Από πλάγια κρούση σε πλάγια κρούση

Τρεις λείες σφαίρες Σ₁, Σ₂ και Σ₃, μάζας m = 1 kg και ίδιας ακτίνας η καθεμία, βρίσκονται ακίνητες επάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με τις σφαίρες Σ₂ και Σ₃ να εφάπτονται μεταξύ τους. Κάποια χρονική στιγμή εκτοξεύουμε τη σφαίρα Σ₁ με ταχύτητα υ₀, μέτρου 10√2 m/s, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x′x, ο οποίος διέρχεται από το σημείο επαφής των σφαιρών Σ₂ και Σ₃, όπως απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. Η σφαίρα Σ₁ συγκρούεται ελαστικά με τις σφαίρες Σ₂ και Σ₃. Μετά την κρούση οι ταχύτητες υ₂ και υ₃ των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ αντίστοιχα σχηματίζουν γωνία 45° η καθεμία με τον άξονα x′x, ενώ η Σ₁ παραμένει πάνω στον άξονα x′x.

α. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων υ₂ και υ₃ των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ αντίστοιχα.

β. Να αποδείξετε ότι μετά την κρούση η σφαίρα Σ₁ ακινητοποιείται.

Θεωρούμε ως t₀ = 0 τη στιγμή της 1^ης κρούσης. Την στιγμή t₁ = 1 s, η σφαίρα Σ₃ συγκρούεται με βλήμα μάζας m = 0,2 kg πλαστικά με αποτέλεσμα το συσσωμάτωμα να κινηθεί κάθετα στην αρχική διεύθυνση της Σ₃ (παράλληλα με τη Σ₂) και τη χρονική στιγμή t₂ = 3 s, να φτάσει στην ελάχιστη απόσταση με τη Σ₂. Να βρείτε:

 

Η συνέχεια και η λύση εδώ ή εδώ.

Με μία ώθηση πάμε πιο ψηλά.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ βάλλεται από ένα σημείο λείου οριζοντίου επιπέδου με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2√5 m/s. Στην πορεία του συναντά λείο τεταρτοκύκλιο ακτίνας R και φτάνει οριακά στο χείλος του. Το σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 0,6 kg βρίσκεται δεμένο στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ = R. Το πάνω άκρο του νήματος είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο που βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου μέρος του οποίου αποτελεί το τεταρτοκύκλιο. Το σφαιρίδιο μπορεί να διαγράφει τροχιά μες το τεταρτοκύκλιο έτσι ώστε το Σ₂ να εφάπτεται με αυτό. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο από την οριζόντια θέση το Σ₂ και αυτό αφού περάσει στην περιοχή του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ₁ την ώρα που αυτό έχει ήδη αρχίσει να κατέρχεται. Το Σ₂, μετά την κρούση περνά από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του, δεχόμενο από το νήμα δύναμη μέτρου Τ = 8,4 Ν, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ, ενώ κατά την αιώρηση του δε ξεπερνά τη θέση της κρούσης. Να βρείτε:

α. Το μήκος του νήματος

β. Τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων μετά την κρούση

γ. Τη δύναμη που ασκεί το Σ₁ στο οριζόντιο επίπεδο κατά την κίνηση του σε αυτό

δ. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του Σ₁ τη στιγμή ελάχιστα πριν την εγκατάλειψη του τεταρτοκυκλίου.

ε. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₁ όταν μετά την εγκατάλειψη του κεκλιμένου, βρίσκεται στο μισό του μέγιστου ύψους πάνω από το τεταρτοκύκλιο που θα φτάσει.

Δίνεται g = 10 m/s². Τα σώματα θεωρούνται σημειακά και οι αντιστάσεις του αέρα αμελητέες. Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνά από τα Α και Β.

Η συνέχεια εδώ ή εδώ.

Μία σανίδα … που δε τη λες και μοντέλο!!!

Μία ομογενής σανίδα με μάζα m και μήκος ℓ, είναι στερεωμένη πάνω σε δύο κυλίνδρους που μπορούν να στρέφονται αντίρροπα. Η ράβδος που έχει πάχος 2c, εμφανίζει με τους δύο κυλίνδρους τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Οι άξονες των δύο κυλίνδρων απέχουν μεταξύ τους απόσταση 2d. Οι κύλινδροι περιστρέφονται με την ίδιου μέτρου γωνιακή ω. Αρχικά το κέντρο μάζας της σανίδας ισαπέχει από τους άξονες των κυλίνδρων. Απομακρύνουμε κατά x προς τα δεξιά το κέντρο μάζας και το αφήνουμε. Να μελετηθεί η κίνηση.

Η συνέχεια εδώ.

Δύο κρούσεις σε μία ταλάντωση.

Ένα σώμα Σ₁ με μάζα m₁ = 0,1 kg, εκτελεί ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Η εξίσωση της ταχύτητας του είναι της μορφής υ₁ = 10συν10πt (SI). Κάποια στιγμή στη διάρκεια της ταλάντωσής του και καθώς έχει διανύσει το 80% του πλάτους του κινούμενο προς τα δεξιά (κατεύθυνση που θεωρούμε θετική), συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με αντιθέτως κινούμενο σώμα Σ₂ μάζας m₂. Η κρούση έχει ως αποτέλεσμα το Σ₁ να μεταφέρει όλη την κινητική του ενέργεια στο Σ₂. Το ποσοστό αύξησης της κινητικής ενέργειας του Σ₂ είναι 1500%. Μετά την κρούση τα δύο σώματα ξανασυγκρούονται, στη θέση ισορροπίας του Σ₁ (όταν το Σ₁ περνά από κει για 2^η φορά μετά την πρώτη κρούση), αφού το Σ₂ συγκρουστεί ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο που απέχει απόσταση  d από τη θέση ισορροπίας του Σ₁. Να βρεθούν: 

α. η ταχύτητα του Σ₁ λίγο πριν την πρώτη κρούση με το Σ₂ 

β. την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου λίγο πριν την πρώτη κρούση του Σ₁ με το Σ₂ 

γ. το μέτρο της ορμής του Σ₂ αμέσως μετά την πρώτη κρούση 

δ. την απόσταση d της θέσης ισορροπία του Σ₁ από τον αριστερό τοίχο 

Η συνέχεια και η λύση εδώ ή εδώ.

Κρούσεις στο τραπέζι του μπιλιάρδου.

Δύο απολύτως λείες και ελαστικές σφαίρες (ίδιου όγκου διαφορετικής μάζας) είναι τοποθετημένες στο τραπέζι ενός μπιλιάρδου (του οποίου η κάτοψη φαίνεται στο διπλανό σχήμα). Οι κρούσεις με τις σπόντες είναι και αυτές ελαστικές. Τοποθετούμε τη σφαίρα Σ₂ σε σημείο που βρίσκεται σχεδόν πάνω στη μεσοκάθετο της μικρής πλευράς. Σχεδόν από την ίδια ευθεία αλλά εκατέρωθεν αυτής εκτοξεύουμε την Σ₁ με ταχύτητα έτσι ώστε να συγκρουστεί μη κεντρικά και ελαστικά με την Σ₂. Μετά την κρούση, οι δύο σφαίρες αφού ανακλαστούν στις σπόντες περνάνε σχεδόν από το ίδιο σημείο (το θεωρούμε ίδιο) της μεσοκαθέτου (σε διαφορετικές στιγμές όμως). Η μεταβολή της ορμής της Σ₁ στην σπόντα έχει μέτρο , όπου το μέτρο της ορμής της Σ₁ μετά την κρούση με τη Σ₂. Να βρείτε:

α. τις γωνίες θ και φ μετά την κρούση των δύο σφαιρών

β. την μάζα m₂, αν η Σ₁ έχει μάζα m₁ = 0,4 kg.

γ. την κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ₂ μετά την κρούση, αν η Σ₁ είχε ταχύτητα μέτρου υ₁ = 2√3 m/s πριν την κρούση της με την Σ₂.

δ. με ποια χρονική διαφορά τέμνουν οι δύο σφαίρες την μεσοκάθετο στη μικρή πλευρά του μπιλιάρδου μετά την κρούση (να θεωρήσετε ότι η μικρή πλευρά έχει μήκος 1,7 m).

Η συνέχεια εδώ.

Από κεντρική σε πλάγια κρούση.

Σφαίρα Σ₁ μάζας m₁ = 1 kg έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁ = 4 m/s, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη ίδιου μεγέθους σφαίρα Σ₂ που είναι δεμένη σε σχοινί μήκους ℓ του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο ακλόνητα στην οροφή. Η Σ₂ μόλις που δεν ακουμπά στο επίπεδο που κινείται η Σ₁ και μετά την κρούση ανυψώνεται σε μέγιστο ύψος h₁ = ℓ. Η σφαίρα Σ₁ μπορεί να κινείται χωρίς τριβές στο οριζόντιο επίπεδο και κατά την κρούση της με τη Σ₂, υφίσταται τη μέγιστη απώλεια στην κινητική της ενέργεια. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία αλλά αυτή τη φορά η Σ₁ συγκρούεται πλάγια και ελαστικά με την Σ₂ και μετά την κρούση η Σ₂ ανυψώνεται σε ύψος h₂ που είναι 64% μικρότερο από το h₁. Να βρείτε:

α. το μήκος του νήματος ℓ.

β. το ποσοστό της κινητική ενέργειας που διατηρεί η Σ₁ μετά την πλάγια κρούση.

γ. τη  μεταβολή της ορμής της σφαίρα Σ₁ (μέτρο και διεύθυνση) στην πλάγια κρούση.

δ. το μέτρο της τάσης του νήματος τη στιγμή που ακινητοποιείται στιγμιαία μετά την πλάγια κρούση.

Η συνέχεια εδώ.

Διαγώνισμα στερεό 2022

Μία λεπτή ομογενής ράβδος (ρ₁) μήκους ℓ = (ΑΓ) = 4 m και βάρους w₁ = 10 N, είναι αρθρωμένη στο σημείο Α και ισορροπεί οριζόντια ακουμπώντας πάνω σε μία ομογενή σφαίρα ακτίνας R = 20 cm βάρους w₂ = 20 N. Το σημείο επαφής σφαίρας ράβδου απέχει απόσταση ℓ/4 από το σημείο Α. Η σφαίρα βρίσκεται πάνω σε άλλη ομογενή ράβδο μήκους d και ακουμπά ακριβώς στο μέσο της, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

α. Να βρείτε τη δύναμη που δέχεται η κάτω ράβδος (ρ₂) από τη σφαίρα.

- Κάποια στιγμή δίνουμε στην κάτω ράβδο (ρ₂) ταχύτητα μέτρου υ και η σφαίρα δεν ολισθαίνει με καμία ράβδο.

β. Να βρείτε το μήκος d της ράβδου ρ₂, αν η σφαίρα χάνει ταυτόχρονα την επαφή της και με τις δύο ράβδους.

γ. Να βρείτε τον αριθμό των περιστροφών που έχει κάνει η σφαίρα ως τότε.

- Με την ίδια ράβδο (ρ₂) και τη σφαίρα φτιάχνουμε ένα κεκλιμένο επίπεδο τέτοιο ώστε μόλις αφήσουμε την σφαίρα να κυλίσει (χωρίς ολίσθηση) πάνω σε αυτό να αποκτά επιτάχυνση μέτρου α_cm = 5 m/s².

δ. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή (μετά την εκκίνηση) το σημείο Σ της σφαίρας που βρίσκεται σε μία ακτίνα παράλληλη με το κεκλιμένο επίπεδο και απέχει r = 5 cm από την περιφέρεια θα αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ = 2,5 m/s.

 

Η συνέχεια εδώ.

Λάδι και νερό απ’ τον Πρόδρομο!

Κυλινδρικό δοχείο μεγάλου εμβαδού βάσης (A = 0,5 m²), περιέχει κατά το ήμισυ λάδι και κατά το ήμισυ νερό, ύψους h = 1 m το καθένα. Το κυλινδρικό αυτό δοχείο βρίσκεται πάνω σε μία ύψος h₁ = 30 cm. Στο πλευρικό τοίχωμα έχουμε δύο οπές Ο₁ και Ο₂ πολύ μικρής διατομής Α_o = π∙10^–5 m² που κλείνονται με πώματα. Ανοίγουμε τις δύο οπές ταυτόχρονα, προκειμένου να γεμίσουμε το μικρό δοχείο, χωρητικότητας V_δ = 2,632 L.

Η πυκνότητα του λαδιού είναι ρ_λ= 780 kg/m³ και του νερού ρ_ν = 1000 kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s² και η ατμοσφαιρική πίεση p_ατμ.= 10⁵ Ν/m². Θεωρείστε ότι δεν μεταβάλλονται σημαντικά τα ύψη των υγρών στο δοχείο, μέχρι να γεμίσει το μικρό δοχείο. Οι οπές Ο₁ και Ο₂ βρίσκονται σε παραπλήσια κατακόρυφα επίπεδα και οι φλέβες δεν τέμνονται. Επίσης θεωρείστε ότι π² = 10.

α. Ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το κάθε υγρό στο κάθε πώμα; Πόση είναι η δύναμη που ασκούν τα τοιχώματα σε κάθε πώμα;

β. Με ποια διαφορά χρόνου φτάνουν δύο στοιχειώδεις μάζες λαδιού και νερού, που βγήκαν από τις οπές ταυτόχρονα;

γ. Ποια η ποσότητα νερού και ποια του λαδιού, όταν γεμίσει το μικρό δοχείο;

δ. Πόση είναι η ελάχιστη διάμετρος του μικρού δοχείου;

ε. Πόση είναι η ποσότητα του κάθε υγρού στον αέρα;

στ. Πόση είναι η πρόσθετη κατακόρυφη δύναμη που ασκούν τα υγρά κατά την πτώση τους στο μικρό δοχείο;

Η συνέχεια εδώ.

Το φετινό μας διαγώνισμα στις ταλαντώσεις (2021)

Ένα σώμα Σ₁, μάζας m₁ = 1 kg, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το Σ₁ είναι δεμένο σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k₁ = 100 N/m, με το αριστερό άκρο του να είναι στερεωμένο σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο. Σε απόσταση d₁ από τη θέση ισορροπίας του Σ₁ και δεξιά αυτής, βρίσκεται ένα ακίνητο σώμα Σ_2, μάζας m_2, το οποίο μπορεί να κινείται και αυτό στο ίδιο επίπεδο χωρίς τριβές. Δεξιά του σώματος Σ₂ και σε απόσταση d₂ βρίσκεται το ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₂ που έχει  το δεξιό  του άκρο στερεωμένο σε σώμα Σ₃, μάζας m₃. Το Σ₃ παρουσιάζει τριβή με το οριζόντιο δάπεδο. Ασκώντας στο σώμα Σ₁ κατάλληλη δύναμη συμπιέζουμε το ελατήριο σταθεράς k₁ κατά d και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Μετά από χρονικό διάστημα Δt₁ = π/15 s από τη στιγμή που ελευθερώσαμε το σώμα Σ₁, αυτό συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το  σώμα Σ₂, με αποτέλεσμα το Σ₁  αμέσως μετά την κρούση να αρχίσει μία νέα ταλάντωση με μηδενική ταχύτητα. Το  σώμα Σ₂ μετά την ελαστική κρούση και αφού διανύσει διάστημα d₂, προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k₂. Η στατική τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ δαπέδου και σώματος  Σ₃ το κρατά ακίνητο και το μέτρο της μεγιστοποιείται για πρώτη φορά αφού περάσει χρονικό διάστημα Δt₂ = π/40 s  μετά την εμφάνισή της. Η γραφική παράσταση της στατικής τριβής φαίνεται στο σχήμα. 

  Δ1. Να βρείτε τη μάζα του σώματος Σ₂ καθώς και το μέτρο της μέγιστης δύναμη που ασκεί το ελατήριο σταθεράς k₂ κατά την συμπίεσή του. 

Δ2. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου σταθεράς k₂. 

Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ₁ του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν την κρούση με το Σ_2. 

Δ4. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης του σώματος Σ₁ μετά την κρούση του με το Σ₂, θεωρώντας ως t′ = 0 την στιγμή έναρξης της νέας ταλάντωσης. 

Δ5.  Να υπολογίστε την απόσταση d₂ ώστε τα σώματα να ξανασυγκρουσθούν στη θέση ισορροπίας του Σ₁ , όταν αυτό διέρχεται από αυτήν για 2^η φορά μετά το χάσιμο της επαφής. 

Το διαγώνισμα εδώ. 

 Το φετινό διαγώνισμα για τα ΨΕΒ που εκπονήσαμε εγώ και ο Πρόδρομος. Τα θέματα διαφέρουν λίγο από την αρχική δομή που έτυχε να δουν κάποιοι φίλοι, αλλά έτσι είναι η διαδικασία. Οι λύσεις προφανώς και υπάρχουν αλλά δεν μπορούν να δημοσιευθούν πριν από την επίσημη ανάρτησή τους στα ΨΕΒ.

Η στατική τριβή και η μέγιστη δύναμη.

Δύο σώματα ίσης μάζας Σ₁ και Σ₂ βρίσκονται εκατέρωθεν σώματος Σ₃ το οποίο παρουσιάζει με το δάπεδο τριβή, με συντελεστή με συντελεστή οριακής τριβής μ. Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ δεν παρουσιάζουν τριβή με το δάπεδο και είναι δεμένα με το Σ₃ μέσω ελατηρίων σταθερών k₁ = k και k₂ = 4k, όπως φαίνεται στο σχήμα. Απομακρύνουμε τα σώματα Σ₁ και Σ₂ από τις θέσεις ισορροπίας τους ώστε και τα δύο ελατήρια να επιμηκυνθούν κατά Α. Την χρονική στιγμή t = 0, αφήνουμε ταυτόχρονα τα δύο σώματα να εκτελέσουν Α.Α.Τ.

Α. Η ελάχιστη τιμή της μάζας Μ του Σ₃ για να παραμένει ακίνητο κατά την διάρκεια της ταλάντωσης των άλλων δύο είναι:

α. M = 5kA/μg                          β. M = 3kA/μg                           γ. M = kA/μg

Β. Η χρονική στιγμή t₁ που το Σ₃ δέχεται για πρώτη φορά την μέγιστη δύναμη είναι:

α. t₁ = (π/2)√(m/k)                     β. t₁ = (π)√(m/k)                          γ. t₁ = (2π)√(m/k)
Η συνέχεια εδώ.

Ράβδος με …. ακλόνητες απόψεις!!!

Ένα σώμα μάζας m_ολ = 0,3 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφης ράβδου μήκους ℓ = 2 m.  Η ράβδος είναι αναρτημένη σε σταθερό σημείο Ο (που μπορεί να κινείται γύρω από αυτό χωρίς τριβές) και ισορροπεί κατακόρυφα. Η ράβδος που έχει  αντίσταση R = 50 Ω και βάρος w = 6 N, είναι αγώγιμη και συνδεδεμένη μέσω διακόπτη με πηγή εναλλασσόμενης τάσης της μορφής υ = Vημωt. διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα.  Το όλο σύστημα βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 2 T. Μία έκρηξη προκαλεί διάσπαση του σώματος Σ σε δύο κομμάτια το οποίο ένα μένει δεμένο στο ελατήριο (το Σ₁) και κάνει οριζόντια ταλάντωση της μορφής x = 0,2ημ20t S.I. Ταυτόχρονα με την έκρηξη κλείνουμε το διακόπτη και η ράβδος διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα. Η ενέργεια που απελευθερώθηκε από την έκρηξη είναι κατά 50% μεγαλύτερη από την ενέργεια της ταλάντωσης σώματος Σ₁.

Να βρεθούν:

α. Η σταθερά k του ελατηρίου που είναι δεμένο το Σ₁

β. Το ποσό θερμότητας που εκλύεται από την ράβδο σε μία περίοδο της ταλάντωσης του Σ₁

γ. Τα στοιχεία κανονικής λειτουργείας μιας συσκευής που συμπεριφέρεται ως ωμικός αντιστάτης αντίστασης R₁ = 5 Ω, που μπορούμε να συνδέσουμε με την παραπάνω εναλλασσόμενη τάση, ώστε να λειτουργεί κανονικά.

Το Σ₂ μετά την έκρηξη αφού διανύσει απόσταση d, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα Σ₃ μάζας m₃ = 0,6 kg, που είναι δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k₃. Σε χρονικό διάστημα Δt₂ = 13π/30 s, μετά την έναρξη της ταλάντωσης του Σ₃ η κινητική του ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης για 5^η φορά, ενώ την ίδια χρονική στιγμή το Σ₂ συγκρούεται με το Σ₁ το οποίο περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο αντίθετα σε σχέση με το Σ₂

δ. Ποια η μέγιστη δύναμη που δέχεται το Σ₃ κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του;

ε. Πόσο διάστημα έχει διανύσει το Σ₁ από την στιγμή της έκρηξης μέχρι να συγκρουστεί με το Σ₂

στ. Ποια το μέτρο της μέγιστης δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονά της;

Δίνεται ότι το ελατήριο και τα σώματα Σ₁, Σ₂ (το δεύτερο κομμάτι από το Σ δεν είναι αγώγιμα και δεν επηρεάζονται από το μαγνητικό πεδίο. Η χρονική διάρκεια των κρούσεων θεωρείται αμελητέα

Η συνέχεια εδώ.

Οι άξονες είναι εύθραυστοι … τώρα τελευταία.

Στο σχήμα βλέπουμε μία ράβδο μάζας m₁ = 6 kg και μήκους ℓ = 1,25 m καθώς επίσης και έναν δίσκο μάζας m₂ και ακτίνας r. Το άκρο Α της ράβδου είναι συνδεδεμένο μέσω άξονα στο κέντρο του δίσκου. Ο δίσκος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά του όπως και η ράβδος γύρω από τον δικό της άξονα στο σημείο Γ. Το σύστημα αφήνεται από την οριζόντια θέση και κατά την κάθοδο ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο δάπεδο σχήματος τεταρτοκυκλίου. Όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη, ο άξονας σύνδεση των δύο στερεών σπάει (χωρίς απώλειες ενέργειας) και ράβδος συνεχίζει την περιστροφή της γύρω από το σημείο Γ, ενώ ο δίσκος εκτελεί οριζόντια βολή από το σημείο που εγκαταλείπει το τεταρτοκύκλιο. Καθόλη την διάρκεια της κοινής κίνησης των δύο στερεών (ράβδος και δίσκος), η κινητική ενέργεια του δίσκου κάθε χρονική στιγμή ήταν μεγαλύτερη κατά 50% από αυτήν της ράβδου. Μετά τον αποχωρισμό η ράβδος ακινητοποιείται στιγμιαία όταν φτάσει σε μία θέση όπου η γωνία θ που σχηματίζει αυτή με την κατακόρυφο είναι τέτοια ώστε το συνημίτονο της να έχει τιμή 1/3. Η ράβδος όταν περνά από την κατακόρυφη θέση έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια ως προς το δάπεδο 484,5 J, ενώ ο δίσκος "προσγειώνεται" σε οριζόντια απόσταση – από το κατώτερο μέρος του τεταρτοκυκλίου – s = 6 m. Να βρεθούν:

α. Η στροφορμή της ράβδου τη στιγμή που σπάει ο άξονας ως προς το σημείο Γ.

β. Η μάζα του δίσκου

γ. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του δίσκου τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.

δ. Την μεταβολή της στροφορμής του δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του, από την στιγμή t₁ (το στερεό βρίσκεται ακόμη στο τεταρτοκύκλιο) όπου η στροφορμή της ράβδου ως προς το σημείο Γ είναι L_ρ = 6,25 kg∙m²/s, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂, όπου ο δίσκος έχει διανύσει οριζοντίως το μισό βεληνεκές του.

Η συνέχεια εδώ.

Στα χνάρια του Νεκτάριου

Κατασκευάζουμε ένα τροχό ενώνοντας τις βάσεις δύο ομογενών κυλίνδρων, έτσι ώστε να αποκτήσουν κοινό άξονα όπως δείχνει το σχήμα. Ο μεγάλος κύλινδρος έχει ακτίνα R = 0,4 m και ο μικρός r = 0,2 m. Ο τροχός μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που ταυτίζεται με τον κοινό γεωμετρικό άξονα των κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας του συστήματος των ενωμένων κυλίνδρων ως προς τον άξονα αυτό είναι Ι = 0,6 kg∙m². Γύρω από τον μικρότερο κύλινδρο, είναι τυλιγμένο ένα αβαρές σχοινί, στο κάτω άκρο του οποίου είναι δεμένο ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m₁ = 7,5 kg. Μια ομογενής δοκός ΑΒ που το βάρος της έχει μέτρο w = 150 Ν, στηρίζεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, και εφάπτεται στον μεγάλο κύλινδρο σε απόσταση d = 3ℓ/4 από τη άρθρωση. Το νήμα, δεν γλιστρά κατά την περιστροφή του συστήματος. Αρχικά συγκρατούμε τον τροχό ακίνητο, και τη χρονική στιγμή t = 0 τον αφήνουμε ελεύθερο, οπότε αρχίζει το νήμα να ξετυλίγεται. Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της δύναμης που ασκεί η ράβδος στο στερεό.

β. την δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση

γ. τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο τροχών.

δ. Την ταχύτητα του σώματος Σ όταν έχει κατέβει κατά h = 0,16 m.

ε. Τον ρυθμό που παράγεται θερμότητα στο σημείο επαφής τροχού – δοκού, τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος Σ έχει μέτρο υ = 2 m/s.

Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του τροχού και της δοκού είναι μ = 0,15 και g = 10 m/s².

Η συνέχεια εδώ.

Η τσουλήθρα του μαγνήτη

Στην διπλανή διάταξη ο μαγνήτης μάζας m = 0,1 kg μπορεί να κινείται χωρίς τριβές στο ημικύκλιο. Αφήνεται από ύψος h = 0,8 m και στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του περνά μέσα από τον δακτύλιο αντίστασης R.

Α. Το ύψος που θα φτάσει ο μαγνήτης όταν βρεθεί για πρώτη φορά στην απέναντι πλευρά του ημικυκλίου μπορεί να είναι:

α. 0,4 m              β. 0,8 m                    γ. 0,9 m

Β. Η ταχύτητα που θα έχει φτάνοντας στο κατώτερο σημείο μπορεί να είναι:

α. 4 m/s               β. 5 m/s                     γ. 3 m/s

Γ. Το ποσό θερμότητας που αποδίδει το κύκλωμα στο περιβάλλον τη στιγμή που θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά:

α. 0,4 J                  β. 0,8 J                      γ. 0,9 J

Δ. Το μέγιστο ποσό θερμότητας που μπορεί να αποδώσει το σύστημα στο περιβάλλον είναι:

α. 0,2 J                   β. 0,8 J                      γ. 2 J

Θεωρήστε το κατώτερο σημείο της τροχιάς του μαγνήτη ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας.

Να αιτιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Η συνέχεια εδώ.

Ένα Β θέμα του μέλλοντος

Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ_Κ = m και ακτίνας R_Κ, βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο (μεγάλου μήκους) γωνίας κλίσης 30^ο. Στο μέσο της επιφάνειας του κυλίνδρου, που φέρει ένα λεπτό αυλάκι, έχουμε τυλίξει πολλές φορές λεπτό, αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα Σ μικρών διαστάσεων μάζας Μ_Σ = m. Το νήμα περνάει από το αυλάκι ομογενούς τροχαλίας μάζας Μ_Τ = m και ακτίνας R_Τ, την οποία έχουμε στερεώσει σε ακλόνητο σημείο. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχαλίας. Το τμήμα του νήματος που συνδέει τον κύλινδρο με την τροχαλία έχει διεύθυνση παράλληλη με τη σανίδα. Αρχικά ασκούμε δύναμη F στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου με διεύθυνση παράλληλη προς την διεύθυνση ΑΒ, ώστε το σύστημα κύλινδρος-τροχαλία-σώμα να ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη και το σώμα Σ αρχίζει να κατέρχεται κατακόρυφα, ενώ ο κύλινδρος αρχίζει να ανέρχεται στη σανίδα εκτελώντας κύλιση χωρίς ολίσθηση και το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Τη χρονική στιγμή t₁ κόβουμε ακαριαία το νήμα στο σημείο που εφάπτεται με τον κύλινδρο και στο σημείο πρόσδεσης με το σώμα Σ. Μετά το κόψιμο του νήματος, αυτό δεν εμποδίζει την κίνηση του κυλίνδρου και του σώματος. Ο κύλινδρος συνεχίζει την κίνησή του εκτελώντας κύλιση χωρίς ολίσθηση, μέχρι να σταματήσει. O λόγος s₁/s₂ (όπου s₁ το διάστημα που διανύει ο κύλινδρος επιταχυνόμενος και s₂ το διάστημα που διανύει ο κύλινδρος επιβραδυνόμενος μέχρι να σταματήσει) είναι: 

  α. 5/3 (προφανώς αυτό)                      β. 1                              γ. 5/8 

 Δίνονται οι γνωστές ροπές αδράνειας. 

 Το θέμα σε word.

Δύο ράβδοι για μία ταλάντωση.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k, με το πάνω άκρο του δεμένο στο ταβάνι και το κάτω άκρο του δεμένο στο σφαιρίδιο μάζας m. Το σφαιρίδιο μέσω νήματος συνδέεται με το άκρο συστήματος δύο ράβδων (μάζας Μ η καθεμία) όπου έχουν συγκολληθεί στα άλλα άκρα τους έτσι ώστε η κυρτή γωνία να είναι 120^ο. Στο σχήμα 1, όπως φαίνεται το σύστημα των ράβδων συνδέεται στο άκρο Α με το νήμα, ενώ στο σχήμα 2 συνδέεται στο άκρο Γ. Αν κόψουμε το νήμα στο σχήμα 1, το σφαιρίδιο εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α₁ ενώ αν κάνουμε το ίδιο στο σχήμα 2, το σφαιρίδιο εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α₂. Για τα δύο πλάτη των ταλαντώσεων ισχύει η σχέση:

α. Α₁ = 2Α₂                                         β. Α₁ = Α₂                                           γ. Α₂ = 2Α₁

Η συνέχεια εδώ.

Διαγώνισμα κρούσεις 2018

ΘΕΜΑ Δ

Στο άκρο του οριζοντίου νήματος με όριο θραύσης Τ_θρ και μήκος  L = 2,2 m, δένουμε σώμα Σ₁, μάζας m₁ = 2 kg, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πάνω στο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται δύο σώματα: το ακίνητο σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 1 kg και το σώμα Σ₃, μάζας m₃ = 3 kg, το οποίο εφάπτεται σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 3075 N/m. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά Δℓ = 0,4 m από το φυσικό του μήκος, κρατώντας το σώμα Σ₃ σε επαφή με αυτό. Στη θέση αυτή  το σώμα  Σ₃ απέχει d = 2 m  από το Σ₂. Ο συντελεστής τριβής του οριζοντίου επιπέδου και του σώματος Σ₃ είναι μ = 0,5. Ελευθερώνουμε το σώμα Σ₃. Την κατάλληλη στιγμή, εκσφενδονίζουμε το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ_ο = 10 m/s, έτσι ώστε τα σώματα Σ₁ και Σ₃ να συγκρουσθούν ταυτόχρονα το σώμα Σ₂. Οι κρούσεις είναι πλαστικές. H τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση φτάνει οριακά στο όριο θραύσης του, το νήμα κόβεται και το συσσωμάτωμα εκτελεί οριζόντια βολή από το ύψος h του οριζόντιου επιπέδου και φτάνει στο έδαφος σε χρονικό διάστημα  2 s μετά την κρούση. Να υπολογίσετε:

Δ1. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν τη σύγκρουση των τριών σωμάτων.

Δ2. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ₃ ελάχιστα πριν τη σύγκρουση των τριών σωμάτων.

Δ3. το όριο θραύσης Τ_θρ του νήματος.

Δ4. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος όταν απέχει κατακόρυφα 15 m από το σημείο που συναντά το έδαφος.

Δίνεται το g = 10 m/s².

Τα θεματα και οι λύσεις.

Μανώλης από τα παλιά.

Στην διάταξη που φαίνεται στο σχήμα η πλατφόρμα Σ₁, μήκους d και μάζας m₁ = 1 kgσυνδέεται μέσω του ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 144 N/m με το σταθερό σημείο Α. Πάνω στην πλατφόρμα και σε απλή επαφή – δεν είναι κολλημένο – με το αριστερό της άκρο βρίσκεται το κυβικού σχήματος σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 0,44 kg. Το ελατήριο, αρχικά, έχει το φυσικό του μήκος και το σύστημα ισορροπεί.  Από την αρχική θέση ισορροπίας φέρουμε το σύστημα στη θέση όπου το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά Α₀ = 0,36 m με το σώμα πάνω στην πλατφόρμα να παραμένει σε επαφή με το δεξιό τελείωμα αυτής και συγκρατούμε το σύστημα εκεί. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 «ελευθερώνουμε» το σύστημα. Τριβές δεν υπάρχουν.

α. Σε ποια θέση και ποια χρονική στιγμή το σώμα θα χάσει την επαφή του με το αριστερό άκρο της πλατφόρμας;

β. Γιατί το σώμα θα συγκρουστεί με το δεξί άκρο της πλατφόρμας;

γ. Έχουμε προβλέψει ώστε οι εσωτερικές διαστάσεις της πλατφόρμας καθώς και οι διαστάσεις του σώματος επ’ αυτής να είναι κατάλληλες, ώστε η σύγκρουση που προαναφέραμε να λαμβάνει χώρα, όταν η ταχύτητα της πλατφόρμας μηδενίζεται για πρώτη φορά. Προσδιορίστε το εσωτερικό μήκος d της πλατφόρμας και τη χρονική στιγμή της σύγκρουσης αυτής.

δ. Στο εσωτερικό του δεξιού τελειώματος της πλατφόρμας έχει απλωθεί ισχυρότατη κόλλα στιγμιαίας δράσης ώστε η κρούση του σώματος με το τελείωμα αυτό να είναι πλαστική. Θεωρώντας τη διάρκεια της κρούσης αμελητέα υπολογίστε την ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την κρούση καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης, του συστήματος, που θα επακολουθήσει μετά την κρούση.

Για την απάντηση να λάβετε υπόψη σας το δοσμένο άξονα και να θεωρήσετε ως σημεία για τον προσδιορισμό των θέσεων το εσωτερικό αριστερό άκρο της πλατφόρμας και την αριστερή έδρα του κυβικού σώματος. Οι διαστάσεις του κύβου θεωρούνται αμελητέες.
   

Στον τοίχο ή στο σχοινί;

Δύο ράβδοι, η ΑΒ με μήκος ℓ και μάζα m₁ = 3√3  kg και η ΒΓ με μήκος 2ℓ και μάζα m₂, είναι συγκολλημένες σε ορθή γωνία στο σημείο Β και μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρ­χεται από το σημείο Β και είναι κάθετος στις ράβδους. Το σημείο Α ακουμπά σε λείο τοίχο, έτσι ώστε η ράβδος ΑΒ να σχηματίζει γωνία 30^ο με την κατακόρυφο που περνά από το Β. Στη θέση αυτή η ράβδος ασκεί δύναμη F₁ = 5 N στον τοίχο.

α. Να βρεθεί η μάζα της ράβδου ΒΓ

β. Αν δεν υπήρχε ο τοίχος, ποιο βάρος θα έπρεπε να κρεμάσουμε μέσω νήματος στο σημείο Α ώστε το σύστημα των δύο ράβδων να ισορροπεί στην ίδια θέση;

γ. Αν δεν υπάρχει ούτε ο τοίχος αλλά ούτε και το σχοινί, ποια είναι η ελάχιστη δύναμη, σε ποιο σημείο πρέπει να την ασκούμε και με τι κατεύθυνση, ώστε το σύστημα να ισορροπεί στη θέση όπου η ράβδος ΑΒ σχηματίζει γωνία φ = 30° με την κατακόρυφη;

δ. Τι τιμή πρέπει να έχει η εφθ (θ η γωνία της ράβδου ΑΒ με την κατακόρυφο που περνά από το Β) ώστε το σύστημα των δύο ράβδων να ισορροπεί μόνο με την επίδραση των βαρών και της άρθρωσης;

Δίνεται g = 10 m/s².

   

Η τριβή κρατά τη ράβδο.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μία ράβδο μήκους ℓ = 2 m και μάζας m = 0,48 kg που ισορροπεί με την βοήθεια νήματος το άλλο άκρο του οποίου, καταλήγει μέσω μικρής τροχαλίας ακτίνας R, στο σώμα Σ₁. Το σώμα Σ₁ έχει μάζα m₁ = 2 kg και μόλις που δεν ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο στη θέση αυτή. Το νήμα είναι δεμένο στη ράβδο στο σημείο Δ που απέχει απόσταση d₁ = (ΑΓ) = 0,6 m και σχηματίζει με την ράβδο γωνία έτσι ώστε ημφ = 0,8 και συνφ = 0,6. Να υπολογίσετε:

α. το συντελεστή τριβής μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σώματος Σ₁

β. τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση

Στη συνέχεια μετακινούμε το σώμα Σ₁ πάνω στο οριζόντιο δάπεδο έτσι ώστε η ράβδος τώρα να ισορροπεί σε μία νέα θέση την οποία το νήμα είναι κάθετο στο σημείο Γ.

γ. για την παραπάνω θέση ισορροπίας της ράβδου να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σώμα Σ₁ στο δάπεδο.

Δίνεται g = 10 m/s².