Επαναληπτική άσκηση: Ισορροπία - Περιστροφή - Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση

Η ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ του διπλανού σχήματος έχει μήκος L=1,2m και μάζα M=4kg και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο με τη βοήθεια άρθρωσης που βρίσκεται στο δεξιό άκρο της. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια καθώς το αριστερό της άκρο Γ είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό σχοινί όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή  κόβουμε το νήμα και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται. Να υπολογιστούν:

α) Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση λίγο πριν και αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος,

β) η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν γίνεται η ράβδος γίνεται για 1^η φορά κατακόρυφη.

Ομογενής σφαίρα μάζας m=2kg και ακτίνας R=2/7m ισορροπεί ακίνητη σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=6/70. Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η οποία θεωρείται ως t=0, το άκρο της Γ  της ράβδου συγκρούεται ελαστικά με σημείο της περιφέρειας της ομογενούς σφαίρας, το οποίο απέχει από το έδαφος απόσταση d=R.

γ) Να υπολογιστούν τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση και της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας αμέσως μετά την  κρούση.

δ) Να μελετηθεί η κίνηση της σφαίρας.

ε) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας σε σχέση με την κατακόρυφη που θα διαγράψει η ράβδος μετά την ελαστική της κρούση με την σφαίρα.

στ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₁ που σταματάει η ολίσθηση της σφαίρας στο οριζόντιο επίπεδο.  

ζ) Να γίνει η γραφική παράσταση ω=f(t) της γωνιακή ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση με τον χρόνο από την χρονική στιγμή t=0 έως την χρονική στιγμή t₂=3,3s, και να βρεθεί ο αριθμός των περιστροφών στην παραπάνω χρονική διάρκεια.

Δίνεται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σε αυτή Ι_ρ=(1/3)ΜL^2 και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ι_σφ=(2/5)mR^2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Λύση: