Τετάρτη, 7 Νοεμβρίου 2018

Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση



Ένα σώμα μάζας 0,2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=16Ν/m και με την επίδραση μιας εξωτερικής αρμονικής δύναμης F, εκτελεί ταλάντωση, όπου (μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου) έχει τη μορφή x=0,5∙ημ(10t) (S.Ι.). Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται αντίσταση από τον αέρα της μορφής Fαπ=-0,2∙υ (μονάδες στο S.Ι.).
i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη κινητική και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του σώματος στη διάρκεια της εξαναγκασμένης αυτής ταλάντωσης.
ii) Για τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση Β του σχήματος, με απομάκρυνση x1=0,4m και με θετική (προς τα δεξιά) ταχύτητα, να βρεθούν:
α)  Η επιτάχυνση και η εξωτερική δύναμη F.
β)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια. Πόσο είναι το άθροισμα Κ+U;
γ)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.
δ)  Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της αντίστασης αέρα.
ή

Κυριακή, 4 Νοεμβρίου 2018

Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση



Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m και εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση, όπως στο σχήμα, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής Fαπ=-b∙υ. Σε μια στιγμή t1 περνά από τη θέση ισορροπίας του (x=0) κινούμενο προς τα πάνω με ταχύτητα υ1=5m/s, έχοντας ταυτόχρονα και επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω και μέτρο α1=1m/s2.
i)  Να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.
ii) Να βρεθούν την παραπάνω στιγμή t1:
α) Η ενέργεια ταλάντωσης.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος Σ.
iii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t2 το σώμα Σ φτάνει στη θέση Ρ με απομάκρυνση y=1m (θετική φορά προς τα πάνω), με μηδενική ταχύτητα. Για τη στιγμή t2, να βρεθούν η επιτάχυνση του σώματος Σ, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.
iv)  Πόση είναι η μηχανική ενέργεια που εμφανίζεται ως θερμική από τη στιγμή t1, μέχρι τη στιγμή t2;
v)   Μια άλλη χρονική  στιγμή t3 το σώμα περνά από τη θέση y3=-0,5m κινούμενο προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ3=3,2m/s. Για τις χρονικές στιγμές t1, t2, t3 ισχύει:
α)  t1 < t2 < t3,    β)  t1 < t3 < t2,   γ)  t3 < t1 < t2.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
 ή

Πέμπτη, 1 Νοεμβρίου 2018

Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.



Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και βρίσκεται στην λεία καρότσα ενός φορτηγού, όπως στο σχήμα. Με το σύστημα αυτό, μελετάμε τρεις κινήσεις, η μελέτη των οποίων θα γίνει ως προς έναν προσανατολισμένο άξονα x με αρχή το σημείο Ο, σημείο από το οποίο περνά το σώμα Σ τη στιγμή t0=0. 
i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v=2m/s, ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.
Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος Σ τη στιγμή t1=(7π/30)s≈0,7 s.
ii) Το  φορτηγό παραμένει ακίνητο, ενώ το σώμα Σ εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημωt (S.Ι.):
α) Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t1.
β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t2=π/4 s;
iii) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v, ενώ το σώμα Σ πάνω στην καρότσα τίθεται σε ταλάντωση με την ίδια, εξίσωση x=0,2∙ημωt (S.Ι.), ως προς την καρότσα του φορτηγού:
α) Τι τιμές θα πάρουν τώρα η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t1.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε τη μέγιστη και ελάχιστη κινητική του ενέργεια.
γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t2;

Σημείωση: Όλα τα παραπάνω μεγέθη θα υπολογιστούν ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.

Απάντηση:
ή


Τρίτη, 30 Οκτωβρίου 2018

Δυο ελατήρια αλλά φθίνουσες οι ταλαντώσεις



Δυο σώματα Β και Γ, ηρεμούν δεμένα στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων όμοιων  ιδανικών ελατηρίων σταθεράς k, έχοντας προκαλέσει την ίδια επιμήκυνση στα ελατήρια, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό μήκος τους και κάποια στιγμή t0=0, τα αφήνουμε να ταλαντωθούν. Στη διάρκεια της ταλάντωσης, στα σώματα ασκούνται δυνάμεις απόσβεσης της μορφής F=-b∙υ, όπου bΒ= b1 < b2=bΓ , με αποτέλεσμα να εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση.
i)  Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση θα αποκτήσει:
α) Το σώμα Β,  β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες αρχικές επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στη θέση ισορροπίας:
α) Το σώμα Β,  β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iii) Μετά μια πλήρη ταλάντωση κάθε σώματος, τα σώματα:
α) θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.
β) ψηλότερα θα φτάσει το σώμα Β.
γ) ψηλότερα θα φτάσει το σώμα Γ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2018

Δυο ελατήρια με το ίδιο μήκος


Δυο σώματα Β και Γ, της ίδιας μάζας, κρέμονται στα άκρα δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων, με σταθερές k1 και k2, όπως στο σχήμα. Τα ελατήρια έχουν το ίδιο φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό μήκος τους και κάποια στιγμή t0=0, τα αφήνουμε να ταλαντωθούν.
i) Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση, τη στιγμή που αφήνονται να κινηθούν, θα αποκτήσει:
α) Το σώμα Β,    β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στη χαμηλότερη θέση της τροχιάς του:
α) Το σώμα Β,    β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iii) Μεταξύ των μεγίστων κινητικών ενεργειών, που τα σώματα πρόκειται να αποκτήσουν, στη διάρκεια της ταλάντωσης, ισχύει:
α) Κ1 < Κ2,     β)  Κ1 = Κ2,   γ) Κ1 > Κ2.
Όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος Β και Κ2 η αντίστοιχη του σώματος Γ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Πέμπτη, 25 Οκτωβρίου 2018

Ενέργειες και ρυθμοί μεταβολής σε ταλαντώσεις


Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, με ω1=10rad/s και κάποια στιγμή περνά από μια θέση Β με απομάκρυνση x1=0,4m έχοντας ταχύτητα υ=2m/s, όπως στο πρώτο από τα διπλανά σχήματα.
i) Να υπολογιστούν για τη θέση αυτή:
α)  Η επιτάχυνση, η κινητική, η δυναμική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης.
β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής, της δυναμικής ενέργειας και της ενέργειας ταλάντωσης.
ii) Η παραπάνω σφαίρα ταλαντώνεται στο ίδιο περιβάλλον, αλλά τώρα δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-0,2υ  (μονάδες στο S.Ι.), με αποτέλεσμα να ταλαντώνεται με ω2=9rαd/s. Αν κάποια στιγμή περνά από τη θέση Γ (μεσαίο σχήμα) όπου x2=-0,4m, με ταχύτητα υ=2m/s, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις στα δυο προηγούμενα υποερωτήματα;
iii) Αν τώρα στη σφαίρα ασκηθεί επιπλέον και μια περιοδική εξωτερική δύναμη της μορφής Fεξ=F0συν(9,92t) και κάποια στιγμή περνά από τη θέση Δ (κάτω σχήμα) όπου x3=0,5m, με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ το μέτρο της εξωτερικής δύναμης, τη στιγμή αυτή, είναι ίσο με 2Ν, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις στα δυο προηγούμενα υποερωτήματα;
ή

Κυριακή, 21 Οκτωβρίου 2018

Η ενέργεια στη διάρκεια άσκησης της δύναμης



Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Β,  δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t0=0 ασκούμε στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου F=16Ν, μέχρι να φτάσει το σώμα σε μια θέση Γ με μηδενική ταχύτητα, τη στιγμή t1=0,5s, οπότε και παύουμε να ασκούμε τη δύναμη.
i)   Να αποδειχτεί ότι στη διάρκεια της εξάσκησης της δύναμης F,  το σώμα εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος Α1 και την περίοδο Τ1.
ii)  Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός, με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στο σώμα, μέσω του έργου της ασκούμενης δύναμης F.
iii) Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η ισχύς της ασκούμενης δύναμης F, σε συνάρτηση με το χρόνο.
α)  Να υπολογιστεί η ισχύς της δύναμης και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη στιγμή t1= 1/6 s, κατά την οποία περνά από μια θέση Δ.
β)  Να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F, από 0-t1.
iv) Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει το σώμα, μόλις σταματήσει η δράση της δύναμης F. Να υπολογιστεί επίσης η κινητική και η δυναμική ενέργεια τη στιγμή που το σώμα περνά ξανά από τη θέση Δ.

Δίνεται π2≈10.

ή



Πέμπτη, 18 Οκτωβρίου 2018

Ανακρίνοντας ένα διακρότημα


Ένα σώμα εκτελεί περιοδική κίνηση της οποίας η εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση x=0, x1=0,2ημ(49πt) S.I. και x2=0,2ημ(51πt) S.I. με αποτέλεσμα να εμφανίζονται διακροτήματα.
εκφράζεται ως επαλληλία των εξισώσεων κίνησης με χρονικές εξισώσεις
i) Γράψτε την χρονική εξίσωση x(t) της κίνησης του σώματος.
ii) Βρείτε την πρώτη στιγμή μετά την στιγμή t0=0 που το ΄΄πλάτος΄΄ Α΄ της κίνησης είναι μηδέν, καθώς και την πρώτη στιγμή μετά την στιγμή t0=0 που η απομάκρυνση x της κίνησης είναι μηδέν.
iii) Βρείτε το ΄΄πλάτος΄΄ Α΄ την στιγμή που η διαφορά φάσης  Δφ των x1 και x2 είναι ίση με π/2. Κατόπιν τη σχέση που πρέπει να ικανοποιεί η διαφορά φάσης Δφ για τις στιγμές που Α΄=0.
iv) Πόσες φορές μηδενίζεται η απομάκρυνση του σώματος στο χρονικό διάστημα
[0, 0.5sec];
v) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει καμία χρονική στιγμή που η απομάκρυνση να είναι |x|=2A=0,4m.


Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2018

Μετά την άσκηση μεταβλητής δύναμης.


Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή ασκούμε στο σώμα, μια κατακόρυφη μεταβλητή  δύναμη F, με φορά προς τα κάτω, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση F=400y+20 (S.Ι.), όπου y η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Η δύναμη ασκείται στο σώμα, μέχρι αυτό να μετατοπισθεί κατά y1=0,1m, φτάνοντας σε σημείο Ρ, οπότε η δύναμη καταργείται και το σώμα μένει ελεύθερο να εκτελέσει μια απλή αρμονική ταλάντωση, με σταθερά επαναφοράς D=k. Θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική και t=0 τη στιγμή που σταματά η εξάσκηση της δύναμης F, στη θέση Ρ, ενώ g=10m/s2, ζητούνται:
i)    Να υπολογιστεί η ενέργεια της ταλάντωσης, καθώς και το πλάτος ταλάντωσης.
ii)  Η δυναμική και η κινητική ενέργεια του σώματος, τη στιγμή που το σώμα περνά από το σημείο Ρ, κινούμενο προς τα πάνω, για πρώτη φορά.
iii) Αν το σώμα επανέρχεται στο σημείο Ρ, κινούμενο προς τα πάνω (για πρώτη φορά), τη χρονική στιγμή t1=π/15 (s), να υπολογιστούν:
α)  Η μάζα του σώματος
β)  Η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t1.
iv) Να υπολογιστούν η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης, η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής τους, τη χρονική στιγμή t2=π/10 (s).
ή

Δευτέρα, 15 Οκτωβρίου 2018

Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση



Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ των θέσεων Β και Γ, γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο, όπως στο σχήμα, με εξίσωση απομάκρυνσης:
x=0,2∙ημ(2πt)   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, τη στιγμή t1 που περνά από το μέσον Μ της ΟΓ, κινούμενη προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση).
Τη στιγμή t1 στη σφαίρα ασκείται μια σταθερή δύναμη F1 μέτρου F1=21Ν, με κατεύθυνση προς τα δεξιά, όπως στο πάνω σχήμα, μέχρι να φτάσει η σφαίρα στη θέση Ν, έχοντας μετατοπισθεί κατά Δx=0,4m, οπότε η δύναμη παύει να ασκείται. Να βρεθούν:
ii) Η επιτάχυνση της σφαίρας μόλις ασκηθεί η δύναμη F1.
iii) Η τελική ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, καθώς και η ταχύτητά της τη στιγμή που παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F1.
iv) Αν δεν ασκείτο στη σφαίρα η παραπάνω δύναμη F1, αλλά μια άλλη δύναμη F2, με μέτρο F2=8Ν , τη στιγμή που βρίσκεται στην ακραία αρνητική θέση της Β (κάτω σχήμα) και για χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ποια θα ήταν τελικά η ενέργεια ταλάντωσης, μετά την κατάργησή της;
Δίνεται π2≈10
ή

Μία και δύο και τρεις ταλαντώσεις


Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων με μάζα m=1kg εκτελεί ταλάντωση που μπορεί να θεωρηθεί ότι
προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων:
  x1=4·ημ(4πt)S.I.   και x2=4√3·ημ(4πt+π/2) S.I.      
i) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x της κίνησης σε συνάρτηση με τον χρόνο.
ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος, κάποια στιγμή που η απομάκρυνση της εξίσωσης x1=4m.
iii) Να βρείτε σε ποιες θέσεις της ταλάντωσης μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος. Πόσος  χρόνος μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας; 

Αν το σώμα εκτελούσε ταλάντωση η οποία μπορούσε να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1, x2 και μιας άγνωστης x3, που έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια Θ.Ι. με τις x1 και x2, τότε  το αποτέλεσμα της σύνθεσης και των τριών εξισώσεων είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση:
x1,2,3=2·ημ(4πt+4π/3)S.I.  
iv) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση x3 σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Θεωρείστε ότι η αρχική φάση φ0 έχει πεδίο τιμών από [0, 2π).