Ο κύλινδρος και η ράβδος

 

Σε οριζόντιο επίπεδο  ηρεμεί ένας κύλινδρος. Φέρνουμε μια ράβδο την οποία στηρίζουμε σε κάποιο σημείο της στο κύλινδρο και το άλλο άκρο της στο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Αν μεταξύ ράβδου και κυλίνδρου δεν αναπτύσσονται τριβές, ενώ τριβές εμφανίζονται μεταξύ τω νδύο σωμάτων και του επιπέδου: 

i)  Αν υποθέσουμε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί, να εξετάσετε αν μπορεί να ισορροπήσει και η ράβδος, οπότε ισορροπεί και το σύστημα των δύο σωμάτων. 

ii)  Αν υποθέσουμε ότι η ράβδος ισορροπεί, να εξετάσετε αν μπορεί να ισορροπεί και ο κύλινδρος, οπότε εξασφαλίζεται και η ισορροπία του συστήματος. 

Απάντηση: 

ή

 Ο κύλινδρος και η ράβδος

Ο κύλινδρος και η ράβδος

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 4m και βάρους 400Ν. Σε μια στιγμή στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=80Ν και παρατηρούμε ότι η σανίδα συνεχίζει να ηρεμεί. 

i)  Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη δοκό, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο μάζας Κ της δοκού. 

ii) Ποια η μέγιστη τιμή F1 που μπορεί να πάρει το μέτρο της δύνα-μης αυτής, χωρίς να πάψει η δοκός να ισορροπεί;  

iii) Μεταβάλλοντας το μέτρο της κατακόρυφης αυτής δύναμης, ανασηκώνουμε τη δοκό, φέρνοντάς την να ισορροπεί σε μια νέα θέση, όπου σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπως στο κάτω σχήμα. Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F2, σε συνάρτηση με την γωνία θ. 

Απάντηση:

ή

 Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Όταν σπάει ο άξονας…

  

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το κέντρο της Κ να συμπίπτει με την αρχή Ο, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, στην ράβδο ασκείται μια κατάλληλη οριζόντια  δύναμη F, η ροπή της οποίας την θέτει σε οριζόντια περιστροφή, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Β, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γ=4/π rad/s². Η ράβδος στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, μέχρι τη στιγμή t₁=3,14s, όπου ο άξονας σπάει, χωρίς να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη στη ράβδο, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i) Ελάχιστα πριν σπάσει ο άξονας z, να βρεθούν:

α)  Η θέση της ράβδου και

β) Οι ταχύτητες του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Α της ράβδου.

ii) Αφού περιγράψετε πλήρως την κίνηση της ράβδου μετά το σπάσιμο του άξονα, να βρείτε την χρονική στιγμή t₂=13π/8 s:

α) Τη θέση της ράβδου,

β) Τις ταχύτητες των δύο άκρων Α και Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

 Όταν σπάει ο άξονας…

 Όταν σπάει ο άξονας…

Μια ακόμη κύλιση τροχού

  

Ένας τροχός κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m κυλίεται προς τα δεξιά σε οριζόντιο δρόμο, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t=0, ένα  σημείο του Α βρίσκεται πάνω σε μια κατακόρυφη διάμετρό του,  απέχοντας 0,8m, από το έδαφος. Στο διάγραμμα του σχήματος,  δίνεται η μεταβολή της  γωνιακής ταχύτητας του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να σημειώστε στο σχήμα την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t_0­=0  και την ταχύτητα του σημείου Α. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας  αυτής.

ii) Να υπολογίστε τον αριθμό των περιστροφών του τροχού, μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να μειώνεται η γωνιακή του ταχύτητα.

iii) Να υπολογιστούν η γωνιακή επιτάχυνση, καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού, στο χρονικό διάστημα που ο τροχός επιβραδύνεται.

iv) Ποιο το μέτρο της συνολικής μετατόπισης του σημείου Α, μέχρι τη στιγμή που ο τροχός  σταματά.

Απάντηση:

ή

 Μια ακόμη κύλιση τροχού

 Μια ακόμη κύλιση τροχού

Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

   

Ένα σώμα Α, μάζας Μ=3kg, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=240Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m=1kg, κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου προς το σώμα Α, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₂=2,5m/s, τη στιγμή ελάχιστα πριν την κρούση. Το αποτέλεσμα της κρούσης είναι το σώμα Β να προκαλέσει συσπείρωση του ελατηρίου ίση με 0,05m, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του. Αν τα σώματα εμφανίζουν τους ίδιους συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,8 με το οριζόντιο επίπεδο, ενώ g=10m/s², ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα το σώματος Α αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να εξετασθεί αν η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ή όχι ελαστική.

iii) Ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη επιτάχυνση (κατά μέτρο) που αποκτά το σώμα Α, κατά την κίνησή του; Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης τριβής στο σώμα Α, μέχρι τη θέση που θα αποκτήσει επιτάχυνση μέτρου α=g.

iv) Η τελική απόσταση μεταξύ των σωμάτων, όταν πάψουν να κινούνται.

Απάντηση:

ή

 Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

 Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

Από πλάγια κρούση σε πλάγια κρούση

Τρεις λείες σφαίρες Σ₁, Σ₂ και Σ₃, μάζας m = 1 kg και ίδιας ακτίνας η καθεμία, βρίσκονται ακίνητες επάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με τις σφαίρες Σ₂ και Σ₃ να εφάπτονται μεταξύ τους. Κάποια χρονική στιγμή εκτοξεύουμε τη σφαίρα Σ₁ με ταχύτητα υ₀, μέτρου 10√2 m/s, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x′x, ο οποίος διέρχεται από το σημείο επαφής των σφαιρών Σ₂ και Σ₃, όπως απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. Η σφαίρα Σ₁ συγκρούεται ελαστικά με τις σφαίρες Σ₂ και Σ₃. Μετά την κρούση οι ταχύτητες υ₂ και υ₃ των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ αντίστοιχα σχηματίζουν γωνία 45° η καθεμία με τον άξονα x′x, ενώ η Σ₁ παραμένει πάνω στον άξονα x′x.

α. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων υ₂ και υ₃ των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ αντίστοιχα.

β. Να αποδείξετε ότι μετά την κρούση η σφαίρα Σ₁ ακινητοποιείται.

Θεωρούμε ως t₀ = 0 τη στιγμή της 1^ης κρούσης. Την στιγμή t₁ = 1 s, η σφαίρα Σ₃ συγκρούεται με βλήμα μάζας m = 0,2 kg πλαστικά με αποτέλεσμα το συσσωμάτωμα να κινηθεί κάθετα στην αρχική διεύθυνση της Σ₃ (παράλληλα με τη Σ₂) και τη χρονική στιγμή t₂ = 3 s, να φτάσει στην ελάχιστη απόσταση με τη Σ₂. Να βρείτε:

 

Η συνέχεια και η λύση εδώ ή εδώ.

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

 

Μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους l=2m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση κατάλληλων μεταβλητών οριζοντίων δυνάμεων. Σε μια στιγμή t₁, η δοκός έχει την διεύθυνση του άξονα x, ενώ τα σημεία Α και Γ έχουν ταχύτητες στην διεύθυνση του άξονα y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).  Το άκρο Α της δοκού, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=3m/s, ενώ το σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=0,4m, έχει ταχύτητα με την ίδια κατεύθυνση μέτρου υ_Γ=1,4m/s.

Την στιγμή αυτή στην διεύθυνση y, το σημείο Α, έχει επιτάχυνση μέτρου α_Α=6m/s², ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ_Α, ενώ το σημείου Γ έχει επιτάχυνση αντίθετης φοράς, μέτρου α_Γ=0,4m/s². Αν το κέντρο μάζας Ο, δεν έχει επιτάχυνση στην διεύθυνση x:

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μέσου (και κέντρου μάζας) Ο της δοκού, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

ii) Έχουν μήπως τα σημεία Α και Γ επιτάχυνση και στην διεύθυνση x;  Αν ναι ποιο σημείο έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο επιτάχυνση σε αυτήν την διεύθυνση;

iii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού.

Απάντηση:

ή

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

Με μία ώθηση πάμε πιο ψηλά.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ βάλλεται από ένα σημείο λείου οριζοντίου επιπέδου με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2√5 m/s. Στην πορεία του συναντά λείο τεταρτοκύκλιο ακτίνας R και φτάνει οριακά στο χείλος του. Το σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 0,6 kg βρίσκεται δεμένο στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ = R. Το πάνω άκρο του νήματος είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο που βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου μέρος του οποίου αποτελεί το τεταρτοκύκλιο. Το σφαιρίδιο μπορεί να διαγράφει τροχιά μες το τεταρτοκύκλιο έτσι ώστε το Σ₂ να εφάπτεται με αυτό. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο από την οριζόντια θέση το Σ₂ και αυτό αφού περάσει στην περιοχή του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ₁ την ώρα που αυτό έχει ήδη αρχίσει να κατέρχεται. Το Σ₂, μετά την κρούση περνά από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του, δεχόμενο από το νήμα δύναμη μέτρου Τ = 8,4 Ν, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ, ενώ κατά την αιώρηση του δε ξεπερνά τη θέση της κρούσης. Να βρείτε:

α. Το μήκος του νήματος

β. Τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων μετά την κρούση

γ. Τη δύναμη που ασκεί το Σ₁ στο οριζόντιο επίπεδο κατά την κίνηση του σε αυτό

δ. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του Σ₁ τη στιγμή ελάχιστα πριν την εγκατάλειψη του τεταρτοκυκλίου.

ε. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₁ όταν μετά την εγκατάλειψη του κεκλιμένου, βρίσκεται στο μισό του μέγιστου ύψους πάνω από το τεταρτοκύκλιο που θα φτάσει.

Δίνεται g = 10 m/s². Τα σώματα θεωρούνται σημειακά και οι αντιστάσεις του αέρα αμελητέες. Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνά από τα Α και Β.

Η συνέχεια εδώ ή εδώ.

Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

 

Μια σφαίρα Α μάζας m₁=2m, κινείται ευθύγραμμα έχοντας ορμή, μέτρου p₁ και σε μια στιγμή, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας.

i) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m₂=m, τότε η ορμή που αποκτά μετά την κρούση, έχει μέτρο:

ii) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m₂=3m, τότε η αντίστοιχη ορμή που θα αποκτήσει, θα έχει μέτρο:

 

iii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας, μεταφέρεται στην σφαίρα Β, σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

 Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

  

Μια σφαίρα Α μάζας m= 1kg κινείται (χωρίς να περιστρέφεται) με ταχύτητα υ₁=5m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας και μάζας Μ=4kg η οποία είναι ακίνητη.

i)  Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή t₁ στη διάρκεια της κρούσης μηδενίζεται η ταχύτητα της Α σφαίρας.

ii) Πόση είναι η μείωση ΔΚ της κινητικής ενέργειας του συστήματος, τη στιγμή t₁;

iii) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας, μεταφέρεται τελικά στην σφαίρα Β;

iv) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, αν η Β σφαίρα, πριν την κρούση κινείται στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά με ταχύτητα, μέτρου |υ₂|= 1,25m/s, όπως στο δεύτερο σχήμα;

Απάντηση:

ή

 Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

 Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w₁=40Ν, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, αρθρωμένη στο άκρο της Β σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ έχει προσδεθεί στο άκρο της Α, μέσω οριζόντιου νήματος, με τον τοίχο. Στο άκρο της Α, έχει δεθεί και το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m,  στο άλλο άκρο του οποίου ηρεμεί μια σφαίρα Σ μάζας m=4kg.

i) Να υπολογιστούν τα μέτρα της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, στο άκρο της Β.

ii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,3m και τη στιγμή t₀=0, την αφήνουμε να κινηθεί, με αποτέλεσμα να εκτελέσει αατ.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.

β) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο Τ=f(t)  και να παρασταθεί γραφικά.

iii) Σε μια στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση ισορροπίας της, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Σ₁, μάζας m₁=2kg, η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ₁, για την οποία μηδενίζεται η τάση του νήματος, που συγκρατεί τη ράβδο.

Δίνεται g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.