Επαναληπτική Άσκηση Μηχανική Στερεού-Κρούσεις

Σφαίρα Σ₂ μάζας m₂=m=2kg ηρεμεί στερεωμένη στο αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=150N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Μια λεπτή και ομογενής ράβδος ΟΑ μάζας Μ=6kg και μήκους L=1m έχει το άκρο της Ο στερεωμένο σε άρθρωση, γύρω από την οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές και σε κατακόρυφη απόσταση h=1,6m από τον άξονα του ελατηρίου. Κατά την διάρκεια της περιστροφής, το άκρο Γ της ράβδου διέρχεται από την ίδια κατακόρυφη με το αριστερό άκρο του ελατηρίου. Σφαίρα Σ₁μάζας m₁=m κινείται σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 120^ο με τον άξονα του ελατηρίου και συγκρούεται ελαστικά αλλά όχι κεντρικά με την ακίνητη σφαίρα Σ₂ έχοντας λίγο πριν την κρούση ταχύτητα μέτρου u=4(3)^1/2m/s, με αποτέλεσμα αμέσως μετά η Σ₂ να αρχίσει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωσης κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου. Οι σφαίρες Σ₁ και Σ₂, το ελατήριο και η ράβδος βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, ενώ οι σφαίρες μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία.

α) Να αποδείξετε ότι αμέσως μετά την κρούση η σφαίρα Σ₁ θα κινηθεί κατακόρυφα.

β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών αμέσως μετά την κρούση και το πλάτος ταλάντωσης της Σ₂.

Καθώς η σφαίρα κινείται κατακόρυφα καρφώνεται στο άκρο Γ της ράβδου, η οποία περιστρέφεται κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού και την στιγμή της σύγκρουσης βρίσκεται σε οριζόντια θέση έχοντας γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₁=8rad/s. Να υπολογίσετε:

γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος ράβδος-σφαίρα αμέσως μετά την πλαστική σύγκρουση της σφαίρας με το άκρο της ράβδου.

δ) το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τη σφαίρα Σ₁ τη στιγμή που η ράβδος – σφαίρα γίνεται κατακόρυφη για 1^η φορά μετά την σύγκρουση.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή υπολογίζεται από τη σχέση Icm=(1/12)ML^2. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s² ενώ η σύγκρουση ράβδου -σφαίρας Σ₁ έχει αμελητέα χρονική διάρκεια. 

Λύση: