Αναβατόριο με διπλή τροχαλία

Η διπλή τροχαλία Σ₁ (δύο κολλημένοι δίσκοι) του σχήματος έχει εξωτερική ακτίνα R = 0,2 m και εσωτερική x = R/2 = 0,1 m και μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα Ο (κατά τη φορά του ρολογιού ή αντίθετα) με τη βοήθεια ηλεκτρικού κινητήρα που της ασκεί κατάλληλη ροπή τ. Στα δύο αυλάκια της είναι στερεωμένα και τυλιγμένα με αντίθετες φορές τα δύο άκρα μη εκτατού συρματόσκοινου.

Το ενδιάμεσο τμήμα του συρματόσκοινου είναι περασμένο γύρω από την περιφέρεια δεύτερης τροχαλίας Σ₂ ακτίνας R′, την οποία στηρίζει και μπορεί να τη στρέφει γύρω από τον κινητό της άξονα Κ χωρίς να ολισθαίνει στην περιφέρειά της. Τα τμήματα ΑΓ και ΔΖ του συρματόσκοινου είναι κατακόρυφα.

Από τον άξονα της τροχαλίας Σ₂ είναι κρεμασμένο σώμα Σ₃ βάρους Β = 2000 Ν, το οποίο ανυψώνεται αν τεθεί σε λειτουργία ο κινητήρας της τροχαλίας Σ₁.

Υποθέτουμε ότι οι τροχαλίες και το συρματόσκοινο έχουν ασήμαντη μάζα σε σχέση με τη μάζα του Σ₃ και ότι η ανύψωση γίνεται με μικρή σταθερή ταχύτητα.

α) Με ποιά φορά πρέπει να στρέφεται η τροχαλία Σ₁ ώστε το σώμα Σ₃ να ανυψώνεται;

β) Αν ο κινητήρας στρέφει την τροχαλία Σ₁ με γωνιακή ταχύτητα ω = 2 r/s, να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω′ της τροχαλίας Σ₂ καθώς και την ταχύτητα ανύψωσης υ_Κ του σώματος Σ₃.

Να απεικονίσετε γραφικά τη σχέση υ_Κ(x) για 0 < x < R.

γ) Αν το επιδιωκόμενο ύψος ανύψωσης είναι Η, να υπολογίσετε το ελάχιστο απαιτούμενο μήκος S συρματόσκοινου που πρέπει να είναι αρχικά τυλιγμένο στον μικρό δίσκο της τροχαλίας Σ₁.

δ) Να βρείτε τη ροπή τ που πρέπει να ασκεί ο κινητήρας στην τροχαλία Σ₁ και την ισχύ του P σε συνάρτηση με την ακτίνα x του μικρού δίσκου, καθώς επίσης και τον χρόνο ανύψωσης t σε ύψος Η.

Να απεικονίσετε γραφικά τις σχέσεις τ(x), P(x) και t(x) για 0 < x < R.

Εφαρμογή για   x = R/2 = 0,1 m  και  H = 10 m.

Θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Δίνεται g = 10 m/s².

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...