ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους l₀=0,9m και σταθεράς σκληρότητας K, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή.  Δεύτερο σώμα  Σ₂ μάζας m₂=3kg είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους L με το σώμα Σ₁. Το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο να έχει μήκος l=1,3 m και το σώμα Σ₂ να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπεδο. 

A. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε με κατάλληλη αρχική ταχύτητα το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε το νήμα να παραμένει οριακά τεντωμένο και να μην χαλαρώνει κατά την κίνηση του 

συστήματος των δύο σωμάτων. 

 A1 .  Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της φάσης της ταλάντωσης.  Να θεωρήσετε ως θετική για την ταλάντωση τη φορά της συσπείρωσης του ελατηρίου και ως θέση ισορροπίας της ταλάντωσης των δύο σωμάτων η θέση του σώματος Σ₁ .

 A2 . Να υπολογίσετε την κατάλληλη αρχική ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος Σ₁ καθώς και τη μέση δύναμη που ώθησε το σώμα αν αυτή ασκήθηκε για αμελητέο χρονικό διάστημα Δt=5⋅10^-2 sec (λάκτισμα) ώστε η ταλάντωση να ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της.

 B. Αν το νήμα φθείρεται κατά τη διάρκεια του λακτίσματος σε μεγάλο ποσοστό και σπάει όταν η τάση του νήματος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για πρώτη φορά στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος : 

 B1 . Να υπολογίσετε το όριο θραύσης του νήματος και τη χρονική στιγμή της θραύσης στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. 

Αν για την νέα απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος Σ₁ η χρονική στιγμή της θραύσης του νήματος είναι η στιγμή t'=0 τότε :

  B2 . Να υπολογίσετε το μήκος L του νήματος και το ύψος H οροφής – δαπέδου, αν τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₁ μηδενίζεται για τρίτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του, το σώμα Σ₂ μόλις φθάνει στο δάπεδο και τα σώματα Σ₁ και Σ₂ απέχουν τότε απόσταση d=2m.

Δίνεται : η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και ότι π²=10 

 Λύση σε pdf

Χρόνος κίνησης ράβδου και περίοδος μοτίβο Τmtv (Π.Δ.,Ε.Ε.Φ.2016)

Ομογενής ράβδος μάζας M = 3kg και μήκους L=1,6 m συγκρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από την άρθρωση (Ο) χωρίς τριβές. Η ράβδος αφήνεται τη χρονική στιγμή t=0 ελεύθερη και όταν φτάνει στην κατακόρυφη θέση, το κατώτερο άκρο της Α συγκρούεται ελαστικά με το σώμα (Σ₁) μάζας m₁=1kg ,το οποίο είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Κατά μήκος του λείου οριζοντίου επιπέδου υπάρχει δεύτερο σώμα (Σ₂) μάζας m₂=1kg  το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση (Α.Α.Τ.), και τη χρονική στιγμή t=0 που αφέθηκε η ράβδος απέχει απόσταση d=(π√3+2)/5 m από το σώμα (Σ₁). Το σώμα (Σ₂) είναι δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο, όπως στο σχήμα. Ο άξονας του ελατηρίου είναι στη διεύθυνση κίνησης του σώματος (Σ₁). Τα δύο σώματα (Σ₁) και (Σ₂) συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t=π/4 s για πρώτη φορά.

 Η ολική ενέργεια ταλάντωσης του σώματος (Σ₂) πριν την κρούση είναι E_ολ,2=8J. Την στιγμή της κρούσης για την απομάκρυνση x του σώματος (Σ₂) ισχύει ότι είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Δίνεται ότι στη θέση x η ολική ενέργεια της Α.Α.Τ. που εκτελεί το σώμα (Σ₂), μετά τη κρούση με το σώμα (Σ₁), έχει τη μέγιστη δυνατή τιμή.

 Να υπολογίσετε:

 Δ1. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση όταν η ράβδος έχει αποκτήσει μέγιστη γωνιακή ταχύτητα πριν την κρούση με το σώμα (Σ₁).

Δ2. Τη θέση που έγινε η ελαστική κρούση μεταξύ των σωμάτων (Σ₁) και (Σ₂), και τη θέση που βρισκόταν το σώμα (Σ₂) τη χρονική στιγμή t=0.

Δ3. Τη χρονική στιγμή της πρώτης σύγκρουσης της ράβδου με το σώμα (Σ₁).

Δ4. Την περίοδο του μοτίβο, δηλαδή το χρονικό διάστημα της επανάληψης του φαινομένου των κινήσεων και των κρούσεων με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μεταξύ της ράβδου και των σωμάτων (Σ₁) , (Σ₂).

Δ5. Ποια είναι η δυναμική ενέργεια που θα αποκτήσει η ράβδος μετά τη δωδέκατη κρούση των σωμάτων (Σ₁),(Σ₂) και ράβδου και όταν το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ράβδου γίνεται μέγιστο; Ποια χρονική στιγμή συμβαίνει αυτό και ποιο διάστημα έχει διανύσει έως τότε το σώμα (Σ₂);

Θεωρήστε επίπεδο αναφοράς (Σ₁) , (Σ₂) και ράβδου το οριζόντιο επίπεδο της ταλάντωσης.

 Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της

 I_cm=1/12 Μ∙L² , η επιτάχυνση της βαρύτητας  g=10m/s²  και ημπ/6=ημ5π/6=1/2

Οι διαστάσεις των σωμάτων (Σ₁) και (Σ₂ ) θεωρούνται αμελητέες.

Οι χρονική διάρκεια των κρούσεων θεωρείται αμελητέα.

Λύση σε pdf:  Λύση

                                        

                                               Εκφώνηση άσκησης σε pdf