Η ταχύτητα και η δύναμη στην κρούση.

 Στις παρακάτω κρούσεις, τα σώματα βρίσκονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ οι δυο ομογενείς  σφαίρες έχουν ίσες ακτίνες. Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές και στη διάρκειά τους δεν εμφανίζονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των σωμάτων, ενώ τα σχήματα είναι σε κάτοψη.

i) Η σφαίρα Α κινείται κατά μήκος μιας ευθείας ε, με ταχύτητα υ  και συγκρούεται με την ακίνητη σφαίρα Β, το κέντρο της οποίας βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, όπως στο σχήμα. Να σημειώστε στο σχήμα την δύναμη που δέχεται η σφαίρα Β στη διάρκεια της κρούσης και να δικαιολογήσετε γιατί οι σφαίρες μετά την κρούση κινούνται πάνω στην ευθεία ε.

ii) Στο διπλανό σχήμα το κέντρο της ακίνητης σφαίρας Β δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε. Αφού σημειώσετε ξανά τη δύναμη που δέχεται η Β σφαίρα στη διάρκεια της κρούσης, να εξηγήσετε γιατί οι δυο σφαίρες μετά την κρούση δεν θα κινηθούν πάνω στην ευθεία ε. 

iii) Αν η σφαίρα Β αντικατασταθεί από το ορθογώνιο Γ, όπου το κέντρο μάζας του Κ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, να προβλέψετε πώς θα κινηθούν τα δυο σώματα μετά την κρούση.

iv) Ποια η αντίστοιχη απάντηση, αν το κέντρο μάζας Κ του ορθογωνίου δεν βρίσκεται στην ευθεία ε;

v) Αν τώρα η σφαίρα Α και το ορθογώνιο Γ συγκρούονται πλάγια, όπως στο διπλανό σχήμα, όπου τη στιγμή της κρούσης το κέντρο της σφαίρας και το κέντρο μάζας Κ του ορθογωνίου ορίζουν την ευθεία ε, κάθετη στην επιφάνεια του ορθογωνίου, να προβλέψετε τις κινήσεις των δύο σωμάτων, μετά την κρούση.

Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Η ταχύτητα και η δύναμη στην κρούση.

Η ταχύτητα και η δύναμη στην κρούση.

Κρούσεις και ποσοστά ενέργειας.

 Τρεις ερωτήσεις πάνω στις κρούσεις, στις οποίες μας ενδιαφέρουν ποσοστά ενέργειας:

Ερώτηση 1η:

Μια σφαίρα Α μάζας m1 κινείται με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας και μάζας m2, η οποία είναι ακίνητη.

    i) Βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που μεταφέρεται στην Β.

ii) Σε ποιες περιπτώσεις το ποσοστό αυτό είναι:

α) Μέγιστο,      β) Ελάχιστο.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Κρούσεις και ποσοστά ενέργειας.

Κρούσεις και ποσοστά ενέργειας.

Μια κρούση και ένα ελατήριο.

Ένα σώμα Α μάζας m=1kg κινείται με ταχύτητα υ0=2m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια σφαίρα Β, η οποία ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100N/m, το οποίο έχει μήκος l1=0,4m όπως στο σχήμα. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα Α κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου 1m/s, ενώ η σφαίρα διανύσει απόσταση s=0,3m μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά της στη θέση (2).

i) Να υπολογισθεί η μάζα της σφαίρας.

ii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια που αποκτά η σφαίρα κατά την κρούση.

iii) Να αποδειχθεί ότι το ελατήριο στην αρχική θέση ισορροπίας της σφαίρας, θέση (1), δεν έχει το φυσικό μήκος του. Στη συνέχεια, με δεδομένο ότι το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί (l0<l1)να υπολογιστεί το φυσικό μήκος του.

iv) Ποια η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση (2);

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και ένα ελατήριο.

Μια κρούση και ένα ελατήριο. 

Μια κρούση και ένα ελατήριο. 

