Κυριακή, 26 Μαΐου 2019

Ο δίσκος και ο κύλινδρος


Ο λεπτός ομογενής δίσκος ακτίνας R και μάζας m και ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος ακτίνας r= ½ R και μάζας Μ=2m, στρέφονται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται και με τον άξονα συμμετρίας τους, όπως στο σχήμα. Τα δυο στερεά περιστρέφονται με αντίθετη φορά και με γωνιακές ταχύτητες του ίδιου μέτρου. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του λεπτού δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του ικανοποιεί την εξίσωση Ιδ= λ mR2.
i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες (δεν απαιτείται δικαιολόγηση):
α)  Η στροφορμή του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του, έχει φορά προς τα πάνω.
β)  Η συνολική στροφορμή του συστήματος των δύο στερεών ως προς τον άξονα περιστροφής, είναι κατακόρυφη.
γ)  Ο κύλινδρος έχει διπλάσια κινητική ενέργεια από τον δίσκο.
δ)  Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα z, είναι ανάλογη του ύψους του h.
ii) Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ικανοποιεί επίσης την εξίσωση Ικ=λΜr2, όπου ο συντελεστής λ είναι ίδιος με το λ του δίσκου.
iii) Αν ο δίσκος έχει κινητική ενέργεια Κ1, τότε ο κύλινδρος έχει κινητική ενέργεια Κ2, όπου:
α) Κ2= ½ Κ1,   β) Κ2= Κ1,    γ) Κ2=2Κ1.
iv) Αν το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα z, είναι L2, τότε η συνολική στροφορμή του συστήματος:
α) Έχει φορά προς τα πάνω και μέτρο ½ L2.
β) Έχει φορά προς τα πάνω και μέτρο  L2.
γ) Έχει φορά προς τα κάτω και μέτρο ½ L2.
δ) Έχει φορά προς τα κάτω και μέτρο  L2.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας (πλην της ερώτησης i)).
ή

Παρασκευή, 24 Μαΐου 2019

Όταν έρχονται τα κάτω πάνω…

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο έχουμε έναν ομογενή κύλινδρο, γύρω από τον οποίο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσει από μια τροχαλία (με οριζόντιο το ελεύθερο τμήμα του) στο άλλο άκρο του έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ μάζας m. Ασκώντας μια οριζόντια δύναμη F στο κέντρο του κυλίνδρου πετυχαίνουμε το σώμα Σ να ισορροπεί, όπως στο σχήμα.
i)   Να εξετάσετε αν μπορεί ταυτόχρονα να ισορροπεί και ο κύλινδρος.
ii)  Αν η μάζα του κυλίνδρου είναι Μ=4m, τότε η δύναμη F, για την επίτευξη της ισορροπίας του σώματος Σ, έχει μέτρο:
α) F=mg,   β) F=2mg,   γ) F=3mg,   δ) F=4mg
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του Ι= ½ ΜR2.
ή


Τετάρτη, 22 Μαΐου 2019

Μια αατ και μια ελαστική κρούση.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Μετακινούμε το σώμα Σ προς τα αριστερά συμπιέζοντας το ελατήριο, προσφέροντάς του ενέργεια 4J και το αφήνουμε να κινηθεί, εκτελώντας αατ, με σταθερά επαναφοράς D=k. Μετά από λίγο, τη στιγμή t1, το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο ακίνητο σώμα Σ1. Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Σ από τη θέση ισορροπίας του.
i) Η στιγμή t1 συνδέεται με την περίοδο ταλάντωσης πριν την κρούση με τη σχέση:
α) t1= ¼ Τ,   β)  t1= 1/3 Τ,   γ)  t1= 2/5 Τ,   δ) t1= ½ Τ
ii) Πόσο μεταβάλλεται η περίοδος ταλάντωσης λόγω κρούσης;
iii) Το σώμα Σ1 έχει μάζα m1, όπου:
α) m1 < m,    β) m1 = m,    γ) m1 > m.
iv) Με ποια κινητική ενέργεια θα κινηθεί το σώμα Σ1 μετά την κρούση;
ή

Κυριακή, 19 Μαΐου 2019

Δύο αρμονικοί παλμοί συμβάλουν

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δυο ημιτονοειδείς παλμοί με πλάτη Α=0,2m και με ταχύτητα υ=1m/s και σε μια στιγμή t=0 η μορφή του μέσου είναι όπως στο σχήμα, όπου (ΒΓ)=1m:

