Καμπυλόγραμμη και όχι κυκλική κίνηση

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1,5m, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ_ο=3m/s. Η παραπάνω περιστροφή επιτυγχάνεται, αφού το νήμα περνά από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F_ο =22,5Ν, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F, (καθιστώντας την μεταβλητή), οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος έχει κατέβει κατά h=0,2m έχοντας ταχύτητα υ_Α=0,1m/s, ενώ η δύναμη έχει μέτρο F₁=60Ν.

i)  Ποιο το αρχικό μήκος του κατακόρυφου τμήματος (ΟΑ) του νήματος;

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το σημείο Ο, την στιγμή t₁.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν ακόμη:

α) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

β) Η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.

Δίνεται ότι η στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο κινείται με ταχύτητα υ στο επίπεδο της σελίδας, ως προς ένα σημείο Ο του επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα και έχει μέτρο L=mυ₁r, όπου υ₁ η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r.

Απάντηση:

ή

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 

Δυο  μικρές σφαίρες Α και Β, αμελητέων διαστάσεων, είναι δεμένες στα κάτω άκρα δύο αβαρών και μη εκτατών νημάτων, με το ίδιο μήκος l=2m,  τα άλλα άκρα των οποίων έχουν δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α κατά γωνία θ (όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6) και την σφαίρα Β στην αντίθετη πλευρά, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα Β και μετά από λίγο και την σφαίρα Α. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται στην θέση Κ, όπου τα νήματα γίνονται κατακόρυφα. Η Α σφαίρα έχει μάζα 0,4kg και μετά την κρούση κινείται προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το νήμα εκτρέπεται κατά μια μέγιστη γωνία φ, όπου συνφ=0,75. Ζητούνται:

i)  Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί, ως προς το σημείο Ο.

ii)  Η στροφορμή της σφαίρας Α και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Ο, ελάχιστα πριν την κρούση των δύο σφαιρών.

iii) Το μέγιστο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το Ο, μετά την κρούση.

iv) Η μεταβολή της στροφορμής ως προς το Ο της σφαίρας Β, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s²

Απάντηση:

ή

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα