Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα βλέπουμε τη μορφή του μέσου μια χρονική στιγμή t₁.

 

α) Για την παραπάνω χρονική  στιγμή t₁:

i) Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, είναι προς τα δεξιά.

ii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Γ είναι ίση με π (rad).

iii) Το σημείο Δ έχει μηδενική ταχύτητα και μέγιστη επιτάχυνση.

iv) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ, έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του κύματος, τότε η απόσταση (ΟΓ) και το πλάτος του κύματος συνδέονται με τη σχέση (ΟΓ)=πΑ.

v) Το κύμα έφτασε στην αρχή του άξονα Ο, τη χρονική στιγμή t₂=t₁-T, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σημείου Ο.

vi) Τη χρονική στιγμή που το σημείο Ο έχει φάση απομάκρυνσης φ=5π (rad), το σημείο Β έχει εκτελέσει 1,5 ταλάντωση.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παραπάνω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

β) Να σχεδιάσετε την μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₃=t₁+T/8. Στην εικόνα να φαίνονται και οι θέσεις των  σημείων Β, Γ, Δ και Ο.

Απάντηση:

ή

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Η συμβολή και σημεία ενός κύκλου

 

Στην επιφάνεια ενός υγρού σε ηρεμία, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂, οι οποίες ταλαντώνονται με πλάτος Α, παράγοντας κύματα τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με μήκος κύματος λ. Η απόσταση μεταξύ των δύο πηγών είναι d=1,5λ. Με κέντρο το μέσον K της απόστασης των δύο πηγών, φανταζόμαστε κύκλο με ακτίνα R=λ.

i) Τα σημεία του κύκλου στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή (δεχόμενοι σταθερό πλάτος των κυμάτων, ταλαντώνονται με πλάτος 2Α) είναι:

α) n=2,  β) n= 3,  γ) n= 6,  δ) n=8

ii) Τα σημεία του κύκλου που παραμένουν ακίνητα είναι:

α) n=3,  β) n= 4,  γ) n= 6,  δ) n=8

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η συμβολή και σημεία ενός κύκλου

 Η συμβολή και σημεία ενός κύκλου

Επιφανειακή συμβολή και σύγχρονες πηγές

  

Σε δύο σημεία μιας ευθείας ε, στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂ οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t₀=0, παράγοντας εγκάρσια κύματα με πλάτος Α=2cm, μήκος κύματος λ=0,8m και συχνότητα f=0,5Ηz. Η απόσταση των δύο πηγών είναι d=0,8m.

i)  Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης τις σημείου Β  τις επιφάνειας, το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία z, η οποία είναι κάθετη στην ε, στο σημείο που βρίσκεται η πηγή Ο₁, σε απόσταση (Ο₁Β)=0,6m,  τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=1s,   β) t₂=2s και t₃=3s.

ii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για ένα σημείο Γ της ευθείας ε, αν (Ο₂Γ)=0,2m;

iii) Αν, ενώ έχουμε συμβολή σε όλα τα σημεία της επιφάνειας, το σημείο Γ μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά x, τότε το πλάτος ταλάντωσής του:

α)  θα αυξηθεί,   β)  θα μειωθεί,  γ) θα παραμείνει  σταθερό.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Θεωρούμε ότι τα κύματα που διαδίδονται, διατηρούν σταθερό πλάτος.

Απάντηση:                                              

ή

 Επιφανειακή συμβολή από σύγχρονες πηγές

 Επιφανειακή συμβολή και σύγχρονες πηγές

Από ένα διάγραμμα φάσης

  

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό πλάτους Α=0,2m και στο σχήμα δίνεται το διάγραμμα της φάσης της απομάκρυνσης των  διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση x (φ=f(x)) τη χρονική στιγμή t₁.

i)  Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά του άξονα) ή προς τα αριστερά;

ii) Να υπολογίσετε το μήκος του κύματος καθώς και την θέση x₁, όπου μηδενίζεται η φάση τη στιγμή t₁.

iii) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της φάσης  (φ=f(x)) την χρονική στιγμή t₂=t₁+Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

iv) Αν το κύμα ικανοποιεί την εξίσωση y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ) να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁, αν Τ=1s.

v) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y=f(t) για ένα σημείο Σ, στην θέση x=-4m, μέχρι την στιγμή t₁.

Απάντηση:

ή

 Από ένα διάγραμμα φάσης

 Από ένα διάγραμμα φάσης

Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα

 

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) και τη στιγμή t=0 φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει στην ακραία θέση του, σε απόσταση 0,2m σε χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ενώ στο μεταξύ το κύμα έχει διαδοθεί φτάνοντας στο σημείο Λ, όπου (ΟΛ)=1m.

i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, καθώς και η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Κ, στη θέση x₁=-1m, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση για t ≤ 2,5s.

iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t₁=2,5s έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -2m ≤ x ≤ 2 m.

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=3s.

v) Να βρεθεί η θέση του σημείου Σ του μέσου, το οποίο την στιγμή t₃=6,5s έχει πραγματοποιήσει 43,5 ταλαντώσεις.

Θεωρούμε ότι η πηγή είναι σε μεγάλη απόσταση από την αρχή Ο (x=0) του άξονα.

Απάντηση:

ή

 Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα

 Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα 

Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

  

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύμα (στην πραγματικότητα ένας κυματικός αρμονικός παλμός) με μήκος κύματος λ=0,8m και τη στιγμή t=0,  φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε και σαν αρχή του προσανατολισμένου άξονα x.  Το κύμα φτάνει την στιγμή t₁=3s σε ένα σημείο Β του μέσου, στην θέση x₁=1,2m, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,2m, ξεκινώντας την ταλάντωσή του από την θέση ισορροπίας του και κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση. Το σημείο Β, παύει να ταλαντώνεται, παραμένοντας ακίνητο, την χρονική στιγμή t₂=12s.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

ii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σημείου Β; Να γίνει η γραφική παράσταση y₁=f(t) για το σημείο Β και για όσο χρόνο αυτό ταλαντώνεται.

iii) Να γίνει επίσης η αντίστοιχη γραφική παράσταση για την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, υ=f(t).

iv) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t₃=10s.

Απάντηση:

ή

 Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

 Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

Βρείτε την εξίσωση του κύματος

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα κύμα πλάτους Α=0,2m με περίοδο 3s. Ζητάμε την εξίσωση του κύματος, στις περιπτώσεις που εμφανίζονται στο παρακάτω σχήμα, όπου τα στιγμιότυπα (α) και (β) αναφέρονται σε κύματα που διαδίδονται προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση), ενώ τα (γ) και (δ) προς τα αριστερά, ενώ όλα τα στιγμιότυπα αναφέρονται στην στιγμή t=0.

 

Απάντηση:

ή

 Βρείτε την εξίσωση του κύματος

 Βρείτε την εξίσωση του κύματος

Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο

 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,4m με ταχύτητα 2m/s. Την χρονική στιγμή t=0, το κύμα φτάνει στην αρχή Ο ενός προσανατολισμένου άξονα, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται, κινούμενο προς τα πάνω (θετική απομάκρυνση) με περίοδο Τ=2s.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος.

ii)  Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t₁=4,5s.

iii) Ένα υλικό σημείο Σ του μέσου, με μάζα m=1g, βρίσκεται στην θέση x₁=20/3m. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Σ και την συνισταμένη δύναμη που δέχεται από το μέσον, τις χρονικές  στιγμές t₁ και t₂=2,8s.

Απάντηση:

ή

  Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο 

  Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο 

Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

 

Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0, με εξίσωση y=0,4ημ(2πt)  (μονάδες στο S.Ι.), δημιουργώντας εγκάρσια κύματα που διαδίδονται προς την θετική κατεύθυνση του μέσου, με ταχύτητα υ=2m/s. Την χρονική στιγμή t₁=3s, η πηγή αλλάζει πλάτος ταλάντωσης στην τιμή Α₂=0,2m, ενώ  και η συχνότητά της γίνεται f₂=2Ηz.

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του παραπάνω μέσου.

ii) Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην θέση x_Σ=3m. Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης y_Σ=f(t) του σημείου αυτού; Να γίνει η γραφική παράσταση της y_Σ=f(t), μέχρι την στιγμή t₂=6s.

iii) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος y=f(x) την χρονική στιγμή t₂=6s.

Απάντηση:

ή

 Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

 Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο

Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε μια περιοχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, στην οποία έχουμε μια κυματική αρμονική διαταραχή, κάποια χρονική στιγμή t₀. Στο σχήμα έχουν σημειωθεί οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων Β και Γ του μέσου, τη στιγμή αυτή.

i)  Το στιγμιότυπο αυτό ανήκει σε τρέχον ή στάσιμο κύμα;

ii)  Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τρία άλλα στιγμιότυπα του μέσου κάποιες επόμενες χρονικές στιγμές, μικρότερες της περιόδου.

α) Ποιο στιγμιότυπο αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t₁=t₀+5Τ/12;

β) Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα οι ταχύτητες των σημείων Β και Γ και στα τρία στιγμιότυπα.

γ) Αν τη στιγμή t₀ η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Β είναι ίση με 4,2π (rad) τότε η φάση του σημείου Γ την ίδια στιγμή έχει τιμή:

γ₁) 5,6π (rad)     γ₂)  4,2π (rad),    γ₃) 3,2π (rad),   γ₄) 2,8π (rad)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.\

Απάντηση:

ή

 Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο

Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο

Δύο αρμονικοί παλμοί συμβάλουν

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δυο ημιτονοειδείς παλμοί με πλάτη Α=0,2m και με ταχύτητα υ=1m/s και σε μια στιγμή t=0 η μορφή του μέσου είναι όπως στο σχήμα, όπου (ΒΓ)=1m:

Τη στιγμή αυτή το σημείο Β έχει ταχύτητα ταλάντωσης υ₁=0,2π m/s.

i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ.

ii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=1s.

α)  Πόση είναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και ποια η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ, στο μέσον της ΒΓ;

β)  Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ και να υπολογίστε τα μέτρα τους.

iii) Ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις σας για τη χρονική στιγμή t₂=1,5s;

Απάντηση:

ή

 Δύο αρμονικοί παλμοί συμβάλουν

Δύο αρμονικοί παλμοί συμβάλουν

Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο μήκος κύματος και στα διπλανά σχήματα έχουμε πάρει στιγμιότυπα τη στιγμή που τα κύματα έχουν φτάσει στα σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου.

i)  Να εξηγείστε γιατί τα δυο κύματα θα συμβάλουν στο μέσον Ο του τμήματος ΑΒ.

ii)  Στο σχήμα α, όπου τα δυο κύματα έχουν το ίδιο πλάτος τι θα προκύψει μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Ο;

 α) Θα σχηματισθεί δεσμός,  β) θα σχηματισθεί κοιλία του στάσιμου,   γ) τίποτα από τα δύο.

iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για τα κύματα του σχήματος β, επίσης ίδιου πλάτους;

iv) Στο σχήμα γ, το πλάτος του κύματος (2) είναι διπλάσιο από το αντίστοιχο πλάτος του (1) κύματος (Α₂=2Α₁=2∙Α ). Να εξετασθεί αν σχηματισθεί στάσιμο κύμα μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.

Να δικαιολογείστε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα

Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα

Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, με το ίδιο μήκος κύματος και ίδιο πλάτος Α=0,1m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t₀=0, όπου τα δυο κύματα φτάνουν στα σημεία Β και Γ.

i)   Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ, στις θέσεις x_Β=0 και x_Γ=1m και να υπολογιστούν τα μέτρα τους τη στιγμή t₀=0.

ii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=1s, σημειώνοντας επίσης στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Β, Γ καθώς και του μέσου Ο του ευθύγραμμου τμήματος, στη θέση x_ο=0,5m. Με ποιες μορφές εμφανίζεται η ενέργεια, την οποία μεταφέρουν τα δυο κύματα, στο τμήμα ΒΓ;

iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, τη χρονική στιγμή t₂=1,5s;

Απάντηση:

ή

 Μια συμβολή και  ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.

Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.

Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δυο πηγές κύματος Ο₁ και Ο₂, οι οποίες μπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση με το ίδιο πλάτος Α και με περίοδο Τ=2s. Κάποια στιγμή t₀=0, η πηγή Ο₁ αρχίζει την ταλάντωσή της, με εξίσωση απομάκρυνσης y_Ο1=Α∙ημ(πt), οπότε δημιουργείται ένα κύμα το οποίο φτάνει στο σημείο Σ της μεσοκαθέτου του Ο₁Ο₂, τη στιγμή t₁=4s και το θέτει σε ταλάντωση με πλάτος πλάτος Α₁=0,1m.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για την ταλάντωση του σημείου Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού.

ii) Η πηγή Ο₂ καθυστέρησε κατά Δt=4,5s να ξεκινήσει μια όμοια ταλάντωση με την πηγή Ο₁ και να δημιουργήσει ένα δεύτερο κύμα που διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού.

α)  Ποια χρονική στιγμή το 2^ο κύμα θα φτάσει στο σημείο Σ και ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού, σε συνάρτηση με το χρόνο;

β)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) του σημείου Σ εξαιτίας και των δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Θέλοντας να μελετήσουμε τη σύνθετη ταλάντωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ως t₀=0, τη στιγμή που άρχισε η ταλάντωση αυτή του Σ.  Με την υπόθεση αυτή, να γράψετε νέες εξισώσεις για τις δυο επιμέρους ταλαντώσεις καθώς και την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ λόγω συμβολής.

Απάντηση:

ή

 Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης

 Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο διάγραμμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=3,4s, όπου τη στιγμή t₀=0  ξεκίνησε η πηγή του κύματος, την ταλάντωσή της.

i)  Το κύμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;

ii) Να βρεθεί η περίοδος και το μήκος του κύματος.

iii) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος, αν το πλάτος του είναι 0,2m;

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁.

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης

Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης