/m³. Στο σημείο (1), το νερό ρέει με ταχύτητα υ₁=2 m/s. Στους δύο οριζόντιους σωλήνες έχουν συνδεθεί δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες που επικοινωνούν στο πάνω μέρος τους με την ατμόσφαιρα και το νερό ανέρχεται σε αυτούς σε ύψη h₁=0,7m και h₂=0,1m αντίστοιχα. Οι δυο οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατομές Α₁=4cm² και Α₂.

i) Να υπολογιστεί η παροχή του σωλήνα, και ο χρόνος που χρειάζεται για να γεμίσουμε από αυτόν τον σωλήνα ένα κουβά όγκου V=10L.

ii) Να βρεθεί η διατομή Α₂ του λεπτού σωλήνα.

iii) Στο τμήμα του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδό Α₁, στο σημείο 3, παρεμβάλλουμε ένα κοντό σωλήνα τύπου Γ και ανακόπτεται η ροή. Το πάνω μέρος του σωλήνα είναι κλειστό. Αν το νερό ανεβαίνει στον σωλήνα σε ύψος h₃=7 m να βρείτε αν υπάρχει αέριο στο σωλήνα και αν ναι υπολογίστε την πίεσή του.

iv) Να βρεθεί το έργο του περιβάλλοντος ρευστού για μια μετακίνηση μάζας όγκου V=100L από το σημείο 1 στο σημείο 2.

v) Να βρείτε την επί τοις εκατό μεταβολή στην παροχή του σωλήνα ώστε η υψομετρική διαφορά h₁-h₂ στους κατακόρυφους σωλήνες να τετραπλασιαστεί.

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_atm=10⁵pa  και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση

Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Στο σχήμα βλέπετε ένα υπερυψωμένο μεγάλο ντεπόζιτο, σε ύψος Η=10,8m από το έδαφος,  το οποίο περιέχει νερό σε ύψος h=2m, στη βάση του οποίου έχει συνδεθεί ένας σωλήνας ΑΒ, μήκους l=6m και διατομής Α=21cm², ο οποίος σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άκρο Β του σωλήνα, καθώς και η παροχή του σωλήνα.

ii) Πόση είναι η πίεση στην είσοδο Α του σωλήνα;

Αν η πίεση σε κάποια περιοχή στο εσωτερικό του σωλήνα μηδενιστεί, τότε στην περιοχή αυτή εμφανίζονται φυσαλίδες και το φαινόμενο ονομάζεται σπηλαίωση.

iii) Ποιο είναι το μέγιστο μήκος του σωλήνα, ώστε να μην εμφανιστούν φαινόμενα σπηλαίωσης στο εσωτερικό του;

iv) Θέλουμε ο σωλήνας να φτάσει στο έδαφος. Για να μην εμφανιστούν φαινόμενα σπηλαίωσης προτείνεται να αλλάξουμε τη διατομή του σωλήνα, ώστε στο άκρο Α να έχουμε εμβαδόν διατομής Α₁=24cm².

α) Πώς θα μεταβάλλει αυτό την παροχή του σωλήνα;

β) Ποια θα είναι τώρα η τιμή της πίεσης στο άκρο Α του σωλήνα;

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ρα, g=10m/s², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, ενώ οι ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

  Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Δύναμη στη Ράβδο

Tο δοχείο του διπλανού σχήματος περιέχει νερό σε ύψος h=0,8m. Ανοίγουμε στον πυθμένα του μικρή οπή εμβαδού Α₁=2,5cm² με αποτέλεσμα να χύνεται νερό και  η εξερχόμενη φλέβα αυτού να προσπίπτει κατακόρυφα στο άκρο Α της ράβδου ΑΒ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το νερό μετά την πρόσκρουσή του στη ράβδο πέφτει προς το δάπεδο χωρίς ταχύτητα και απομακρύνεται.  Η ράβδος ΑΒ έχει μήκος L=1m μάζα Μ=0,5kg και ισορροπεί σε στήριγμα που απέχει από το κέντρο μάζας της Μ απόσταση d=1/3m.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από το δοχείο και η παροχή του νερού.

ii) Να βρεθεί η δύναμη που πρέπει να δέχεται η ράβδος από το νερό για να ισορροπεί.

iii) Να βρείτε πόσο θα πρέπει να απέχει ο πυθμένας του δοχείου από την επιφάνεια της ράβδου για να ισορροπεί η ράβδος.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g=10m/s² και η πυκνότητα του νερού ρ_ν=1000kg/m³.

Απάντηση

Μια στένωση σε σωλήνα

Στο παραπάνω σχήμα, κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής, σε βάθος Η, έχει συνδεθεί ένας οριζόντιος σωλήνας, από το άκρο του οποίου εκρέει νερό με ορισμένη ταχύτητα.  Ο σωλήνας παρουσιάζει μια περιοχή με στένωση.

Έστω ένα σημείο Κ στον άξονα του σωλήνα, στην περιοχή του στενώματος.

i) Για την πίεση στο σημείο Κ ισχύει:

α) p_Κ=p_ατμ+ρgΗ,   β) p_Κ >  p_ατμ+ρgΗ,   γ) p_Κ= p_ατμ,   δ) p_Κ < p_ατμ.

ii) Αν p_ατμ=6ρgΗ, ενώ το εμβαδόν της διατομής στο στένωμα (Α₁) είναι το μισό της υπόλοιπης διατομής του οριζόντια σωλήνα (Α), τότε η πίεση στο σημείο Κ, έχει τιμή:

α) p_Κ= 1/3 p_ατμ,   β) p_Κ= ½  p_ατμ,     γ) p_Κ= 3/4 p_ατμ,    δ) p_Κ= 4/3 p_ατμ.

Η παραπάνω ροή να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

  Μια στένωση σε σωλήνα

Μια στένωση σε σωλήνα

Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης

Σε ένα δίκτυο ύδρευσης ο κεντρικός οριζόντιος σωλήνας δεν έχει σταθερή διατομή. Θέλοντας να υπολογίσουμε την παροχή μέσω του δικτύου αυτού, επιλέγουμε μια περιοχή όπου ο σωλήνας με διατομή Α₁, ενώνεται με δεύτερο σωλήνα μεγαλύτερης διατομής Α₂. Στους δυο σωλήνες συνδέουμε δυο κατακόρυφους σωληνίσκους Α και Β, εντός των οποίων το νερό ανέρχεται σε κάποιο ύψος. Θεωρούμε τη ροή του νερού σαν μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.

i)   Ποια είναι η εικόνα που θα πάρουμε, αυτή του πάνω ή αυτή του κάτω σχήματος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Αν Α₂=3Α₁ και |h₁-h₂|=h=0,4m να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο φαρδύ σωλήνα.

iii) Να υπολογιστεί η παροχή μέσω του δικτύου αν Α₁=200cm².

Απάντηση:

ή

 Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης

Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης

Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή

Στο παραπάνω σχήμα, βλέπετε μια μεγάλη δεξαμενή με νερό σε ύψος Η=0,8m, κοντά  στη βάση της οποίας συνδέεται οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=3cm², ο οποίος κλείνεται στο άκρο του με τάπα. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουν συνδεθεί οι σωλήνες (1) και (2), όπου το νερό έχει ανέλθει σε ύψη h₁ και h₂ αντίστοιχα.

i)   Να υπολογιστούν τα ύψη h₁ και h₂ του νερού στους δυο κατακόρυφους σωλήνες (ο σωλήνας (2) στο κάτω άκρο του έχει μια καμπυλότητα, όπως εμφανίζεται στο σχήμα), καθώς και η δύναμη που ασκείται από το νερό στην τάπα.

ii)  Σε μια στιγμή ανοίγουμε την τάπα, οπότε αποκαθίσταται μια μόνιμη και στρωτή ροή του νερού.

α) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε ένα κενό δοχείο όγκου 48L, με νερό που εξέρχεται από το δεξιά άκρο του οριζόντιου σωλήνα;

β) Να υπολογιστεί η πίεση στα σημεία Α και Β πάνω στον άξονα του οριζόντιου σωλήνα, βρίσκοντας και τα αντίστοιχα ύψη του νερού στους δυο σωλήνες.

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ρa, το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή

Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή

Η Θεία Λία ή το μυρμήγκι Λία (Aunt Λία ή Ant Λία)

Μία βρύση τροφοδοτεί με νερό μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας και το νερό έχει ανέλθει σε ύψος Η=2m. Ανοίγουμε δύο τρύπες στα τοιχώματα της δεξαμενής στα σημεία 1 και 2 σε ύψη d₁=0,8m και d₂=0,2m από την ελεύθερη επιφάνεια αντίστοιχα. Οι τρύπες έχουν εμβαδά διατομής Α₁=5cm² και Α₂=2,5cm² αντίστοιχα. Το νερό έχει πυκνότητα ρ_ν=1000kg/m³ και θεωρούμε ότι είναι ιδανικό.

i) Να βρείτε την ταχύτητα εκροής από την κάθε τρύπα μόλις ανοίξουμε τις τρύπες.

ii) Να βρείτε την παροχή της βρύσης που τροφοδοτεί με νερό την δεξαμενή προκειμένου να μένει σε σταθερό ύψος Η το νερό της δεξαμενής.

Κλείνουμε την οπή 2 διατηρώντας ίδια την παροχή της βρύσης.

iii) Να βρείτε το νέο ύψος Η΄ που θα σταθεροποιηθεί το νερό στη δεξαμενή.

Στο επίπεδο του εδάφους υπάρχει μια αντλία η οποία μπορεί να τροφοδοτεί την δεξαμενή με νερό, παίρνοντας νερό από μια λίμνη η επιφάνεια της οποίας βρίσκεται στο ίδιο ύψος με το επίπεδο του εδάφους. Αν ο σωλήνας που συνδέεται με την αντλία και καταλήγει στη δεξαμενή έχει εμβαδό επιφανείας Α_σ=2,5cm² τότε:

iv) Να βρείτε την ισχύ της αντλίας προκειμένου να μένει σταθερό το ύψος Η΄ της δεξαμενής έχοντας κλείσει την οπή 2 και τη βρύση. Θεωρείστε ότι το νερό εξέρχεται από την αντλία ακριβώς στο ύψος Η΄.

v) Να βρεθεί το έργο που παράγει η αντλία σε μια ποσότητα νερού μάζας Δm=100kg κατά τη μετακίνηση του νερού από το σημείο Α στο Β. Η ταχύτητα ροής στην είσοδο της αντλίας είναι σχεδόν μηδενική.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας |g|=10m/s², p_atm=10⁵Pa και η επιφάνεια της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερη από τα εμβαδά των οπών στα πλαϊνά τοιχώματα.

Απάντηση

Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».

Το δεξιό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος κλείνεται με έμβολο, εμβαδού Α=0,6m² και αμελητέου βάρους και περιέχει νερό μέχρι ύψος Η. Το δοχείο συνδέεται με λεπτό κατακόρυφο σωλήνα, όπως στο σχήμα, στον οποίο το νερό φτάνει μέχρι ύψος h.

i)  Για το ύψος h του νερού (χωρίς το σώμα Σ στο έμβολο) στον λεπτό σωλήνα, ισχύει:

α) h < Η,     β) h=Η,      γ) h > Η.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii)  Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο ένα σώμα Σ, βάρους w=600Ν. Για να μην μετακινηθεί το έμβολο, προτείνεται να προσθέσουμε νερό στον σωλήνα. Να υπολογισθεί το νέο ύψος της στήλης h₁ στο σωλήνα, ώστε να μην μετακινηθεί το έμβολο, παραμένοντας σε ύψος Η..

iii) Να υπολογιστεί το βάρος του νερού που προσθέσαμε στο σωλήνα, για να εξισορροπήσει την τοποθέτηση του σώματος Σ, πάνω στο έμβολο, αν ο σωλήνας έχει διατομή με εμβαδόν S=4cm².

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».

Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».