Κάτι σαν φύλλο εργασίας

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά α. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου κάποια στιγμή τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά.

Αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω διάγραμμα x=f(t), να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

i) Να εξηγήσετε γιατί έχουμε κρούση των δύο σωμάτων τη στιγμή t₁. Σε ποια θέση έγινε η κρούση αυτή; 

ii) Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική. 

iii) Πόσες κρούσεις μεταξύ των δύο σωμάτων έχουμε, μέχρι τη στιγμή 4t₁;

Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

iv) Σε τι ποσοστό αυξήθηκε η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁, λόγω της πρώτης κρούσης; 

v) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ το οποίο μεταφέρεται στο Σ₁, κατά την κρούση αυτή. 

vi) Να υπολογιστεί συναρτήσει της σταθεράς του ελατηρίου k και της αρχικής του συσπείρωσης  α, η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂, τις χρονικές στιγμές t=0 και t΄=4t₁. 

vii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₂ έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα Σ₁. 

viii) Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα, ελάχιστα πριν την πρώτη κρούση;

Απάντηση:

ή

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Η ταλάντωση ενός συστήματος

 Στην προηγούμενη ανάρτηση «Μια κρούση και δυο «κρούσεις» …» υπήρχε ένα ερώτημα για καθηγητές.

Ώρα να απαντηθεί σε μια ανεξάρτητη εκδοχή …

Η Άσκηση:

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=0,6m. Σε μια στιγμή t=0, λόγω κρούσης το σώμα Α αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=1,8m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β.

i) Να μελετηθεί η κίνηση του συστήματος.

ii) Να βρεθούν οι  συναρτήσεις υ=f(t) για τις ταχύτητες των δύο σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις.

iii) Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος Α, τη χρονική στιγμή t1=61π/36 s.

Απάντηση:

ή

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

 

Η διαφορική εξίσωση στο κύκλωμα LC, όπως αυτό της ανάρτησης «Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή», είναι:

Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:

Η εξίσωση αυτή είναι 2ης  τάξης, μη ομογενής, αφού έχει μη μηδενικό 2ο μέλος.

Λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή…

Διαβάστε τη συνέχεια:

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Ενέργειες ελατηρίου και ταλάντωσης

 

Ένα σώμα βάρους w ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και ενός κατακόρυφου νήματος, η τάση του οποίου είναι Τ=2w.  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί μια αατ.

i) Η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος είναι ίση:

α) w²/k,                        β) 2 w²/k,         γ) 3 w²/k,           δ) άλλη τιμή.

ii) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση:

α) 2 w²/k,         β) 4 w²/k,         γ) 6 w²/k,         δ) άλλη τιμή.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ενέργειες ελατηρίου και ταλάντωσης

Ενέργειες ελατηρίου και ταλάντωσης

Ταλάντωση και κρούση

Ένα σώμα Σ μάζας m, ταλαντώνεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, με πλάτος Α. Κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κινείται ένα δεύτερο σώμα Β, της ίδιας μάζας m με ταχύτητα υ₂, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t₁ τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται στο διάγραμμα.

i)  Αν υ₀ το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος Σ, για την ταλάντωσή του πριν την κρούση και υ₂ το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Β, ισχύει:

α) υ₂ < υ₀,    β)  υ₂ = υ₀,    γ) υ₂ > υ₀.

ii) Αν τα δυο σώματα δεν είχαν ίσες μάζες, αλλά το Σ είχε τριπλάσια μάζα από το σώμα Β, ενώ είχαν πριν την κρούση τις ταχύτητες του προηγούμενου ερωτήματος, να χαράξετε ένα ποιοτικό διάγραμμα, αντίστοιχο με το παραπάνω, για την απομάκρυνση του σώματος Σ σε  συνάρτηση με το χρόνο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ταλάντωση και κρούση

Ταλάντωση και κρούση

Μετά την πλάγια κρούση μια αατ

  

Ένας δίσκος, μάζας m,  ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου. Μια  λεία σφαίρα, της ίδιας μάζας, εκτοξεύεται οριζόντια από ένα σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h, πάνω από το δίσκο, οπότε μετά από λίγο συγκρούεται ελαστικά με το δίσκο. Μετά την κρούση βλέπουμε το δίσκο να εκτελεί μια κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση.

i) Τι κίνηση θα εκτελέσει η σφαίρα μετά την κρούση με το δίσκο;

ii) Η ενέργεια ταλάντωσης του δίσκου, μετά την κρούση είναι ίση:

α) Ε < mgh,        β) Ε = mgh,                 γ) Ε > mgh.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μετά την πλάγια κρούση μια αατ

Μετά την πλάγια κρούση μια αατ

Δύο επίπεδα και μια κρούση στο σύνορο

   

Ένα σώμα Σ₁ μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, απέχοντας απόσταση d₁=0,4m, από το σημείο Ε, πέρα από το οποίο το ίδιο επίπεδο γίνεται μη λείο. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂, μάζας 0,5kg ηρεμεί σε απόσταση d=1m από το σημείο Ε, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε το Σ₁ προς τα δεξιά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δl=0,5m, ενώ εκτοξεύουμε το σώμα Σ₂ με αρχική ταχύτητα υ_ο=3,5m/s, της το σώμα Σ₁ και στη συνέχεια αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ₁ να κινηθεί.  Τα δυο σώματα κινούμενα αντίθετα, στην ίδια διεύθυνση, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά στο σημείο Ε, τη χρονική στιγμή t₀=0. Μετά την κρούση, το σώμα Σ₁ εκτελεί μια αμείωτη ελεύθερη αρμονική ταλάντωση, μια αατ.

i)  Να βρεθούν οι ταχύτητες του σώματος Σ₁, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.

ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση, θεωρώντας θετική την της τα αριστερά κατεύθυνση (στο σχήμα).

iii) Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ₂ και του επιπέδου.

iv) Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₁=0,3π s.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Δύο επίπεδα και μια κρούση στο σύνορο

Δύο επίπεδα και μια κρούση στο σύνορο

Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, εκτελώντας ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(6t)  (μονάδες στο S.Ι.), σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από τη θέση Ο, θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.

 Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης F, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, παίρνουμε την εξίσωση x=0,2∙ημ(5t)  (S.Ι.), για την απομάκρυνση του σώματος.

Για μια θέση με απομάκρυνση x, όπου το σώμα κινείται προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα:

i) Αν υ₁ η ταχύτητα στην περίπτωση της ΑΑΤ και υ₂ η ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β) υ₁ = υ₂,     γ) υ₁ > υ₂.

ii)  Αν α₁ και α₂ τα μέτρα των αντίστοιχων επιταχύνσεων, τότε:

α) α₁ < α₂,    β) α₁ = α₂,     γ) α₁ > α₂.

iii) Σε ποια περίπτωση η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη; Στην ΑΑΤ ή στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, για την ίδια απομάκρυνση x;

Αν dU1/dt =λ και dU2/dt=μ οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας, ισχύει:

α) λ < μ,    β) λ = μ,     γ) λ > μ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί αατ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Παίρνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι x=0,5ημ(10t)  μονάδες στο S.I. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα περνά από μια θέση Γ με απομάκρυνση x₁=0,3m, κινούμενο προς τα δεξιά (με θετική ταχύτητα), όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, καθώς και η επιτάχυνσή του στη θέση Γ.

ii) Να υπολογιστούν η κινητική και δυναμική ενέργεια ταλάντωσης στην παραπάνω θέση.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (dK/dt, dU/dt) στην θέση Γ.

iv) Αν στο σώμα αυτό, ασκείτο και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ =-2υ  (S.I.) και δίναμε αρχικά κάποια ενέργεια στο σώμα για να ταλαντωθεί, αφού υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση Γ, να απαντηθούν τα αντίστοιχα ερωτήματα ii) και iii), αν δίνεται  ότι στη θέση x₁=0,3m το  σώμα κινείται επίσης προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u₁=2m/s;

Απάντηση:

ή

 Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

  

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στη θέση Γ, δεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ενώ ταυτόχρονα είναι δεμένο στο άκρο ενός νήματος, μήκους l₁=0,4m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί μια κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, γύρω από μια θέση ισορροπίας Ο, όπου θεωρώντας την θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η απομάκρυνση έχει εξίσωση:

i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη (κατά μέτρο) ταχύτητα και η μέγιστη (κατά μέτρο) επιτάχυνση, που αποκτά το  σώμα Σ, κατά την ταλάντωσή του.

ii)  Να αποδείξετε ότι το ελατήριο στην αρχική θέση Γ, είχε συσπειρωθεί.

iii) Αν το σώμα Σ έχει μάζα m=1kg να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος, πριν αυτό κοπεί.

iv) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια:

α) της ταλάντωσης  και  β) του ελατηρίου.

Σε ποιες θέσεις οι παραπάνω ενέργειες παίρνουν τις τιμές αυτές;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση του μήκους του ελατηρίου, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Ενισχύοντας μια ταλάντωση

 

Ένα  σώμα Σ μάζας 2kg ταλαντώνεται με πλάτος Α1=0,2m, στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου  σταθεράς k=200N/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί  σε σταθερό σημείο Γ, γύρω από μια θέση ισοροοπίας Ο, όπως στο σχήμα. 

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, καθώς η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. 

Σε μια στιγμή που το σώμα περνά από το Ο, με κατεύθυνση προς τα κάτω (την θετική κατεύθυνση), ασκούμε στο σώμα μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, μέχρι να διανύσει απόσταση Δy=0,2m. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα στη συνέχεια, να εκτελέσει μια νέα αατ με πλάτος Α2=0,4m.  

ii) Αφού αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης F είναι ίσο με την μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος, να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης.  

iii) Πόσο % μετέβαλλε την ενέργεια ταλάντωσης και πόσο % την περίοδο ταλάντωσης του σώματος Σ, η δράση της δύναμης F; 

iii) Ποια η ισχύς της  δύναμης F, στις θέσεις y0 =0 και y1=0,2m; 

Απάντηση:

ή

 Ενισχύοντας μια ταλάντωση

 Ενισχύοντας μια ταλάντωση