Τη στιγμή αυτή το σημείο Β έχει ταχύτητα ταλάντωσης υ1=0,2π m/s.
i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ.
ii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t1=1s.
α)  Πόση είναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και ποια η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ, στο μέσον της ΒΓ;
β)  Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ και να υπολογίστε τα μέτρα τους.
iii) Ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις σας για τη χρονική στιγμή t2=1,5s;
ή

Μεταβλητή δύναμη σε κύλινδρο



Ο κύλινδρος του διπλανού σχήματος έχει μάζα m=8kg, ακτίνα R=0,1m και στην περιφέρειά του είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα.
Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται μεταβλητή  δύναμη το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση x του κέντρου μάζας του σώματος σύμφωνα με τη σχέση F=30+9x, xm και ο κύλινδρος κυλίεται. Αρχικά το κέντρο μάζας του κυλίνδρου βρίσκεται στη θέση x=0.

i. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του δαπέδου και του κυλίνδρου είναι μ=0,5 ο κύλινδρος θα ολισθήσει στη θέση:
α. x=14m                    β. x=10m                                            γ. x=7m

ii. H δύναμη στο διάστημα από τη θέση x=0 έως τη θέση x=4m μεταφέρει ενέργεια στον κύλινδρο ίση με:
            α. Ε=256J                   β. Ε=192J                                           γ. Ε=384J

iii. H ισχύς της δύναμης στη θέση x=4m είναι ίση με:
α. P=256W                  β. P=528W                                          γ. P=1056W



Σάββατο, 18 Μαΐου 2019

Δύο όμοιες ράβδοι επιταχύνονται

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο όμοιες ομογενείς ράβδοι μάζας m και μήκους ℓ. Η πρώτη ΑΒ,  μπορεί να  στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Α, ενώ η δεύτερη ΓΔ είναι ελεύθερη.

Σε μια στιγμή ασκούνται στις ράβδους δύο ίσες δυνάμεις F στα άκρα Β και Δ, κάθετες στις ράβδους, όπως στο σχήμα.
i) Αν α1 και α2 οι αρχικές επιταχύνσεις των κέντρων μάζας των ράβδων ΑΒ και ΓΔ, αντίστοιχα, ισχύει:
α) α12,   β) α1= α2   γ) α1 > α2.
ii) Για τα μέτρα των επιταχύνσεων των σημείων εφαρμογής των δυνάμεων ισχύει:
α) αΒ < αΔ,     β) αΒ = αΔ,     γ) αΒ > αΔ.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= mℓ2/12.
ή

Πέμπτη, 16 Μαΐου 2019

Ένα στερεό κυλίεται



Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται ένα στερεό s, το οποίο αποτελείται από έναν ομογενή κύλινδρο, ακτίνας R και μάζας m και μια σημειακή σφαίρα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m1= ½ m η οποία έχει προσκολληθεί στην περιφέρεια του κυλίνδρου.  Σε μια στιγμή t0=0, το στερεό βρίσκεται στη θέση που δείχνει το σχήμα, με την ακτίνα ΟΑ οριζόντια, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω.
i)  Η κινητική ενέργεια του στερεού s, στη θέση αυτή, είναι ίση με:
αΚs= ¾ mR2ω2,     βΚs=mR2ω2    γΚs= 5/4 mR2ω2
ii) Στην παραπάνω θέση, η γωνιακή ταχύτητα του στερεού:
α) Μειώνεται,     β) Παραμένει σταθερή,     γ) Αυξάνεται.
iii) Η τριβή που ασκείται στο στερεό από το επίπεδο:
 α) Έχει φορά προς τα δεξιά.
 β) Έχει φορά προς τα αριστερά.
 γ) Είναι μηδενική.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR2.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Τετάρτη, 15 Μαΐου 2019

Ο δίσκος και το τετράγωνο.

Διαθέτουμε δυο πλάκες, του ίδιου πάχους και από το ίδιο υλικό. Η μία είναι κυκλική (ένας λεπτός δίσκος) ακτίνας R και η άλλη τετράγωνη πλευράς α=2R. Οι δυο πλάκες μπορούν να περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες που περνούν από τα κέντρα τους Κ και Ο, χωρίς τριβές. Σε μια στιγμή ασκούμε στα δυο στερεά την ίδια δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i) Για τις ροπές αδράνειας Ι1 και Ι2,  δίσκου και τετραγώνου αντίστοιχα, ως προς τους άξονες περιστροφής τους, ισχύει:
α) Ι12,   β) Ι12,   γ) Ι12.
ii) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση θα αποκτήσει:
α) Ο δίσκος,  
β) Η τετράγωνη πλάκα.
γ) Τα δύο στερεά θα αποκτήσουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Τρίτη, 14 Μαΐου 2019

Η ισορροπία ενός συστήματος




Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R1=0,2m και R2=0,1m και μπορεί να στρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο. Στη διπλή τροχαλία έχουμε δέσει τα ιδανικά νήματα Ν1 και Ν2 και έχουμε αναρτήσει σε αυτά τα σώματα με μάζες m1=4kg και m2=2kg αντίστοιχα. Με ένα τρίτο νήμα Ν3 δένουμε την τροχαλία με το άκρο την αρθρωμένη ράβδο ΑΒ που έχει μάζα Μ και μήκος L=2m στο ελεύθερο άκρο της Β. Το όλο σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο να σχηματίζει γωνία φ με ημφ=0,6 και συνφ=0,8 με την οριζόντια διεύθυνση.

i. Η μάζα Μ της ράβδου είναι:
α. Μ=6kg                    β. Μ=9kg                    γ. Μ=3kg

ii. Αν φέρουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο τότε:
α. Η τροχαλία θα στραφεί δεξιόστροφα        
β. Η τροχαλία δεν θα στραφεί
γ. Η τροχαλία θα στραφεί αριστερόστροφα

Επιλέξτε τις σωστές απαντήσεις.
Δικαιολογήστε τις επιλογές σας.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας |g|=10m/s2


Κυριακή, 12 Μαΐου 2019

Ο τροχός με την επίδραση ζεύγους και δύναμης

Ο τροχός του διπλανού σχήματος μάζας Μ=8kg και ακτίνας R=0,5m, θεωρείται ομογενής δίσκος με ροπή αδράνειας Ιcm= ½ ΜR2 και βρίσκεται ακίνητος σε οριζόντιο δρόμο. 
Σε μια στιγμή tο=0 ασκούνται ταυτόχρονα στον τροχό ένα ζεύγος δυνάμεων και μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα, με μέτρο F=4Ν. Τη στιγμή t1=10s, αλλάζουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης με αποτέλεσμα η γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου Ο του τροχού, να μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διάγραμμα. Σε όλη τη διάρκεια της παραπάνω κίνησης, ο τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) ενώ η ροπή του  ζεύγους παραμένει σταθερή.

i)   Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού καθώς και η γωνιακή του επιτάχυνση από 0-t1.
ii)  Να βρεθεί η τριβή που ασκείται στον τροχό, καθώς και να υπολογιστεί η ροπή του ζεύγους, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.
iii) Για το χρονικό διάστημα από 10s-15s, να υπολογιστούν:
α) Το μέτρο της ασκούμενης δύναμης  F.
β) Η τριβή που ασκείται στον τροχό.
ή

Παρασκευή, 10 Μαΐου 2019

Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής δίσκος ακτίνας R=0,4m και μάζας 10kg, ο οποίος μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα που συνδέει το κέντρο του Ο, με το άκρο μιας ομογενούς ράβδου ΑΚ μήκους ℓ=2R και μάζας Μ=30kg, η οποία μπορεί να στρέφεται, επίσης χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο σταθερό άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Κ. Τυλίγουμε γύρω από τον δίσκο ένα μη εκτατό νήμα, αμελητέας μάζας, στο άκρο του οποίο τη στιγμή t=0, ασκούμε μια σταθερού μέτρου δύναμη F=40Ν, με αποτέλεσμα το νήμα να ξετυλίγεται θέτοντας σε περιστροφή, τόσο το δίσκο όσο και τη ράβδο. Η διεύθυνση της δύναμης F, σε κάθε θέση, είναι κάθετη στον άξονα της ράβδου ΑΚ, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστούν οι γωνιακές επιταχύνσεις για τις περιστροφές του δίσκου και της ράβδου.
ii) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της στο Κ.
iii) Τη χρονική στιγμή t1=4s να βρεθούν:
α) πόσες περιστροφές έχει πραγματοποιήσει ο δίσκος γύρω από τον άξονά του στο κέντρο του Ο και πόσες η ράβδος, γύρω από τον άξονα στο Κ.
β) Οι αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες των δύο στερεών.
γ)  Η κινητική ενέργεια του συστήματος και
δ) Η ισχύς της ασκούμενης δύναμης F.
Δίνονται οι ροπές αδράνειας δίσκου και ράβδου, ως προς τους άξονες περιστροφής τους Ιδ= ½ mR2 και Ιρ= 1/3 Μℓ2.
ή