Εκτίναξη κατά την περιστροφή

Ένα σφαιρίδιο μάζας m αμελητέων διαστάσεων, είναι στερεωμένο στο ένα άκρο λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους ℓ , η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που περνά από το άλλο άκρο της Ο. Η ράβδος αρχικά συγκρατείται σε κατακόρυφη θέση με το σφαιρίδιο στο πάνω άκρο της, να εφάπτεται στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το ελατήριο στη θέση αυτή, είναι συσπειρωμένο κατά Δx από το φυσικό του μήκος.
Ελευθερώνουμε το σύστημα, και παρατηρούμε ότι, όταν η ράβδος φτάνει στο σημείο Α και έχει περιστραφεί κατά 270°, το σφαιρίδιο ξεφεύγει, και κινείται μόνο του κατακόρυφα προς τα επάνω. Αν όλη η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου μεταβιβάζεται στο σύστημα σφαιρίδιο - ράβδος να υπολογίσετε :
1. Την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στο σημείο Α, λίγο πριν ξεφύγει το σφαιρίδιο.
2. Την ταχύτητα που έχει το σφαιρίδιο στο σημείο Α.
3. Το μέγιστο ύψος, hmax πάνω από το σημείο Α, που θα φτάσει το σφαιρίδιο.
4. Το μέγιστο ύψος, πάνω από το σημείο Α, που θα έφτανε το σφαιρίδιο αν το ελατήριο αρχικά, όταν η ράβδος ήταν στην πάνω κατακόρυφη θέση, είχε το φυσικό του μήκος , το σύστημα άρχιζε να στρέφεται προς τα δεξιά ύστερα από πολύ μικρή - σχεδόν αμελητέα - ώθηση και επί πλέον
α. m >> M , β. m << Μ

Δίνονται τα μεγέθη Μ, m, ℓ, k, g, Δx, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που περιστρέφεται υπολογίζεται με τη σχέση Ιο = Μℓ²/3 και αντίσταση του αέρα αμελητέα.

Απάντηση