Φαινόμενο Doppler και μεταβολή τη στροφορμής

Mια μοτοσυκλέτα έχει συνολική μάζα Μ=300kg μαζί με τον αναβάτη της και αρχικά κινείται ευθύγραμμα, ομαλά σε οριζόντιο δρόμο, με ταχύτητα υ₁. Κάποια στιγμή ο αναβάτης αντιλαμβάνεται ότι ένα αυτοκίνητο προπορεύεται, κινούμενο στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό της ταχύτητας της μοτοσυκλέτας. Για να προσπεράσει το αυτοκίνητο ο αναβάτης κορνάρει προειδοποιητικά, πατώντας την κόρνα του για χρονικό διάστημα Δt=4s. Τη στιγμή που προσπερνά το αυτοκίνητο, κάνει ένα ελιγμό, «πλαγιάζοντας» τη μοτοσυκλέτα κατά γωνία φ=30^ο ως προς την κατακόρυφη, χωρίς να μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας με την οποία κινείται η μοτοσυκλέτα. Να βρεθούν:

α)  Η ταχύτητα της μοτοσυκλέτας αν ο οδηγός του αυτοκινήτου ακούει τον ήχο της κόρνας με συχνότητα κατά 5% μεγαλύτερη της πραγματικής.

β)  Η διάρκεια του κορναρίσματος όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου.

γ)  Το μέτρο της ροπής που άσκησε ο αναβάτης σε κάθε τροχό της μοτοσυκλέτας κατά το ΄΄πλάγιασμα΄΄ , αν αυτό διήρκεσε χρόνο dt=0,2s και η ροπή αυτή θεωρηθεί κατά μέσο όρο σταθερή. Θεωρείστε ότι κάθε τροχός με ακτίνα R=0,3m και ροπή αδράνειας Ι=5kgm² ως προς τον άξονα περιστροφής του εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση.

       Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα: u_ηχ=340m/s

 Λύση:

Μια τροχαλία σε ισορροπία, αλλά και περιστροφή ράβδου

Δίνεται η διάταξη του παρακάτω σχήματος:

H ράβδος ΑΒ, μάζας Μ=2kg και μήκους L=1m ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια της άρθρωσης Α και του κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100N/m. Στο άνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο μικρό σώμα, μάζας m=1kg, το οποίο με τη σειρά του είναι δεμένο στο ένα άκρο αβαρούς και μη ελαστικού νήματος, το οποίο διέρχεται από το αυλάκι του δίσκου της σταθερής τροχαλίας, ακτίνας R. Στο άλλο άκρο του νήματος ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F. 

Να βρεθούν:

α) Η δύναμη F και η παραμόρφωση του ελατηρίου.

β) Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται ελάχιστα πιο πάνω από το άκρο Β της ράβδου, έτσι ώστε το ελατήριο να μη συνδέεται πλέον με τη ράβδο. Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει γωνία φ=30^ο με την κατακόρυφη και πόση είναι η δύναμη από την άρθρωση τη στιγμή εκείνη;

γ) Ο ρυθμός αύξησης της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει γωνία φ’=60^ο με την κατακόρυφη.

       Δίνονται: g=10m/s² και για τη ράβδο I_cm=ML²/12.

 Λύση:

Ισορροπία αλλά και κύλιση ενός τροχού.

Τροχός μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=20cm ισορροπεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, σε επαφή με το κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας φ=30^ο:

Nα βρείτε:

 α) Τη στατική τριβή τροχού - δαπέδου κατά την ισορροπία αυτή και την τάση του νήματος.

 β) Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και ο τροχός αρχίζει να κινείται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Θεωρώντας ότι η μέγιστη τιμή στατικής τριβής ( οριακή τριβή ) είναι διπλάσια απ΄αυτή που βρήκατε στο ερώτημα α) να περιγράψετε αναλυτικά αν τροχός θα εκτελέσει κύλιση με ή χωρίς ολίσθηση.

 γ) Αν το ύψος της αρχικής θέσης του τροχού από το οριζόντιο δάπεδο είναι Η=4,8m, να βρείτε την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης που θα έχει ο τροχός τη στιγμή που θα φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Παράχθηκε θερμότητα κατά την κίνησή του μέχρι τη θέση αυτή;

      Δίνονται: I=MR²/2 και g=10m/s².

Λύση:

Ταλάντωση- Κρούση και ισορροπία στερεού.

Δίνεται η διάταξη του παρακάτω σχήματος:

Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μήκος L=2m και μάζα Μ=4kg και ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια άρθρωσης στο ένα άκρο Α και του αβαρούς και μη ελαστικού κατακόρυφου νήματος στο άλλο άκρο της Β. Πάνω, στη ράβδο ισορροπεί το σώμα Σ₁, μάζας m=1kg, δεμένο στο άκρο του οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς k=100N/m. Το ελατήριο βρίσκεται αρχικά στο φυσικό του μήκος L_o=L/4=0,5m. Τη στιγμή t=0 το σώμα Σ₂, μάζας m/2, εκτοξεύεται από το μέσο Μ της ράβδου, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ_ο=10m/s, κατευθυνόμενο προς το σώμα Σ₁, με το οποίο συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά. Το σώμα Σ₂ δέχεται από τη ράβδο τριβή ολίσθησης με συντελεστή μ=0,2 ενώ το σώμα Σ₁ μπορεί να κινείται πάνω στη ράβδο χωρίς τριβές. Να βρεθούν:

α) Η τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα από τη στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή της κρούσης και η αντίστοιχη γραφική παράσταση.

β) Η ολική ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα Σ₁ μετά την κρούση.

γ) Η απόσταση των δύο σωμάτων τη στιγμή που το σώμα Σ₁ μεγιστοποιεί για 1^η φορά μετά την κρούση το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητάς του.

          Δίνεται: g=10m/s².

Απάντηση

Μέγιστη ταχύτητα, κρούση και μια ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας m=1kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς k=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Στο σώμα είναι προσαρμοσμένο αβαρές και μη ελαστικό νήμα. Το σώμα αρχικά ηρεμεί, με το ελατήριο στη θέση φυσικού του μήκους και κάποια στιγμή ασκούμε σ΄αυτό μέσω του νήματος, σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=10N, κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με φορά τέτοια ώστε να αυτό να επιμηκυνθεί. Τη στιγμή ( t=0 ) που το σώμα αποκτά τη μέγιστη δυνατή ταχύτητά του, το νήμα κόβεται και ταυτόχρονα το σώμα συγκρούεται πλαστικά με βλήμα ίσης μάζας m το οποίο κινείται στην ίδια διεύθυνση, με αντίθετη φορά. Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α=0,2m. Να βρείτε:

α) Τη θέση όπου συμβαίνει η θραύση του νήματος.

β) Tην ταχύτητα του βλήματος πριν την κρούση.

γ) Tην εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης αν ως θετική θεωρηθεί η φορά της δύναμης F.

δ) Τη γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο ( μετά τη στιγμή της κρούσης ).

Απάντηση:

Συμβολή δύο κυμάτων και στάσιμο κύμα

Στο παρακάτω σχήμα παριστάνεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος που έχει δημιουργηθεί κατά μήκος ομογενούς, ελαστικής χορδής απείρου μήκους, x’Ox:

Γνωρίζουμε ότι το στάσιμο κύμα δημιουργήθηκε από τη συμβολή δύο γραμμικών, αρμονικών κυμάτων, ίδιου πλάτους και συχνότητας, που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις πάνω στον άξονα x’Ox. Αν η συμβολή των δύο κυμάτων ξεκίνησε τη στιγμή t=0, κατά την οποία τα δύο κύματα ΄΄έφτασαν΄΄ ταυτόχρονα στην αρχή x=O του άξονα x’Ox, και το παραπάνω στιγμιότυπο αναφέρεται στη χρονική στιγμή t₁=3s, να βρεθούν:

        α) Η εξίσωση του στάσιμου κύματος καθώς και των κυμάτων που το δημιούργησαν, αν είναι γνωστό ότι αυτά δεν είχαν αρχική φάση.

        β) Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου, μάζας m=2g, στη θέση x=8cm, τις χρονικές στιγμές t₁=3s και t₂=6s.

        γ) Η διαφορά φάσης δύο σημείων A και Β στις θέσεις x_Α=-11cm και x_B=-8cm τις χρονικές στιγμές του ερωτήματος β).

Απάντηση:

Ηλεκτρική ταλάντωση και ρυθμοί μεταβολής

Δίνεται το ηλεκτρικό κύκλωμα του παρακάτω σχήματος:

   Η πηγή έχει ΗΕΔ Ε=60V και άγνωστη εσωτερική αντίσταση r, οι αντιστάσεις έχουν τιμές R₁=8Ω και R₂=10Ω ενώ ο λαμπτήρας Λ έχει ενδείξεις κανονικής λειτουργίας ΄΄40V-40W΄΄. Το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,01H και αμελητέα εσωτερική αντίσταση και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=10mF. Αρχικά ο διακόπτης Δ₁ είναι ανοιχτός και οι διακόπτες Δ₂ και Δ₃ είναι κλειστοί και ο λαμπτήρας λειτουργεί κανονικά. Τη στιγμή t=0 κλείνουμε το διακότπη Δ₁ και ταυτόχρονα ανοίγουμε τον Δ₃. Να βρεθούν:

        α) Το αρχικό φορτίο του πυκνωτή πριν το άνοιγμα του διακόπτη Δ₃ και η εσωτερική αντίσταση της πηγής.

        β) Οι εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που θα διαρρέει το πηνίο, σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη στιγμή t=0 και μετά.

        γ) Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο τη χρονική στιγμή t₁, αν στο χρονικό διάστημα από t=0 μέχρι t=t₁ στην αντίσταση R₁ έχει αναπτυχθεί θερμική ενέργεια ίση με 60π mJ.

        δ) Η γραφική παράσταση της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.

        ε) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, κάποια στιγμή που η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή έχει τιμή ίση με το μισό της μέγιστης δυνατής.

Απάντηση:

Θα χαθεί η επαφή του σώματος με το έδαφος;

Κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k=200N/m, έχει στο κάτω άκρο του στερεωμένο σώμα μάζας M=5kg και στο άνω άκρο του ισορροπεί επίσης στερεωμένο, άλλο σώμα μάζας m=3kg. To σώμα μάζας Μ είναι τοποθετημένο σε οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 

Κάποια στιγμή, το σώμα μάζας m, εκρήγνυται και διασπάται σε δύο τμήματα Α και Β, με μάζες m_A=2m_B. Tο τμήμα Α, αμέσως μετά τη διάσπαση, παραμένει δεμένο στο ελατήριο, και κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω, συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά 10cm επιπλέον της αρχικής του συσπείρωσης. Να βρείτε:
         α) Αν το σώμα μάζας Μ θα χάσει την επαφή του με το δάπεδο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του τμήματος Α.

        β) Το μέγιστο ύψος πάνω από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος μάζας m, στο οποίο θα φτάσει το τμήμα Β.

        γ) Τη γραφική παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, της δύναμης επαφής που δέχεται από το οριζόντιο δάπεδο, το σώμα μάζας Μ. Θεωρείστε ως χρονική στιγμή t=0 αυτή κατά την οποία το τμήμα Α μηδενίζει για 1^η φορά την ταχύτητά του.

          Δίνεται: g=10m/s² και θετική φορά η προς τα επάνω.

Απάντηση: