Οι μεταβολές ορμής και στροφορμής

  

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg κινείται με σταθερή ταχύτητα υ_ο=5m/s σε λείο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να περιστρέφεται. Σε μια θέση Α συναντά ένα κατακόρυφο κυκλικό οδηγό, κέντρου Ο και ακτίνας R=0,8m, στον οποίο συνεχίζει να κινείται χωρίς τριβές, οπότε μετά από λίγο περνά από την θέση Γ, όπου η ταχύτητά της γίνεται κατακόρυφη.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ₁ της σφαίρας στη θέση Γ.

ii) Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας από το Α στο Γ, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής  στις θέσεις Α (αμέσως μόλις μπει στον κυκλικό οδηγό) και  Γ.

iii) Να βρεθεί ομοίως, η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο, μεταξύ Α και Γ και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (ως προς το Ο) στις θέσεις Α και Γ.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Οι μεταβολές ορμής και στροφορμής

Οι μεταβολές ορμής και στροφορμής

Το πλαίσιο αλλάζει μαγνητικό πεδίο

 

Ένα τετράγωνο ομογενές αγώγιμο πλαίσιο πλευράς l=1m, με αντίσταση R=0,4Ω και μάζα m=0,4kg, σύρεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση μεταβλητής οριζόντιας δύναμης F, κινούμενο με σταθερή επιτάχυνση. Στο χώρο υπάρχουν δύο περιοχές όπου έχουμε δύο ομογενή κατακόρυφα μαγνητικά πεδία, με εντάσεις Β₁=Β₂=1Τ, αντίθετης φοράς, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Το πλαίσιο εισέρχεται στο δεύτερο πεδίο τη στιγμή t₀=0 με ταχύτητα υ₀=0,5m/s και ελάχιστα πριν (τη στιγμή t₀^-) το μέτρο της δύναμης είναι ίσο με F₀=0,4Ν.

i) Για τη στιγμή t₀^- να υπολογιστούν η τάση στιγμή V_ΑΓ, καθώς και η επιτάχυνση του πλαισίου.

Για την χρονική στιγμή t₁=0,5s, να βρεθούν:

ii)  Η μαγνητική ροή που διέρχεται από το πλαίσιο και ο ρυθμός μεταβολής της ροής αυτής, κατ’ απόλυτο τιμή.

iii)  Η διαφορά δυναμικού VΑΓ και ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στο πλαίσιο, εξαιτίας του φαινομένου Jοule.

iv) Αφού υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται το πλαίσιο από το μαγνητικό πεδίο, στη συνέχεια να βρεθεί η ισχύς της δύναμης F και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του πλαισίου.

Απάντηση:

ή

Το πλαίσιο αλλάζει μαγνητικό πεδίο

Το πλαίσιο αλλάζει μαγνητικό πεδίο

Η ράβδος και το υλικό σημείο

  

Μια ράβδος στρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από ένα  σημείο της Ο. Στο σημείο Β της ράβδου έχει στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο μάζας m=0,4kg, σε απόσταση (ΑΒ)=0,5m από το άκρο Α της ράβδου, παίρνοντας ένα στερεό s. Σε μια στιγμή t₁ η ράβδος βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα (σε κάτοψη), ενώ το άκρο Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=4m/s και επιτάχυνση μέτρου α₁=10m/s², όπως στο σχήμα. Στο σχήμα έχει σημειωθεί επίσης και ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x και y, ενώ δίνεται ότι (ΟΑ)=2m. Για την στιγμή t₁:

i)  Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s.
ii) Να αναλυθεί η επιτάχυνση του άκρου Α σε δύο  συνιστώσες α_1x και α_1y, στις διευθύνσεις x και y. Ποιος ο ρόλος κάθε συνιστώσας;
iii) Το σώμα Σ, δέχεται μια οριζόντια δύναμη από τη ράβδο . Να βρεθούν οι δυο συνιστώσες της δύναμης αυτής F_x και F_y, στις διευθύνσεις x και y.
iv) Να βρεθεί η στροφορμή του σώματος Σ, κατά τον άξονα z, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του.

Απάντηση:

ή

Η ράβδος και το υλικό σημείο

Η ράβδος και το υλικό σημείο

Ένας ακόμη αγωγός κινείται κατακόρυφα

 

Οι δύο κατακόρυφοι αγωγοί ΗΔ και ΘΖ, χωρίς αντίσταση, απέχουν κατά d=1m και συνδέονται στα κάτω άκρα τους μέσω αντιστάτη με αντίσταση R=1,5Ω και είναι στερεωμένοι στο έδαφος, μένοντας ακίνητοι. Σε επαφή με του στύλους αυτούς μπορεί να κινείται, χωρίς τριβές, ένας αγωγός ΑΓ, μάζας m=0,2kg και μήκους l=1m, ενώ στο χώρο υπάρχει ένα οριζόντιο μαγνητικό πεδίο με ένταση κάθετη στο επίπεδο των στύλων, έντασης Β=0,5Τ, όπως στο σχήμα.  Σε μια στιγμή t₀=0, ο αγωγός βρίσκεται στη θέση του σχήματος κινούμενος προς τα κάτω με ταχύτητα υ₀=4m/s, ενώ δέχεται μέσω νήματος, μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη F. 

Παίρνοντας στη συνέχεια τις τιμές του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ σε συνάρτηση με το χρόνο, κατασκευάσαμε το διπλανό διάγραμμα.

i)  Να αποδειχθεί ότι ο αγωγός ΑΓ έχει εσωτερική αντίσταση, την οποία και να υπολογίσετε.

ii) Υποστηρίζεται ότι καθώς ο αγωγός πέφτει η δυναμική του ενέργεια μειώνεται και ένα μέρος αυτής της μείωσης, εμφανίζεται ως αύξηση της κινητικής ενέργειας του ίδιου του αγωγού. Μπορείτε να κρίνετε αν αυτό είναι σωστό ή λάθος, χωρίς να κάνετε υπολογισμούς;

iii) Για τη στιγμή t₀ να υπολογιστούν η επιτάχυνση του αγωγού ΑΓ και η τάση του νήματος F.

iv) Ποια η ταχύτητα του αγωγού για μετατόπιση Δy=y=3m; Για την θέση αυτή να βρεθούν:

α) Οι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας του αγωγού ΑΓ.

β) Η ισχύς κάθε  δύναμης που ασκείται στον αγωγό.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας ακόμη αγωγός κινείται κατακόρυφα

Ένας ακόμη αγωγός κινείται κατακόρυφα

Δύο επίπεδα και μια κρούση στο σύνορο

   

Ένα σώμα Σ₁ μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, απέχοντας απόσταση d₁=0,4m, από το σημείο Ε, πέρα από το οποίο το ίδιο επίπεδο γίνεται μη λείο. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂, μάζας 0,5kg ηρεμεί σε απόσταση d=1m από το σημείο Ε, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε το Σ₁ προς τα δεξιά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δl=0,5m, ενώ εκτοξεύουμε το σώμα Σ₂ με αρχική ταχύτητα υ_ο=3,5m/s, της το σώμα Σ₁ και στη συνέχεια αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ₁ να κινηθεί.  Τα δυο σώματα κινούμενα αντίθετα, στην ίδια διεύθυνση, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά στο σημείο Ε, τη χρονική στιγμή t₀=0. Μετά την κρούση, το σώμα Σ₁ εκτελεί μια αμείωτη ελεύθερη αρμονική ταλάντωση, μια αατ.

i)  Να βρεθούν οι ταχύτητες του σώματος Σ₁, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.

ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση, θεωρώντας θετική την της τα αριστερά κατεύθυνση (στο σχήμα).

iii) Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ₂ και του επιπέδου.

iv) Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₁=0,3π s.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Δύο επίπεδα και μια κρούση στο σύνορο

Δύο επίπεδα και μια κρούση στο σύνορο

Βρίσκοντας αναλογίες…

 

Ας δούμε κάποιες εφαρμογές, από διαφορετικά κεφάλαια της ύλης και ας κρατήσουμε κάποια συμπεράσματα…

Εφαρμογή 1^η:

Ένα σώμα Α κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) με ταχύτητα υ₁=0,5m/s κατευθυνόμενο προς ένα σώμα Β το οποίο ηρεμεί σε μη λεία περιοχή (2) του ίδιου οριζόντιου επιπέδου, με την οποία παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής μ_s=0,6. Το σώμα Β έχει μάζα 2kg ενώ ένα οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=400Ν/m έχει προσκολληθεί σε αυτό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Α σώμα κινούμενο κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, φτάνει σε αυτό αρχίζοντας να το συμπιέζει. Δίνεται g=10m/s².
α) Να εξετάσετε αν θα κινηθεί το σώμα Β.
β) Ποια η τελική ταχύτητα του σώματος Α;
γ) Θα μπορούσαμε να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα με άμεση κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων, αφαιρώντας το ελατήριο;
δ) Αν η αρχική ταχύτητα του σώματος Α ήταν 12m/s, να εξετασθεί αν το Β σώμα θα παρέμενε ακίνητο κατά την συσπείρωση του ελατηρίου.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

 Βρίσκοντας αναλογίες…

Βρίσκοντας αναλογίες…

Μετρώντας την τάση και το ρυθμό μεταβολής της

  

Ο αγωγός ΑΓ έχει, αντίσταση r και ηρεμεί σε επαφή με δύο παράλληλους οριζόντιους στύλους, χωρίς  αντίσταση, ενώ στο χώρο υπάρχει ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο, έντασης Β, όπως στο σχήμα (κάτοψη). Τα άκρα x και y των δύο στύλων συνδέονται μέσω ενός αντιστάτη R=r. 

Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο μέσον του αγωγού ΑΓ μια σταθερή οριζόντια δύναμη  F=6Ν, κάθετη σε αυτόν, με αποτέλεσμα ο αγωγός να επιταχυνθεί προς τα δεξιά. Με την βοήθεια ενός αισθητήρα τάσης, πήραμε το διπλανό διάγραμμα της τάσης στα άκρα του αγωγού ΑΓ σε συνάρτηση με το χρόνο και υπολογίσαμε την αρχική κλίση της καμπύλης 3V/s, καθώς και την κλίση τη στιγμή t₁ η οποία έχει μειωθεί στην τιμή 1V/s.

i)  Να βρεθεί η ΗΕΔ από επαγωγή στον αγωγό ΑΓ, τη στιγμή t₁.

ii) Να αποδειχθεί ότι η κλίση της καμπύλης V=f(t) είναι ανάλογη της επιτάχυνσης του αγωγού ΑΓ.

iii) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης Laplace,  που το μαγνητικό πεδίο ασκεί στον ΑΓ τη στιγμή t₁.

iv) Αν τη στιγμή t₁ πάψει να ασκείται στον αγωγό η δύναμη F, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της τάσης στα άκρα του ΑΓ, αμέσως μετά (για t=t₁⁺).

Απάντηση:

ή

Μετρώντας την τάση και το ρυθμό μεταβολής της

Μετρώντας την τάση και το ρυθμό μεταβολής της

Η αυτεπαγωγή όταν κλείνουν δύο διακόπτες

 

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, η πηγή έχει ΗΕΔ Ε=12V και εσωτερική αντίσταση r=2Ω, οι δυο αντιστάτες έχουν αντίσταση R₁=R₂=2Ω και το ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,4Η, ενώ οι δυο διακόπτες είναι ανοιχτοί.

i)  Σε μια στιγμή t₀=0 κλείνουμε τον διακόπτη δ₁. Για την στιγμή αμέσως μετά (για t=t₀⁺) να βρεθούν η ισχύς της πηγής, η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στο πηνίο, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος di/dt, που το διαρρέει.

ii)  Σε μια στιγμή t₁ ο αντιστάτης R₁ διαρρέεται από ρεύμα έντασης i₁=2,5Α. Για τη στιγμή αυτή να βρεθεί η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας αυτής.

iii) Μόλις σταθεροποιηθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή, σε μια στιγμή t₂, κλείνουμε τον διακόπτη δ₂, ανοίγοντας ταυτόχρονα το διακόπτη δ₁. Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση R₂, αμέσως τη στιγμή t₂, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.

Απάντηση:

ή

Η αυτεπαγωγή όταν κλείνουν δύο διακόπτες

Η αυτεπαγωγή όταν κλείνουν δύο διακόπτες

Ένα φωτόνιο αλληλεπιδρά με ένα ηλεκτρόνιο

  

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

Δίνονται hc=1.200eV∙nm, ενώ h/mc≈10³ nm, όπου m η μάζα του  ηλεκτρονίου.

 

Ερώτηση 1^η:

Φωτίζουμε με μονοχρωματικό φως μήκους κύματος λ₁=600nm μια μεταλλική επιφάνεια, οπότε εξάγονται ηλεκτρόνια. Το έργο εξαγωγής του υλικού της επιφάνειας είναι 1,5eV.

i)  Αν ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο του υλικού, απορροφήσει ένα φωτόνιο, αμέσως μετά θα αποκτήσει κινητική ενέργεια  2eV.

ii) Ένα ηλεκτρόνιο του μετάλλου απορροφά ένα φωτόνιο και εξέρχεται από την επιφάνεια με κινητική ενέργεια η οποία μπορεί να πάρει τιμή έως και 0,5eV.

iii) Αν ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο του υλικού, απορροφήσει ένα φωτόνιο, αμέσως μετά θα αποκτήσει ορμή ίση με p=2eV/c, όπου c η ταχύτητα του φωτός.

 

Ερώτηση 2^η:

Αν στην παραπάνω επιφάνεια πέσει ακτινοβολία ακτίνων Χ με μήκος κύματος λ₂=0,1nm, τότε πειραματικά διαπιστώνουμε τη σκέδαση της ακτινοβολίας σύμφωνα με το φαινόμενο Compton.

i)  Η κινητική ενέργεια που κερδίζει το ηλεκτρόνιο μπορεί να φτάσει τα 60.000eV.

ii) Το ηλεκτρόνιο που σκεδάζει ένα φωτόνιο, θεωρείται ελεύθερο.

iii) Αν ένα σκεδαζόμενο φωτόνιο έχει ενέργεια 110keV, τότε το ηλεκτρόνιο με το οποίο αλληλεπίδρασε, θα εξέλθει από την επιφάνεια έχοντας κινητική ενέργεια  Κ≈10keV.

Απαντήσεις

ή

 Ένα φωτόνιο αλληλεπιδρά με ένα ηλεκτρόνιο

Ένα φωτόνιο αλληλεπιδρά με ένα ηλεκτρόνιο

Κάτι που θυμίζει αυτεπαγωγή

  

Ο αγωγός ΑΓ μήκους 1m, μάζας 0,25kg και αντίστασης r=0,5Ω ηρεμεί σε επαφή με δύο παράλληλους οριζόντιους στύλους, χωρίς  αντίσταση, ενώ στο χώρο υπάρχει ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο, έντασης Β=1Τ, όπως στο σχήμα (κάτοψη). Τα άκρα x και y των δύο στύλων συνδέονται μέσω ενός αντιστάτη R=1,5Ω. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο μέσον του αγωγού ΑΓ μια σταθερή οριζόντια δύναμη  μέτρου F=1Ν, κάθετη σε αυτόν, με αποτέλεσμα ο αγωγός να κινηθεί επιταχυνόμενος προς τα δεξιά.

i)  Να αποδείξετε ότι ο αγωγός θα κινηθεί με επιτάχυνση που συνεχώς θα μειώνεται, μέχρι να αποκτήσει μια σταθερή (οριακή) ταχύτητα, την οποία και να υπολογίσετε.

ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη επιτάχυνση που αποκτά ο αγωγός ΑΓ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης του αγωγού ΑΓ, σε  συνάρτηση με την ταχύτητά του.

iii) Αφού αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα είναι ανάλογος προς την επιτάχυνση του αγωγού ΑΓ, να βρεθεί ο παραπάνω ρυθμός αμέσως μετά την στιγμή t=0, καθώς και τη στιγμή t₁ όπου ο αγωγός έχει ταχύτητα υ₁=1m/s.

iv) Αν τη στιγμή t₁ πάψει να ασκείται η δύναμη F στον αγωγό:

α) Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος και ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος, που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ, ελάχιστα μετά τη στιγμή t₁ (για t₁⁺).

β) Πόση ηλεκτρική ενέργεια θα εμφανιστεί στο κύκλωμα μετά τη στιγμή t₁;

γ) Να χαράξετε ένα ποιοτικό διάγραμμα για την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη R για όλο το χρονικό διάστημα που θα κινηθεί ο αγωγός ΑΓ.

Απάντηση:

ή

Κάτι που θυμίζει αυτεπαγωγή

Κάτι που θυμίζει αυτεπαγωγή

Επαγωγή με ανοικτό και κλειστό διακόπτη

Στο σχήμα, ο αγωγός ΑΓ μήκους 1m, με αντίσταση r=1Ω κινείται οριζόντια σε επαφή με δύο οριζόντιους ευθύγραμμους αγωγούς xx΄και  yy΄, με σταθερή ταχύτητα υ=2m/s, με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F. Μεταξύ των άκρων  x και y συνδέεται μια αντίσταση R=3Ω, ενώ μέσω ενός διακόπτη, στα άκρα x΄ και y΄ συνδέεται ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,5H. Στο χώρο επικρατεί ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη.

i)  Για αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη να βρεθούν:

α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ και η τάση στα άκρα του.

β) Το μέτρο της δύναμης F, καθώς και η ισχύς της.

γ) Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στο πηνίο και ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.

ii) Μόλις τελειώσουν τα μεταβατικά φαινόμενα και σταθεροποιηθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ, να υπολογιστούν:

α) Η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί στο πηνίο.

β) Ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει ενέργεια  στον αγωγό ΑΓ η δύναμη F.

Δίνεται ότι δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ του αγωγού ΑΓ και των αγωγών xx΄και  yy΄, οι οποίοι δεν έχουν αντίσταση.

Απάντηση:

ή

 Επαγωγή με ανοικτό και κλειστό διακόπτη

 Επαγωγή με ανοικτό και κλειστό διακόπτη