Τρίτη, 22 Ιανουαρίου 2019

Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.



Στο σχήμα βλέπετε ένα υπερυψωμένο μεγάλο ντεπόζιτο, σε ύψος Η=10,8m από το έδαφος,  το οποίο περιέχει νερό σε ύψος h=2m, στη βάση του οποίου έχει συνδεθεί ένας σωλήνας ΑΒ, μήκους l=6m και διατομής Α=21cm2, ο οποίος σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άκρο Β του σωλήνα, καθώς και η παροχή του σωλήνα.
ii) Πόση είναι η πίεση στην είσοδο Α του σωλήνα;
Αν η πίεση σε κάποια περιοχή στο εσωτερικό του σωλήνα μηδενιστεί, τότε στην περιοχή αυτή εμφανίζονται φυσαλίδες και το φαινόμενο ονομάζεται σπηλαίωση.
iii) Ποιο είναι το μέγιστο μήκος του σωλήνα, ώστε να μην εμφανιστούν φαινόμενα σπηλαίωσης στο εσωτερικό του;
iv) Θέλουμε ο σωλήνας να φτάσει στο έδαφος. Για να μην εμφανιστούν φαινόμενα σπηλαίωσης προτείνεται να αλλάξουμε τη διατομή του σωλήνα, ώστε στο άκρο Α να έχουμε εμβαδόν διατομής Α1=24cm2.
α) Πώς θα μεταβάλλει αυτό την παροχή του σωλήνα;
β) Ποια θα είναι τώρα η τιμή της πίεσης στο άκρο Α του σωλήνα;
Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ρα, g=10m/s2, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3, ενώ οι ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού.
ή

Κυριακή, 20 Ιανουαρίου 2019

Δύναμη στη Ράβδο



Tο δοχείο του διπλανού σχήματος περιέχει νερό σε ύψος h=0,8m. Ανοίγουμε στον πυθμένα του μικρή οπή εμβαδού Α1=2,5cm2 με αποτέλεσμα να χύνεται νερό και  η εξερχόμενη φλέβα αυτού να προσπίπτει κατακόρυφα στο άκρο Α της ράβδου ΑΒ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το νερό μετά την πρόσκρουσή του στη ράβδο πέφτει προς το δάπεδο χωρίς ταχύτητα και απομακρύνεται.  Η ράβδος ΑΒ έχει μήκος L=1m μάζα Μ=0,5kg και ισορροπεί σε στήριγμα που απέχει από το κέντρο μάζας της Μ απόσταση d=1/3m.
i) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από το δοχείο και η παροχή του νερού.
ii) Να βρεθεί η δύναμη που πρέπει να δέχεται η ράβδος από το νερό για να ισορροπεί.
iii) Να βρείτε πόσο θα πρέπει να απέχει ο πυθμένας του δοχείου από την επιφάνεια της ράβδου για να ισορροπεί η ράβδος.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g=10m/s2 και η πυκνότητα του νερού ρν=1000kg/m3.


Σάββατο, 19 Ιανουαρίου 2019

Μια στένωση σε σωλήνα


Στο παραπάνω σχήμα, κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής, σε βάθος Η, έχει συνδεθεί ένας οριζόντιος σωλήνας, από το άκρο του οποίου εκρέει νερό με ορισμένη ταχύτητα.  Ο σωλήνας παρουσιάζει μια περιοχή με στένωση.
Έστω ένα σημείο Κ στον άξονα του σωλήνα, στην περιοχή του στενώματος.
i) Για την πίεση στο σημείο Κ ισχύει:
α) pΚ=pατμ+ρgΗ,   β) pΚ  pατμ+ρgΗ,   γ) pΚ= pατμ  δ) pΚ < pατμ.
ii) Αν pατμ=6ρgΗ, ενώ το εμβαδόν της διατομής στο στένωμα (Α1) είναι το μισό της υπόλοιπης διατομής του οριζόντια σωλήνα (Α), τότε η πίεση στο σημείο Κ, έχει τιμή:
α) pΚ= 1/3 pατμ  β) pΚ= ½  pατμ    γ) pΚ= 3/4 pατμ   δ) pΚ= 4/3 pατμ.
Η παραπάνω ροή να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.
ή

Τετάρτη, 16 Ιανουαρίου 2019

 Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης


Σε ένα δίκτυο ύδρευσης ο κεντρικός οριζόντιος σωλήνας δεν έχει σταθερή διατομή. Θέλοντας να υπολογίσουμε την παροχή μέσω του δικτύου αυτού, επιλέγουμε μια περιοχή όπου ο σωλήνας με διατομή Α1, ενώνεται με δεύτερο σωλήνα μεγαλύτερης διατομής Α2. Στους δυο σωλήνες συνδέουμε δυο κατακόρυφους σωληνίσκους Α και Β, εντός των οποίων το νερό ανέρχεται σε κάποιο ύψος. Θεωρούμε τη ροή του νερού σαν μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.
i)   Ποια είναι η εικόνα που θα πάρουμε, αυτή του πάνω ή αυτή του κάτω σχήματος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Αν Α2=3Α1 και |h1-h2|=h=0,4m να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο φαρδύ σωλήνα.
iii) Να υπολογιστεί η παροχή μέσω του δικτύου αν Α1=200cm2.
ή

Δευτέρα, 14 Ιανουαρίου 2019

Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή


Στο παραπάνω σχήμα, βλέπετε μια μεγάλη δεξαμενή με νερό σε ύψος Η=0,8m, κοντά  στη βάση της οποίας συνδέεται οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=3cm2, ο οποίος κλείνεται στο άκρο του με τάπα. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουν συνδεθεί οι σωλήνες (1) και (2), όπου το νερό έχει ανέλθει σε ύψη h1 και h2 αντίστοιχα.
i)   Να υπολογιστούν τα ύψη h1 και h2 του νερού στους δυο κατακόρυφους σωλήνες (ο σωλήνας (2) στο κάτω άκρο του έχει μια καμπυλότητα, όπως εμφανίζεται στο σχήμα), καθώς και η δύναμη που ασκείται από το νερό στην τάπα.
ii)  Σε μια στιγμή ανοίγουμε την τάπα, οπότε αποκαθίσταται μια μόνιμη και στρωτή ροή του νερού.
α) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε ένα κενό δοχείο όγκου 48L, με νερό που εξέρχεται από το δεξιά άκρο του οριζόντιου σωλήνα;
β) Να υπολογιστεί η πίεση στα σημεία Α και Β πάνω στον άξονα του οριζόντιου σωλήνα, βρίσκοντας και τα αντίστοιχα ύψη του νερού στους δυο σωλήνες.
Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ρa, το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2.
ή

Κυριακή, 13 Ιανουαρίου 2019

Η Θεία Λία ή το μυρμήγκι Λία (Aunt Λία ή Ant Λία)




Μία βρύση τροφοδοτεί με νερό μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας και το νερό έχει ανέλθει σε ύψος Η=2m. Ανοίγουμε δύο τρύπες στα τοιχώματα της δεξαμενής στα σημεία 1 και 2 σε ύψη d1=0,8m και d2=0,2m από την ελεύθερη επιφάνεια αντίστοιχα. Οι τρύπες έχουν εμβαδά διατομής Α1=5cm2 και Α2=2,5cm2 αντίστοιχα. Το νερό έχει πυκνότητα ρν=1000kg/m3 και θεωρούμε ότι είναι ιδανικό.
i) Να βρείτε την ταχύτητα εκροής από την κάθε τρύπα μόλις ανοίξουμε τις τρύπες.
ii) Να βρείτε την παροχή της βρύσης που τροφοδοτεί με νερό την δεξαμενή προκειμένου να μένει σε σταθερό ύψος Η το νερό της δεξαμενής.

Κλείνουμε την οπή 2 διατηρώντας ίδια την παροχή της βρύσης.
iii) Να βρείτε το νέο ύψος Η΄ που θα σταθεροποιηθεί το νερό στη δεξαμενή.

Στο επίπεδο του εδάφους υπάρχει μια αντλία η οποία μπορεί να τροφοδοτεί την δεξαμενή με νερό, παίρνοντας νερό από μια λίμνη η επιφάνεια της οποίας βρίσκεται στο ίδιο ύψος με το επίπεδο του εδάφους. Αν ο σωλήνας που συνδέεται με την αντλία και καταλήγει στη δεξαμενή έχει εμβαδό επιφανείας Ασ=2,5cm2 τότε:
iv) Να βρείτε την ισχύ της αντλίας προκειμένου να μένει σταθερό το ύψος Η΄ της δεξαμενής έχοντας κλείσει την οπή 2 και τη βρύση. Θεωρείστε ότι το νερό εξέρχεται από την αντλία ακριβώς στο ύψος Η΄.
v) Να βρεθεί το έργο που παράγει η αντλία σε μια ποσότητα νερού μάζας Δm=100kg κατά τη μετακίνηση του νερού από το σημείο Α στο Β. Η ταχύτητα ροής στην είσοδο της αντλίας είναι σχεδόν μηδενική.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας |g|=10m/s2, patm=105Pa και η επιφάνεια της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερη από τα εμβαδά των οπών στα πλαϊνά τοιχώματα.


Παρασκευή, 11 Ιανουαρίου 2019

Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».


Το δεξιό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος κλείνεται με έμβολο, εμβαδού Α=0,6m2 και αμελητέου βάρους και περιέχει νερό μέχρι ύψος Η. Το δοχείο συνδέεται με λεπτό κατακόρυφο σωλήνα, όπως στο σχήμα, στον οποίο το νερό φτάνει μέχρι ύψος h.
i)  Για το ύψος h του νερού (χωρίς το σώμα Σ στο έμβολο) στον λεπτό σωλήνα, ισχύει:
α) h < Η,     β) h=Η,      γ) h > Η.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii)  Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο ένα σώμα Σ, βάρους w=600Ν. Για να μην μετακινηθεί το έμβολο, προτείνεται να προσθέσουμε νερό στον σωλήνα. Να υπολογισθεί το νέο ύψος της στήλης h1 στο σωλήνα, ώστε να μην μετακινηθεί το έμβολο, παραμένοντας σε ύψος Η..
iii) Να υπολογιστεί το βάρος του νερού που προσθέσαμε στο σωλήνα, για να εξισορροπήσει την τοποθέτηση του σώματος Σ, πάνω στο έμβολο, αν ο σωλήνας έχει διατομή με εμβαδόν S=4cm2.
Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 10 Ιανουαρίου 2019

Κάτι σαν Torricelli…




Σε ένα δοχείο με μεγάλη διατομή επιφάνειας που περιέχει νερό τοποθετούμε στρώμα λαδιού ύψους h1=5m. Σε απόσταση h2=5m από την επιφάνεια του νερού ανοίγουμε μικρή οπή εμβαδού Α=2cm2, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το νερό εξέρχεται σε κλειστό δοχείο πολύ μεγάλου όγκου που περιέχει αέρα σε πίεση Pαερ=1,4Patm  και η οποία διατηρείται σταθερή μέσω αισθητήρα ο οποίος μπορεί να καθορίζει κάθε χρονική στιγμή την ποσότητα αέρα στο κλειστό δοχείο.
i) Να βρεθεί η πίεση σε σημείο Γ της διαχωριστικής επιφάνειας λαδιού – νερού.
ii) Να βρεθεί η ταχύτητα και η παροχή με την οποία εξέρχεται το νερό στο κλειστό δοχείο, αν η διατομή της ελεύθερης επιφάνειας του δοχείου είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την οπή.

iii) Αν η διατομή του δοχείου έχει εμβαδόν Α1=10cm2, να υπολογιστεί ξανά η ταχύτητα εκροής του νερού τη στιγμή t=0 που εισέρχεται στο κλειστό δοχείο που περιέχει αέρα, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η πάνω επιφάνεια του λαδιού.
iv) Να βρείτε που θα σταματήσει η ροή στην περίπτωση του ερωτήματος iii).
v) Αν η διατομή της επιφάνειας του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή της οπής, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας mol του αέρα dn/dt που θα πρέπει να εξέρχεται μέσω του αισθητήρα, για να διατηρείται η πίεση στο κλειστό δοχείο σταθερή.
Το αέριο στο κλειστό δοχείο θεωρείται ιδανικό και δεν διαλύεται στο νερό. Ισχύει για αυτό κάθε στιγμή η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων PV=nRT, όπου P η πίεση του αερίου, V ο όγκος του, n ο αριθμός των mol, Τ η θερμοκρασία του και R=8,314J/(mol·K)
Η θερμοκρασία του αερίου είναι σταθερή σε όλη τη διεργασία και ίση με Τ=2500/R K.

Δίνεται Patm=105Pa, η πυκνότητα του νερού ρν=103kg/m3, η πυκνότητα του λαδιού ρλ=800kg/m3 και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s2.



