Το 4ο Θέμα του ΟΕΦΕ 2012 λίγο τροποποιημένο…

Στο σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία που αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες r = 0,1m και R = 0,2m και μάζες m = 2kg και Μ=4kg αντίστοιχα. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα, χωρίς  τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους.

Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα (4), στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα μάζας m₁=1kg. Στο αυλάκι του μικρού δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει δύο αβαρή και μη εκτατά νήματα (3) και (2). Στο ελεύθερο άκρο του οριζόντιου νήματος (3) έχουμε δέσει το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₁=200 N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο σε σταθερό σημείο. Στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου νήματος (2) έχουμε δέσει σώμα μάζας m₂ =0,5kg το οποίο είναι δεμένο και με αβαρές ελαστικό κατακόρυφο νήμα (1) από σταθερό σημείο της οροφής. Tο μέτρο F της δύναμης που ασκεί το ελαστικό νήμα (1) είναι ανάλογο της επιμήκυνσής του Δℓ σύμφωνα με τη σχέση F=100·Δℓ (SI).

Το σύστημα ισορροπεί με το νήμα (1) να είναι επιμηκυμένο κατά Δℓ = 0,2m.

Δ1. Να βρείτε την παραμόρφωση του ελατηρίου.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα (2). Να υπολογίσετε:

Δ2. Τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος (2).

Δ3. Να αποδείξετε ότι το σώμα μάζας m₁ εκτελεί ΑΑΤ και να βρείτε τη σταθερά της ταλάντωσής του.

Δ4. Να βρείτε πως μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας σε συνάρτηση με το χρόνο

Δ5. Τη μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας του συστήματος (τροχαλία – μάζα m₁).

Δ6. Το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μάζας m₂ μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος (2).

συνέχεια