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν, σε ευθεία γραμμή, τρεις σφαίρες Α, Β και Γ με ίσες ακτίνες. Σε μια στιγμή εκτοξεύουμε την Α σφαίρα, μάζας m1=1,5kg με ταχύτητα μέτρου υ1=2m/s προς την σφαίρα Β, πάνω στην ευθεία που ενώνει τις τρεις σφαίρες. Οι σφαίρες Α και Β συγκρούονται για  t=0 κεντρικά και ελαστικά. Η Β σφαίρα, μάζας m2=0,5kg, αφού διανύσει απόσταση d=3m συγκρούεται επίσης κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Γ η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο. Μετά την κρούση παρατηρούμε ότι το νήμα, το οποίο συγκρατεί την σφαίρα Γ, εκτρέπεται μέχρι μια γωνία θ για την οποία βρίσκουμε ότι συν θ=0,9.

i)  Ποια χρονική στιγμή t1 συγκρούονται οι σφαίρες Β και Γ και πόσο απέχουν οι τρεις σφαίρες μεταξύ τους, τη στιγμή αυτή; (οι ακτίνες των τριών σφαιρών είναι πολύ μικρές και μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες, ενώ το επίπεδο δεν παρεμποδίζει την εκτροπή της σφαίρας Γ μετά την κρούση).

ii)  Να υπολογιστεί η μάζα της σφαίρας Γ.

iii) Πόση είναι η ορμή του συστήματος των τριών σφαιρών, τη στιγμή που έχουμε μέγιστη εκτροπή της σφαίρας Γ;

iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που οι σφαίρες Α και Β θα συγκρουστούν για 2η φορά. Ποιες οι ταχύτητές τους μετά την 2η κρούση, αν και αυτή είναι ελαστική;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση

  

Μια σφαίρα μάζας m=0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ₀=20m/s  και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ₁ μάζας m₁=4,9kg το οποίο βρίσκεται πάνω στο σώμα Σ₂, όπως στο σχήμα (α). Μεταξύ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ υπάρχει τριβή, με συντελεστή οριακής  στατικής τριβής μ_s=0,2 ενώ το δάπεδο είναι λείο. H κρούση διαρκεί Δt=0,1s και θεωρούμε ότι στη διάρκεια αυτής, οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων είναι σταθερές:

i) Να υπολογισθεί η μέγιστη μάζα του σώματος Σ₂ ώστε να παρασυρθεί από το Σ₁, χωρίς να παρατηρηθεί ολίσθηση μεταξύ τους.

ii) Να εξετασθεί το αντίστοιχο πρόβλημα, αν το σώμα Σ₂  βρίσκεται πάνω στο Σ₁, όπως στο σχήμα (β).

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

 

Δύο σφαίρες, με ίσες ακτίνες, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να στρέφονται. Η σφαίρα Α, μάζας m1=2kg τη στιγμή t=0, περνά από μια θέση Ο, την οποία θεωρούμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα  (x=0) και στο διάγραμμα δίνεται η θέση της σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου τη στιγμή t1=4s, οι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά.

i) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας, που οφείλεται στην κρούση.

Αν η κρούση είναι ελαστική:

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας, λόγω κρούσης.

iii) Αν η Β σφαίρα έχει μάζα m2=0,4kg:

α)  Ποια η θέση της Β σφαίρας τη στιγμή t=0.

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της θέσης της Β σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2=10s.

iv) Αν η απόσταση των δυο σφαιρών τη στιγμή t=0 είναι d=3m, να υπολογιστεί η μάζα της Β  σφαίρας.

Απάντηση:

ή

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

 

Μια σφαίρα Α, μάζας Μ=3kg ηρεμεί στη θέση (1), δεμένη στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου μη ελαστικού νήματος μήκους l=08m, το άλλο άκρο του οποίου έχε δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή μια δεύτερη σφαίρα Β, μάζας m=1kg, συγκρούεται κεντρικά και  ελαστικά με τη σφαίρα Α, έχοντας οριζόντια ταχύτητα υ0 ελάχιστα πριν την κρούση. Μετά την κρούση, η Α σφαίρα φτάνει με μηδενική ταχύτητα στη θέση (2), με το νήμα οριζόντιο.

i)  Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας, ελάχιστα μετά την κρούση στη θέση (1), καθώς και στη θέση (2).

ii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Β, μεταφέρεται στην σφαίρα Α κατά την κρούση;

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το σημείο Ο, στη θέση (3) όπου απέχει κατακόρυφα κατά h=0,6m από τη θέση (1), κατά την άνοδό της.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Ερωτήματα πάνω σε δύο κρούσεις.

 Ένα σώμα A ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Σε μια στιγμή t=0 τίθεται σε απλή αρμονική ταλάντωση κινούμενο προς τα πάνω, ενώ τις χρονικές στιγμές t1=1s και t2=2s συγκρούεται μετωπικά, διαδοχικά με δυο σφαίρες Β και Γ. Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση y του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Η σφαίρα Β ελάχιστα πριν την κρούση, κινείται προς τα κάτω.

ii) Η κρούση μεταξύ των σωμάτων Α και Β είναι πλαστική.

iii) Η κρούση μεταξύ των Α και Γ δεν μπορεί να είναι πλαστική.

iv) Αν η σφαίρα Γ έχει ίση μάζα με το σώμα Α και η κρούση τους είναι ελαστική, τότε η σφαίρα ελάχιστα πριν την κρούση κινείται προς τα κάτω.

Απάντηση:

ή

Ερωτήματα  πάνω σε δύο κρούσεις.

Ερωτήματα  πάνω σε δύο κρούσεις.

Ερωτήματα  πάνω σε δύο κρούσεις.

Δυο ελαστικές κρούσεις

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται μια σφαίρα Α μάζας m1 με ταχύτητα υ0  και σε μια στιγμή t0=0 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, μάζας m2=1kg και ίσης ακτίνας, η οποία είναι ακίνητη στη θέση Ο. Οι δυο σφαίρες περνούν από τη θέση Κ, σε απόσταση d τις χρονικές στιγμές 1s και 4s.

i) Ποια σφαίρα έχει μεγαλύτερη μάζα και σε ποια σφαίρα αντιστοιχούν οι παραπάνω χρονικές στιγμές;

ii) Να βρεθεί η μάζα m1 της σφαίρας Α.

iii) Αν επαναλάβουμε το πείραμα, αντιστρέφοντας τους ρόλους των δύο σφαιρών, όπως στο 2ο σχήμα, να υπολογιστεί σε πόσο χρόνο η Α σφαίρα να φτάσει στη θέση Κ. Ποια θα είναι τότε η απόσταση D των δύο σφαιρών, σε σχέση με την απόσταση d;

Απάντηση: 

ή

 Δύο ελαστικές κρούσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

 

Μια σφαίρα μάζας m αφήνεται από ύψος h1 να πέσει και να συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά, με μια πλάκα μάζας Μ η οποία ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει συμπιέσει, όπως φαίνεται στο σχήμα, χωρίς να είναι δεμένη με αυτό. Μετά την κρούση η σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και φτάνει σε μέγιστο ύψος h2. Η πλάκα ενώ κινείται αρχικά προς τα κάτω, τελικά κινείται προς τα πάνω και αφού εγκαταλείψει το ελατήριο φτάνει σε μέγιστο ύψος Η, όπου όλα τα ύψη μετρούνται από την αρχική θέση ισορροπίας της πλάκας.

i)  Να αποδείξετε ότι η πλάκα έχει μεγαλύτερη μάζα από την σφαίρα (Μ>m).

ii)  Αν p1 το μέγιστο μέτρο της ορμής της σφαίρας κατά την παραπάνω κίνηση, ενώ το αντίστοιχο μέτρο της ορμής της πλάκας, αμέσως μετά την κρούση, είναι p2 θα ισχύει:

α) p2=p1,      β) p₁<p₂ <2 p₁,    γ) p2=2p1.

i)  Αν Μ=2m, τότε για τα προαναφερόμενα ύψη ισχύει:

α) h1-h2 > 2Η,       β) h1-h2 = 2Η,        γ) h1-h2 < 2Η

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

 

Μια σφαίρα Α ακτίνας 2cm, κινείται στο χώρο, εκτός πεδίου βαρύτητας, με το κέντρο της Κ να έχει σταθερή ταχύτητα υ1 κατά μήκος μιας ευθείας (ε), χωρίς να περιστρέφεται. Μια δεύτερη σφαίρα Β, κέντρου Ο και ακτίνας 3cm, είναι ακίνητη. Σχεδιάζοντας ένα σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας (το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο που ορίζει η διάκεντρος ΚΟ και η ταχύτητα υ1), η ευθεία (ε) εφάπτεται στη σφαίρα Β. Αν η κρούση  που θα ακολουθήσει είναι ελαστική, ενώ οι σφαίρες έχουν ίσες μάζες και οι επιφάνειές τους είναι λείες:

i) Σε ποιες διευθύνσεις θα κινηθούν οι δυο σφαίρες μετά την κρούση;

ii) Αν λ ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δύο σφαιρών, μετά την κρούση (Κ1/Κ2=λ), τότε:

α) λ < 0,5,    β) λ = 0,5,   γ) λ > 0,5.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=2kg και m2=1kg αντίστοιχα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Το σώμα Α βρίσκεται επίσης σε επαφή (χωρίς να είναι δεμένο) με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=88Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε το Α σώμα προς τα αριστερά κατά d=0,5m, συμπιέζοντας το ελατήριο και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο, τη στιγμή t0=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β, όπου η κρούση είναι ακαριαία.

i) Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί.

ii) Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Ποια η ορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων:

α)  αμέσως μετά την κρούση τη στιγμή t0+.

β) τη χρονική στιγμή t1=1s.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κινούνται στην ίδια ευθεία, χωρίς να περιστρέφονται, δύο  σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m, αντίστοιχα, οι οποίες κάποια στιγμή συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν πριν την κρούση η Α σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου υ1 με φορά προς τα δεξιά.

i)   Υποστηρίζεται η άποψη ότι η σφαίρα Α θα επιβραδυνθεί, εξαιτίας της δύναμης που θα δεχτεί από την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα μετά την κρούση να έχει ταχύτητα με μέτρο μικρότερο από υ1. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.

ii)  Αν μετά την κρούση η σφαίρα Α έχει την ελάχιστη δυνατή κινητική ενέργεια, να βρεθεί η ταχύτητα της Β σφαίρας πριν την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής της σφαίρας Β, που οφείλεται στη κρούση.

Απάντηση:

ή

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 Κάτι σαν φύλλο εργασίας

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά α. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου κάποια στιγμή τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά.

Αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω διάγραμμα x=f(t), να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

i) Να εξηγήσετε γιατί έχουμε κρούση των δύο σωμάτων τη στιγμή t₁. Σε ποια θέση έγινε η κρούση αυτή; 

ii) Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική. 

iii) Πόσες κρούσεις μεταξύ των δύο σωμάτων έχουμε, μέχρι τη στιγμή 4t₁;

Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

iv) Σε τι ποσοστό αυξήθηκε η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁, λόγω της πρώτης κρούσης; 

v) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ το οποίο μεταφέρεται στο Σ₁, κατά την κρούση αυτή. 

vi) Να υπολογιστεί συναρτήσει της σταθεράς του ελατηρίου k και της αρχικής του συσπείρωσης  α, η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂, τις χρονικές στιγμές t=0 και t΄=4t₁. 

vii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₂ έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα Σ₁. 

viii) Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα, ελάχιστα πριν την πρώτη κρούση;

Απάντηση:

ή

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Κρούσεις και ταλαντώσεις