Αλλάζοντας την ακτίνα της τροχιάς.

 

Ένα υλικό σημείο μάζας m=0,2kg κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=0,5m και κινείται με ταχύτητα υ0 διαγράφοντας οριζόντιο κύκλο, κέντρου Ο, με το νήμα να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ1, όπου ημθ1=0,6 (συνθ1=0,8), όπως στο πρώτο σχήμα.

i) Να υπολογισθεί η ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς και η ταχύτητα υ0.

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς τον κατακόρυφο άξονα z,  ΟΚ, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής αυτής.

Ασκώντας στο σώμα μια οριζόντια δύναμη μεταβλητού μέτρου, ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα, ανεβάζουμε το σώμα, ώστε να διαγράφει τελικά οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Ο΄ και το νήμα να σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία θ2, όπου ημθ2=0,8 (συνθ2=0,6), όπως στο δεξιό σχήμα.

iii) Ποιος ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς τον άξονα z, αν η δύναμη έχει μέτρο F0=0,1N, στην αρχική θέση και ποια η μεταβολή της στροφορμής του σώματος, ως προς τον άξονα z, κατά την διάρκεια της άσκησης της δύναμης αυτής;

iv) Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F, για την παραπάνω μεταβολή.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας την ακτίνα της τροχιάς.

Αλλάζοντας την ακτίνα της τροχιάς.

Η κίνηση πάνω σε μια σφαίρα.

 

Ένα σώμα μάζας 2kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, ηρεμεί στη θέση Α, στην κορυφή μιας λείας ημισφαιρικής επιφάνειας, ακτίνας R=0,5m, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=12,5cm. Εκτρέπουμε ελάχιστα το σώμα από την θέση ισορροπίας του, με αποτέλεσμα να κινηθεί κατά μήκος της σφαιρικής επιφάνειας και μετά από λίγο περνά από την θέση Β, όπου ο άξονας του ελατηρίου εφάπτεται στην σφαίρα, κέντρου K, με ταχύτητα μέτρου υ=1m/s.

i) Να υπολογισθεί το μήκος του ελατηρίου στη θέση Β, καθώς και η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των θέσεων Α και Β.

ii) Να βρεθεί η σταθερά k το ελατηρίου. 

iii) Πόση δύναμη δέχεται το σώμα από το ημισφαίριο στη θέση Α και πόση στη θέση Β;

iv) Να υπολογισθεί η  στροφορμή του σώματος και ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το κέντρο Ο του ημισφαιρίου, στη θέση Β.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η κίνηση πάνω σε μια σφαίρα.

Η κίνηση πάνω σε μια σφαίρα.

Μια στροφή δίσκου και η στροφορμή.

 

Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται, όπως στο σχήμα, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ενώ σε απόσταση r από το κέντρο του Ο, έχει στερεωθεί ένα υλικό σημείο A, αμελητέων διαστάσεων και μάζας m. Στο σχήμα έχει σχεδιασθεί ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων x,y,z και δίπλα βλέπετε και τον προσανατολισμό των τριών αξόνων.

i) Η στροφορμή του υλικού σημείου Α έχει κατεύθυνση:

α) Του θετικού ημιάξονα z.                  β) Του αρνητικού ημιάξονα z.

γ) Του θετικού ημιάξονα y.                 δ) Του αρνητικού ημιάξονα y.

ii) Πόση  είναι η μεταβολή της στροφορμής του υλικού σημείου Α, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου, σε χρόνο ίσο με μισή περίοδο;

Στρέφουμε το δίσκο κατά 90°, ώστε το επίπεδό του να συμπέσει με το επίπεδο xOz, όπως στο σχήμα, ενώ το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής δεν άλλαξε.

iii) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα το διάνυσμα της στροφορμής του υλικού σημείου Α, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.

iv) Να βρεθεί η μεταβολή της στροφορμής του υλικού σημείου Α (μέτρο και κατεύθυνση) κατά την αλλαγή επιπέδου περιστροφής του δίσκου.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια στροφή δίσκου και η στροφορμή.

Μια στροφή δίσκου και η στροφορμή.

Ένα υλικό σημείο πάνω σε δίσκο.

 

Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο και στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της γωνιακής του ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. Πάνω στο δίσκο έχει στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ (υλικό σημείο, αμελητέων διαστάσεων) μάζας m=0,2kg, όπου κάποια στιγμή t1<3s βρίσκεται στη θέση Α του σχήματος (σε κάτοψη), ενώ τη στιγμή t2=5s στη θέση Β. Η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του Σ είναι r=0,5m.

i) Να σχεδιάστε την ταχύτητα και τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα Σ, στη θέση Α. 

ii) Να υπολογιστούν τη στιγμή t1, για το υλικό σημείο Σ, η ορμή και η στροφορμή ως προς τον άξονα z, καθώς και οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής τους. 

iii) Για τη στιγμή t2=5s, ζητούνται:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και η επιτάχυνση του σώματος Σ. Να σημειώστε στο σχήμα τη συνισταμένη δύναμη που ο δίσκος ασκεί στο σώμα Σ και να υπολογίσετε το μέτρο της και την ισχύ της. 

β) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της (ως προς τον άξονα z) του σώματος Σ.

Απάντηση:

ή

Ένα υλικό σημείο πάνω σε δίσκο.

Ένα υλικό σημείο πάνω σε δίσκο.

Δυνάμεις ανατροπής.

 

Μια ομογενής δοκός ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε δύο τρίποδα Α και Β. Για να ανατραπεί η δοκός, στο πρώτο σχήμα (α), χρειάζεται να ασκήσουμε κατακόρυφη δύναμη στο άκρο Γ, όπως στο σχήμα, μέτρου τουλάχιστον F1=200N.

i) Απομακρύνουμε τη θέση του τρίποδου Α, πλησιάζοντάς το στο αριστερό άκρο της δοκού, όπως στο σχήμα (β). Για να ανατραπεί τώρα η δοκός χρειάζεται να ασκηθεί στο δεξιό άκρο Γ, κατακόρυφη δύναμη μέτρου τουλάχιστον F2:

α) F2 < 200Ν,         β) F2 =200Ν,         γ) F2 > 200Ν. 

ii) Αφήνουμε το τρίποδο Α στην αρχική του θέση και μετακινούμε το τρίποδο Β, πλησιάζοντάς το στο δεξιό άκρο Γ, όπως στο σχήμα (γ). Η απαιτούμενη τώρα δύναμη θα έχει μέτρο F3, όπου:

α) F3 < 200Ν,         β) F3 =200Ν,        γ) F3 > 200Ν.

iii) Να συγκρίνετε τις αντιδράσεις που ασκούνται στη δοκό από το Β τρίποδο, στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δυνάμεις ανατροπής.

Δυνάμεις ανατροπής.

Η δοκός στηρίζεται στον τοίχο.

 

Μια ομογενής δοκός ισορροπεί όπως στο σχήμα, σε επαφή με το δάπεδο και τον κατακόρυφο τοίχο ενός δωματίου.

i) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί να υπάρξει η ισορροπία αυτή, αν δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ δοκού και των δύο επιφανειών.

ii) Να εξετάσετε αν μπορεί να υπάρξει η ισορροπία αυτή, αν αναπτύσσεται τριβή μόνο μεταξύ της δοκού και του τοίχου, ενώ το δάπεδο είναι λείο.

iii) Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και δαπέδου είναι μs=0,5, ενώ ο τοίχος είναι λείος:

α) Να εξηγήσετε γιατί μπορεί να υπάρξει ισορροπία της δοκού.

β) Να υπολογίσετε την ελάχιστη γωνία μεταξύ δοκού και δαπέδου για την ισορροπία της δοκού.

Απάντηση:

ή

Η δοκός στηρίζεται στον τοίχο.

Η δοκός στηρίζεται στον τοίχο.

Τι κίνηση κάνουν τα σώματα;

 Τρεις ερωτήσεις πάνω στις κινήσεις στερεού σώματος:

iii)  Ο ομογενής δίσκος του σχήματος ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, όταν κάποια στιγμή δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη , όπως στο σχήμα, μέσω αβαρούς νήματος που έχουμε τυλίξει γύρω του.

α) Αν το επίπεδο είναι λείο να περιγράψετε την κίνηση του δίσκου.

β) Αν ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), να εξηγήσετε γιατί το κέντρο του Κ δεν μπορεί να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, όταν ασκούμε μια δύναμη πάνω του, όπως αυτή του σχήματος.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Τι κίνηση κάνουν τα σώματα;

Τι κίνηση κάνουν τα σώματα;

Η ταχύτητα και η δύναμη στην κρούση.

 Στις παρακάτω κρούσεις, τα σώματα βρίσκονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ οι δυο ομογενείς  σφαίρες έχουν ίσες ακτίνες. Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές και στη διάρκειά τους δεν εμφανίζονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των σωμάτων, ενώ τα σχήματα είναι σε κάτοψη.

i) Η σφαίρα Α κινείται κατά μήκος μιας ευθείας ε, με ταχύτητα υ  και συγκρούεται με την ακίνητη σφαίρα Β, το κέντρο της οποίας βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, όπως στο σχήμα. Να σημειώστε στο σχήμα την δύναμη που δέχεται η σφαίρα Β στη διάρκεια της κρούσης και να δικαιολογήσετε γιατί οι σφαίρες μετά την κρούση κινούνται πάνω στην ευθεία ε.

ii) Στο διπλανό σχήμα το κέντρο της ακίνητης σφαίρας Β δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε. Αφού σημειώσετε ξανά τη δύναμη που δέχεται η Β σφαίρα στη διάρκεια της κρούσης, να εξηγήσετε γιατί οι δυο σφαίρες μετά την κρούση δεν θα κινηθούν πάνω στην ευθεία ε. 

iii) Αν η σφαίρα Β αντικατασταθεί από το ορθογώνιο Γ, όπου το κέντρο μάζας του Κ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, να προβλέψετε πώς θα κινηθούν τα δυο σώματα μετά την κρούση.

iv) Ποια η αντίστοιχη απάντηση, αν το κέντρο μάζας Κ του ορθογωνίου δεν βρίσκεται στην ευθεία ε;

v) Αν τώρα η σφαίρα Α και το ορθογώνιο Γ συγκρούονται πλάγια, όπως στο διπλανό σχήμα, όπου τη στιγμή της κρούσης το κέντρο της σφαίρας και το κέντρο μάζας Κ του ορθογωνίου ορίζουν την ευθεία ε, κάθετη στην επιφάνεια του ορθογωνίου, να προβλέψετε τις κινήσεις των δύο σωμάτων, μετά την κρούση.

Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Η ταχύτητα και η δύναμη στην κρούση.

Η ταχύτητα και η δύναμη στην κρούση.

Μια αρχή της αβεβαιότητας για την διαστολή του σύμπαντος By physicsgg on 16/09/2026 • ( 0 )

Μια αρχή της αβεβαιότητας για την διαστολή του σύμπαντος By physicsgg on 16/09/2026 • ( 0 ) Τα τελευταία χρόνια έχουμε δει μια πολύ ενδιαφέρουσα ανακάλυψη: το σύμπαν δεν διαστέλλεται όπως νομίζαμε. Νέες παρατηρήσεις έδειξαν ότι η επιτάχυνση της διαστολής του μειώνεται, πράγμα που σημαίνει ότι αν αυτό συνεχιστεί και επιβεβαιωθεί, το σύμπαν θα μπορούσε στο πολύ μακρινό μέλλον να πάψει να επιταχύνεται και ενδεχομένως να αρχίσει να συρρικνώνεται. Σύμφωνα με την δημοσίευση «A Cosmological Uncertainty Relation and Late-Universe Acceleration» του Σάββα Μ. Κουσιάππα, αυτό θα μπορούσε να συμβαίνει επειδή το ίδιο το σύμπαν ίσως να υπακούει σε μια κοσμολογική αρχή της αβεβαιότητας. Με άλλα λόγια, η βαρύτητα ενδέχεται να διέπεται από κβαντικές αρχές ακόμη και σε κοσμολογικές κλίμακες. Η σκοτεινή ενέργεια είναι η αιτία στην οποία οι φυσικοί αποδίδουν την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος. Η απλούστερη μορφή σκοτεινής ενέργειας θεωρείται ανεξάρτητη του χρόνου και ονομάζεται επίσης κοσμολογική σταθερά Λ, την οποία είχε εισαγάγει ο ίδιος ο Αϊνστάιν το 1917 με θετικό πρόσημο, ως μια απωστική δύναμη, προκειμένου να εξισορροπήσει την ελκτική βαρύτητα της ύλης και να αποτρέψει την κατάρρευση του σύμπαντος. Όταν αργότερα αποδείχθηκε ότι το σύμπαν διαστέλλεται, η κοσμολογική σταθερά θεωρήθηκε περιττή και ο Αϊνστάιν αναφέρθηκε σε αυτήν ως το μεγαλύτερο λάθος της ζωής του. Προς το τέλος της δεκαετίας του 1990, αστρονομικές παρατηρήσεις αποκάλυψαν ότι το σύμπαν δεν διαστέλλεται απλώς, αλλά ότι η διαστολή του είναι επιταχυνόμενη. Κι αυτό επανέφερε την κοσμολογική σταθερά στο προσκήνιο η οποία συνδέθηκε με την σκοτεινή ενέργεια. Όμως οι αστρονομικές παρατηρήσεις βελτιώθηκαν πολύ και τα τελευταία χρόνια υπάρχουν αυξανόμενες ενδείξεις ότι η σκοτεινή ενέργεια ίσως δεν είναι στην πραγματικότητα σταθερή. Αντιθέτως, η τιμή της φαίνεται να μειώνεται – δηλαδή, η επιτάχυνση της διαστολής του σύμπαντος μειώνεται. Η τάση αυτή υποστηρίζεται πλέον από αρκετές ανεξάρτητες παρατηρήσεις, χωρίς όμως να θεωρείται ακόμη οριστικά επιβεβαιωμένη, όπως του DESI (Dark Energy Spectroscopic Instrument) το 2024. Ο κοσμολογικός ορίζοντας είναι το απόλυτο όριο του παρατηρήσιμου σύμπαντος. Είναι η μέγιστη απόσταση πέρα από την οποία το φως δεν έχει προλάβει να φτάσει σε εμάς και, σύμφωνα με το καθιερωμένο κοσμολογικό πρότυπο, λόγω της επιταχυνόμενης διαστολής του χώρου, κανένα σήμα από εκεί δεν πρόκειται ποτέ να μας προσεγγίσει στο μέλλον. Θα μπορούσε ο κοσμολογικός ορίζοντας να λειτουργεί ως ένα όριο όπου ο χωροχρόνος παράγει μακροσκοπικά κβαντικά φαινόμενα;(*) Στην δημοσίευσή του ο Σάββας Κουσιάππας υποστηρίζει ότι η μείωση στην επιτάχυνση της διαστολής του σύμπαντος είναι ένα τέτοιο κβαντικό φαινόμενο – συνέπεια μιας αρχής αβεβαιότητας που εφαρμόζεται σε ολόκληρο το σύμπαν. Η αρχή της αβεβαιότητας στην κβαντομηχανική μας λέει ότι ορισμένα ζεύγη μεγεθών δεν μπορούν να μετρηθούν και τα δύο με αυθαίρετη ακρίβεια. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι η θέση ενός σωματιδίου και η ταχύτητά του. Σύμφωνα με την εξίσωση αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ \Delta x \Delta p \geq \hbar/2, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ταυτόχρονα με ακρίβεια και την θέση και την ορμή ενός σωματιδίου, Μια παρόμοια εξίσωση αβεβαιότητας μπορεί να εφαρμοστεί και για το σύμπαν: \Delta a \Delta \dot{a} \geq f(a)/2 , που σημαίνει ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ταυτόχρονα με ακρίβεια το μέγεθος του σύμπαντος και την ταχύτητα διαστολής του. Συγκρίνοντας με την γνωστή εξίσωση του Χάιζενμπεργκ: η αβεβαιότητα στην θέση Δx αντιστοιχεί στην αβεβαιότητα \Delta a του παράγοντα κλίμακας(**) που αφορά το μέγεθος του σύμπαντος, ενώ η αβεβαιότητα στην ορμή Δp (ή της ταχύτητας mΔυ), αντιστοιχεί στην αβεβαιότητα της ταχύτητας διαστολής του σύμπαντος \Delta \dot{a}. Υπάρχει όμως μια κρίσιμη διαφορά. Στην εξίσωση αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ, το δεξί μέλος (\hbar/2) είναι μια απόλυτη σταθερά. Στην εξίσωση της αβεβαιότητας του σύμπαντος, στο δεξί μέλος δεν βρίσκεται μια σταθερά αλλά μια έκφραση f(a)/2 που εξαρτάται από το ίδιο το μέγεθος του σύμπαντος a. Κι αυτό κάνει τις αβεβαιότητες εξαρτώμενες από το εκάστοτε μέγεθος του σύμπαντος. Από την προτεινόμενη εξίσωση αβεβαιότητας προκύπτει ότι, καθώς το σύμπαν διαστέλλεται, η σκοτεινή ενέργεια που προκαλεί την επιτάχυνσή του εξασθενεί σταδιακά. Αν ισχύει αυτό το θεωρητικό μοντέλο τότε δεν χρειάζονται νέα εξωτικά σωματίδια, σκοτεινά πεδία ή άλλες πολύπλοκες αυθαίρετες προσθήκες στη φυσική για να εξηγηθεί η σκοτεινή ενέργεια. Η επιτάχυνση της διαστολής του σύμπαντος δεν είναι μια μυστηριώδης δύναμη, αλλά ένα μακροσκοπικό ορατό αποτύπωμα της κβαντικής βαρύτητας στον κοσμολογικό ορίζοντα του σύμπαντος. (*) Αν και εντελώς διαφορετικές περιπτώσεις, αξίζει να σημειωθεί ότι μακροσκοπικά κβαντικά φαινόμενα παράγει και ο ορίζοντας των γεγονότων μιας μαύρης τρύπας. (**) Υπενθυμίζεται ότι ο παράγοντας κλίμακας a, περιγράφει την χρονική εξάρτηση κάθε τυπικού μήκους, όπως για παράδειγμα την απόσταση μεταξύ δυο γαλαξιών. πηγές: 1. «A Cosmological Uncertainty Relation and Late-Universe Acceleration», Σάββας Μ. Κουσιάππας – https://arxiv.org/abs/2604.27771 2. Einstein Refused to Believe This, But It Could Explain the Universe – https://backreaction.blogspot.com/2026/09/einstein-refused-to-believe-this-but-it.html

