Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2018

Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, πολύ μεγάλου μήκους, διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά) ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,2m και μήκους κύματος λ=2m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα «παράθυρο» που μας επιτρέπει να βλέπουμε μια μικρή περιοχή του κύματος (το οποίο έχει διαδοθεί πολύ πέρα του δεξιού άκρου του παραθύρου). Για να γράψουμε εξίσωση για το κύμα αυτό, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή το σημείο Ο και θεωρούμε επίσης τη στιγμή που έχουμε το παραπάνω στιγμιότυπο, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t0=0).
i) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα.
ii) Ποια η φάση της απομάκρυνσης των σημείων Ο και Σ τη στιγμή t0=0;
iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=7,5s, για την ίδια περιοχή του μέσου.
v) Να παραστήστε επίσης γραφικά την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t0 έως t1.
ή

Παρασκευή, 7 Δεκεμβρίου 2018

Με αφορμή την άσκηση 2.47


Σε κάποιο σημείο ενός ομογενούς ελαστικού μέσου βρίσκεται μία πηγή Π παραγωγής εγκαρσίων κυμάτων με εξίσωση y=A·ημ(ωt). Στο σημείο Σ βρίσκεται δέκτης κυμάτων που απέχει απόσταση α από την πηγή. Τα κύματα φτάνουν στο δέκτη είτε απευθείας από την πηγή ακολουθώντας τη διαδρομή ΠΣ, είτε ακολουθώντας τη διαδρομή ΠΑΣ αφού τα κύματα ανακλαστούν στον ανακλαστήρα Α που βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος ΠΣ.
i) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος στο σημείο Α του ανακλαστήρα αμέσως μετά την ανάκλαση του κύματος στον ανακλαστήρα.
ii) Nα βρεθεί η εξίσωση του κύματος ενός σημείου Κ κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΣ μετά την ανάκλαση του κύματος στον ανακλαστήρα.
iii) Αν μετακινήσουμε τον ανακλαστήρα παρατηρούμε ότι όταν απέχει απόσταση Η από το Ο, το σημείο Σ παραμένει συνέχεια ακίνητο, ενώ, για πρώτη φορά, κάνει ταλάντωση με μέγιστο πλάτος, όταν ο ανακλαστήρας μετακινείται κατά d. Να βρείτε το μήκος του κύματος. 
iv) Να λυθεί το ερώτημα iii) αν γνωρίζετε ότι ύστερα από την ανάκλαση του κύματος στον ανακλαστήρα αλλάζει η φάση του κύματος κατά φ0.

Ως t=0 θεωρείται η στιγμή που ξεκινά τη λειτουργία της η πηγή Π.


Συμβολή από σύμφωνες πηγές


Έστω δύο πηγές κυμάτων Π1 και Π2 που ταλαντώνονται με εξισώσεις yA=Aημ2π(t/T0,1/2π) και yΒ=Aημ2π(t/T0,2/2π) αντίστοιχα. Οι πηγές δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα και σε σημείο Μ του μέσου που απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1 και r2 συμβάλουν τα διαδιδόμενα κύματα.

i)     Να βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Μ μετά τη συμβολή των κυμάτων.
ii)   Να βρεθεί η σχέση που δίνει την συνθήκη ενίσχυσης.
iii) Να βρεθεί η σχέση που δίνει την συνθήκη απόσβεσης.
iv)  Αν η διαφορά φάσης των πηγών είναι π rad ποια είναι η σχέση που δίνει την συνθήκη ενίσχυσης και συνθήκη απόσβεσης;


Πέμπτη, 6 Δεκεμβρίου 2018

Μανώλης από τα παλιά.

Στην διάταξη που φαίνεται στο σχήμα η πλατφόρμα Σ1, μήκους d και μάζας m1 = 1 kgσυνδέεται μέσω του ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 144 N/m με το σταθερό σημείο Α. Πάνω στην πλατφόρμα και σε απλή επαφή – δεν είναι κολλημένο – με το αριστερό της άκρο βρίσκεται το κυβικού σχήματος σώμα Σ2, μάζας m2 = 0,44 kg. Το ελατήριο, αρχικά, έχει το φυσικό του μήκος και το σύστημα ισορροπεί.  Από την αρχική θέση ισορροπίας φέρουμε το σύστημα στη θέση όπου το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά Α0 = 0,36 m με το σώμα πάνω στην πλατφόρμα να παραμένει σε επαφή με το δεξιό τελείωμα αυτής και συγκρατούμε το σύστημα εκεί. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 «ελευθερώνουμε» το σύστημα. Τριβές δεν υπάρχουν.
α. Σε ποια θέση και ποια χρονική στιγμή το σώμα θα χάσει την επαφή του με το αριστερό άκρο της πλατφόρμας;
β. Γιατί το σώμα θα συγκρουστεί με το δεξί άκρο της πλατφόρμας;
γ. Έχουμε προβλέψει ώστε οι εσωτερικές διαστάσεις της πλατφόρμας καθώς και οι διαστάσεις του σώματος επ’ αυτής να είναι κατάλληλες, ώστε η σύγκρουση που προαναφέραμε να λαμβάνει χώρα, όταν η ταχύτητα της πλατφόρμας μηδενίζεται για πρώτη φορά. Προσδιορίστε το εσωτερικό μήκος d της πλατφόρμας και τη χρονική στιγμή της σύγκρουσης αυτής.
δ. Στο εσωτερικό του δεξιού τελειώματος της πλατφόρμας έχει απλωθεί ισχυρότατη κόλλα στιγμιαίας δράσης ώστε η κρούση του σώματος με το τελείωμα αυτό να είναι πλαστική. Θεωρώντας τη διάρκεια της κρούσης αμελητέα υπολογίστε την ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την κρούση καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης, του συστήματος, που θα επακολουθήσει μετά την κρούση.
Για την απάντηση να λάβετε υπόψη σας το δοσμένο άξονα και να θεωρήσετε ως σημεία για τον προσδιορισμό των θέσεων το εσωτερικό αριστερό άκρο της πλατφόρμας και την αριστερή έδρα του κυβικού σώματος. Οι διαστάσεις του κύβου θεωρούνται αμελητέες.
   