Απάντηση

Τετάρτη, 9 Ιανουαρίου 2019

Ένας αντεστραμμένος σωλήνας


Σε ένα ανοικτό δοχείο με νερό έχουμε αντιστρέψει έναν κατακόρυφο σωλήνα, όπως στο σχήμα (1), όπου το νερό έχει ανέβει κατά α, όσο είναι και το βυθισμένο μέρος του σωλήνα. Το βάρος του σωλήνα θεωρείται αμελητέο.
i)  Για να συγκρατείται στη θέση του ο σωλήνας, πρέπει να του ασκούμε με το χέρι μας:
α) Κατακόρυφη δύναμη προς τα πάνω, όπως η F1.
β) Κατακόρυφη δύναμη προς τα κάτω, όπως η F2.
γ) Δεν απαιτείται η άσκηση κάποιας δύναμης.
ii) Ασκώντας κατάλληλη δύναμη στο σωλήνα τον ανεβάζουμε κατά y, φέρνοντάς τον  στη θέση που δείχνει το σχήμα (2). Τότε η στάθμη του νερού στο εσωτερικό του:
α) Θα ανέβει,    β) θα κατέβει,   γ) θα παραμείνει στο ίδιο ύψος α.

ή

Δευτέρα, 7 Ιανουαρίου 2019

Όταν η πηγή επιταχύνεται...και φαινόμενο doppler.


Τι γίνεται όταν μια ηχητική πηγή επιταχύνεται; Μπορούμε να υπολογίζουμε τη συχνότητα που ακούει ένας ακίνητος παρατηρητής, χρησιμοποιώντας τις γνωστές εξισώσεις που έχουν προκύψει στην περίπτωση που η πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα;
Ας το δούμε:
  1. Μια ηχητική πηγή κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ0=40m/s παράγοντας ήχο συχνότητας fs= 600Ηz. Ποια συχνότητα ακούει ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε απόσταση d μπροστά από την πηγή; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα υ=340m/s.
  2. Η παραπάνω πηγή κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=4m/s2 και σε μια στιγμή t0=10s, που έχει ταχύτητα υ0=40m/s, παράγει έναν ήχο. Ποια η συχνότητα του ήχου αυτού, όταν  φτάσει στον παρατηρητή μας Α, στην ίδια απόσταση d;
Απάντηση:
ή
%ce%b1%ce%b1%ce%b1%ce%b11 Όταν η πηγή επιταχύνεται...και φαινόμενο doppler.
%ce%b1%ce%b1%ce%b1%ce%b13  Όταν η πηγή επιταχύνεται...και φαινόμενο doppler.

Λάδι vs Νερό



Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται δύο δοχεία Α και Β.
Το δοχείο Α περιέχει νερό σε μεγάλο ύψος Ην και από πάνω του χύνεται στρώμα λαδιού ύψους h=1m. Σε απόσταση y1=0,9m από την κάτω επιφάνεια του λαδιού ανοίγεται μικρή οπή και το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα υ1.
Στο δοχείο Β τοποθετούμε αρχικά το λάδι σε μεγάλο ύψος Ηλ  και κατόπιν νερό μέχρι ύψος h=1m. Η ανάμιξη των υγρών εμποδίζεται από ένα πολύ λεπτό αβαρές έμβολο που τοποθετείται ανάμεσα στο λάδι και το νερό. Σε απόσταση y2 από την κάτω επιφάνεια του νερού ανοίγεται μικρή οπή και το λάδι εξέρχεται στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα υ2.
i) Για να εξέρχονται με την ίδια ταχύτητα τα δύο ρευστά θα πρέπει η απόσταση y2 να είναι ίση με:
α) y2=0,9m                              β) y2=0,45m                            γ) y2=0,3m

ii) Για να έχουν ίδιο βεληνεκές η φλέβα του νερού και η φλέβα του λαδιού όταν εξέρχονται από τα δοχεία Α και Β για τα ύψη Ην και Ηλ θα πρέπει να ισχύει:
α) Ην–Ηλ=0,45m                     β) Ηλ–Ην=0,45m                     γ) Ην–Ηλ=0,9m

Να επιλέξετε τις απαντήσεις σας.
Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Να θεωρήσετε το νερό και το λάδι ιδανικά ρευστά.

Δίνονται: το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s2, η πυκνότητα του νερού ρν=103kg/m3, η πυκνότητα του λαδιού ρλ=0,8·103kg/m3 και η ατμοσφαιρική πίεση patm=105N/m2. Η διατομή των δοχείων είναι πολύ μεγαλύτερη της οπής.