Κρούσεις και ποσοστά ενέργειας.

 Τρεις ερωτήσεις πάνω στις κρούσεις, στις οποίες μας ενδιαφέρουν ποσοστά ενέργειας:

Ερώτηση 1η:

Μια σφαίρα Α μάζας m1 κινείται με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας και μάζας m2, η οποία είναι ακίνητη.

    i) Βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που μεταφέρεται στην Β.

ii) Σε ποιες περιπτώσεις το ποσοστό αυτό είναι:

α) Μέγιστο,      β) Ελάχιστο.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Κρούσεις και ποσοστά ενέργειας.

Κρούσεις και ποσοστά ενέργειας.

Μια κρούση και ένα ελατήριο.

Ένα σώμα Α μάζας m=1kg κινείται με ταχύτητα υ0=2m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια σφαίρα Β, η οποία ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100N/m, το οποίο έχει μήκος l1=0,4m όπως στο σχήμα. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα Α κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου 1m/s, ενώ η σφαίρα διανύσει απόσταση s=0,3m μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά της στη θέση (2).

i) Να υπολογισθεί η μάζα της σφαίρας.

ii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια που αποκτά η σφαίρα κατά την κρούση.

iii) Να αποδειχθεί ότι το ελατήριο στην αρχική θέση ισορροπίας της σφαίρας, θέση (1), δεν έχει το φυσικό μήκος του. Στη συνέχεια, με δεδομένο ότι το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί (l0<l1)να υπολογιστεί το φυσικό μήκος του.

iv) Ποια η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση (2);

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και ένα ελατήριο.

Μια κρούση και ένα ελατήριο. 

Μια κρούση και ένα ελατήριο.