Η ταλάντωση του quinke


Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται το συμβολόμετρο quinke που αποτελείται από δυο μεταλλικούς Μία ηχητική  πηγή συχνότητας f=1700Hz τοποθετείται στην είσοδο στο σημείο Α και τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται μέσω του αέρα στους σωλήνες, το ένα ακολουθώντας την αριστερή διαδρομή ΑΔΓ η οποία είναι σταθερή και το άλλο την δεξιά ΑΒΓ η οποία μπορεί να μεταβάλλεται εξαιτίας του κινητού σωλήνα. Στην έξοδο στο σημείο Γ, όπου γίνεται η συμβολή των δύο κυμάτων βρίσκεται ένας καταγραφέας της έντασης του ήχου. Το αποτέλεσμα της συμβολής τους εξαρτάται από το πόσο έχει μετακινηθεί ο κινητός σωλήνας.
σωλήνες, από τους οποίους ο ένας μπορεί να ολισθαίνει μέσα στον άλλο χωρίς τριβές (κινητός σωλήνας).
Στον κινητό σωλήνα είναι δεμένο το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=10N/m ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η μάζα του κινητού σωλήνα είναι m=100g και μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Όταν το άκρο του κινητού σωλήνα βρίσκεται στη θέση x=0 το ελατήριο είναι στο φυσικό μήκος του και οι διαδρομές ΑΔΓ και ΑΒΓ είναι ίσες δηλ. S1=S2,0.
Την χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε τον κινητό σωλήνα με ταχύτητα υ=2m/s προς τα δεξιά και ο σωλήνας αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ενώ ταυτόχρονα τίθεται σε λειτουργία η πηγή παραγωγής των κυμάτων και ο καταγραφέας της έντασης του ήχου. Παρατηρούμε ότι όταν ο σωλήνας μετακινηθεί κατά x=10cm η ένδειξη του καταγραφέα είναι μέγιστη για δεύτερη φορά. 
i)        Να βρείτε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα.
ii)      Να βρείτε στη διάρκεια μιας περιόδου  της ταλάντωσης του σωλήνα πόσα μέγιστα και πόσα ελάχιστα της έντασης του ήχου θα καταγραφούν.
iii)    Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων της έντασης του ήχου.
iv)    Σε μια προσπάθεια να μετρήσουμε την ταχύτητα του ήχου στο αέριο ήλιο κάνουμε το εξής: Αφαιρείται ο αέρας από τον σωλήνα quinke και όλη η διάταξη τοποθετείται σε κλειστό δοχείο που περιέχει αέριο ηλίου. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα και παρατηρείται ότι αν ο κινητός σωλήνας μετακινηθεί προς τα δεξιά, θα καταγραφεί για πρώτη φορά ελάχιστη τιμή στη θέση που εμφανιζόταν για δεύτερη φορά μηδενισμός της έντασης όταν ο σωλήνας περιείχε αέρα. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του ήχου στο ήλιο.

Θεωρείστε για την ταλάντωση θετικά την προς τα δεξιά φορά. Η θερμοκρασία του αερίου στον σωλήνα σε όλα τα ερωτήματα είναι σταθερή.
Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10 m/s2.


Τετάρτη, 5 Δεκεμβρίου 2018

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η εικόνα του μέσου τη στιγμή t=0, είναι αυτή του διπλανού σχήματος, όπου το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Κ, στη θέση x=1,5m.

Αν η επιτάχυνση, τη στιγμή αυτή, του σημείου Ο, στη θέση x=0, είναι ίση με 12m/s2, ζητούνται:
i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=y(t)) των σημείων Κ και Ο.
ii) Η εξίσωση του κύματος.
iii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.
iv) Η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο.
v) Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t1=3,5s.
Δίνεται π2 ≈10.
ή

Κυριακή, 2 Δεκεμβρίου 2018

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s και μέχρι τη θέση xΒ=2,5m στον θετικό ημιάξονα.
iv) Για το σημείο Β,  στη θέση xΒ=2,5m:
α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.


Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s και μέχρι τη θέση xΒ=2,5m στον θετικό ημιάξονα.
iv) Για το σημείο Β,  στη θέση xΒ=2,5m:
α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.


Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s και μέχρι τη θέση xΒ=2,5m στον θετικό ημιάξονα.
iv) Για το σημείο Β,  στη θέση xΒ=2,5m:
α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.


Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s και μέχρι τη θέση xΒ=2,5m στον θετικό ημιάξονα.
iv) Για το σημείο Β,  στη θέση xΒ=2,5m:
α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.


Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s και μέχρι τη θέση xΒ=2,5m στον θετικό ημιάξονα.
iv) Για το σημείο Β,  στη θέση xΒ=2,5m:
α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.