Τροχαλία και ράβδος

Θέμα 4ο

Τροχαλία Τ συνολικής μάζας Μ=10Kg αποτελείται από ομογενείς ομόκεντρους δίσκους με ακτίνες r=1m και R=2r. Ο άξονας της τροχαλίας είναι ακλόνητος. Σώμα Σ₁ μάζας m₁=5Kg κρέμεται από νήμα τυλιγμένο στο μικρό δίσκο. Λεπτή ράβδος ΑΓ μήκους L και μάζας m₂ είναι τοποθετημένη σε οριζόντια θέση, στη διεύθυνση της διαμέτρου της τροχαλίας με το άκρο της Α να εφάπτεται σε αυτήν. Το άκρο Γ είναι δεμένο σε οροφή μέσω νήματος που σχηματίζει γωνία θ  με τη ράβδο. Το νήμα της τροχαλίας Τ ξετυλίγεται κατακόρυφα και το σώμα Σ₁ κατέρχεται με επιτάχυνση μέτρου a=g/5 ενώ η ράβδος ΑΓ ισορροπεί. Η ροπή αδρανείας της τροχαλίας Τ, ως προς τον άξονά της, είναι Ι=Μr². Δίνεται ημθ=0.6, συνθ=0.8. Να υπολογίσετε

α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης μεταξύ ράβδου ΑΓ και τροχαλίας Τ.

β. το βάρος της ράβδου ΑΓ και το συντελεστή τριβής ολίσθησης στο σημείο Α.

γ. το ρυθμό dQ/dl, όπου Q η εκλυόμενη θερμότητα εξ’ αίτιας της τριβής και l το μήκος του νήματος που ξετυλίγεται.

Η διάταξη βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Τα νήματα είναι αβαρή και μη εκτατά. Το νήμα ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση ενώ η τροχαλία δεν εμφανίζει τριβή με τον άξονά της. Η αντίσταση αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση

Κρούση τριών σωμάτων.

Θέμα 4^ο

Δυο πανομοιότυπα παραλληλεπίπεδα σώματα Α, Β μάζας m ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, τοποθετημένα το ένα επάνω στο άλλο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα τρίτο παραλληλεπίπεδο σώμα Γ έχει μάζα Μ=2Κg και ίδιο ύψος με τα σώματα Α και Β με τα οποία εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ_Α,Γ=0,6.

Α. Έστω ότι σώματα Α και Β είναι κολλημένα μεταξύ τους. Εκτοξεύουμε προς αυτά το σώμα Γ. Ακλουθεί πλαστική κρούση με απώλεια μηχανικής ενέργειας 50%. Να υπολογίσετε τις μάζες των σωμάτων Α και Β.

Β. Έστω ότι σώματα Α και Β απλά εφάπτονται και η τριβή που μπορεί να εμφανιστεί μεταξύ τους θεωρείται αμελητέα. Εκτοξεύουμε προς αυτά το σώμα Γ με ταχύτητα μέτρου u₀=6m/s. Ακλουθεί στιγμιαία πλαστική κρούση. Να υπολογίσετε

Β1. τις ταχύτητες των τριών σωμάτων αμέσως μετά την κρούση καθώς και την κοινή ταχύτητα που αποκτούν τελικά. Το σώμα Γ έχει αρκετά μεγάλο μήκος ώστε το σώμα Α να παραμείνει επάνω του.

Β2. την απόσταση που καλύπτει το σώμα Α επάνω στο σώμα Γ.

Δίνεται g=10m/s³. Τα σώματα κινούνται μεταφορικά στην ίδια διεύθυνση.

Απάντηση:

Φλοιός vs συμπαγές

Θέμα 4^ο

Διαθέτουμε δυο ομογενή στερεά Α και Β κυλινδρικής συμμετρίας με ακτίνα R και μάζα Μ. Τα στερεά Α και Β είναι οπτικά πανομοιότυπα ωστόσο το ένα από αυτά είναι συμπαγές ενώ το άλλο είναι κυλινδρικός φλοιός αποτελούμενος από λεπτούς δίσκους ακτίνας R και λεπτή παράπλευρη επιφάνεια ύψους h=R.  

Α.  Να εξηγήσετε ποιοτικά ποιο από τα δυο στερεά έχει μεγαλύτερη ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα συμμετρίας του.

Β.  Τυλίγουμε και τα δυο στερεά με αβαρή νήματα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα αφήνουμε ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος και κατέρχονται περιστρεφόμενα καθώς το νήμα ξετυλίγεται κατακόρυφα χωρίς να γλιστρά στην επιφάνειά τους. Παρατηρούμε ότι το στερεό Β κατέρχεται με μεγαλύτερη επιτάχυνση. Ποιο από τα δυο στερεά είναι το συμπαγές και ποιο από αυτά είναι ο φλοιός;

Γ. Να δείξετε ότι η ροπή αδρανείας του κυλινδρικού φλοιού ως προς τον άξονά του δίνεται από τη σχέση Ι=3ΜR²/4. Η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ή κυλίνδρου μάζας m και ακτίνας r ως προς τον άξονά του είναι: Ι_cm= ½ mr².

Δ. Έστω ότι τα δυο στερεά τίθενται σε στροφική κίνηση γύρω τον άξονά τους μέσω σταθερής ροπής Τ. Να υπολογίσετε το λόγο L_A / L_B των στροφορμών που αντιστοιχούν στο τέλος της πρώτης περιστροφής κάθε στερεού.

Απαντήσεις  

ΘΕΜΑ 4ο Ένα στερεό και μια ταλάντωση.

Στερεό Ρ μάζας Μ=8Kg αποτελείται από ομόκεντρους ομογενείς δίσκους δ και Δ, με ακτίνες r και R=2r αντίστοιχα, στις περιφέρειες των οποίων έχουν τυλιχθεί πολλές φόρες αβαρή μη εκτατά νήματα. Η ροπή αδρανείας του στέρεου Ρ ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι=Mr².

Υλικό σημείο Σ μάζας m=1Kg είναι κολλημένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m, το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο. Ο άξονας του ελατηρίου διέρχεται από το κέντρο του στερεού Ρ.  Το κατώτατο σημείο Α του στερεού Ρ έχει δεθεί μέσω αβαρούς νήματος με το υλικό σημείο Σ.

Α. Το νήμα του δίσκου δ έχει δεθεί σε οροφή, ενώ αυτό του δίσκου Δ έλκεται από κατακόρυφη δύναμη F ώστε η διάταξη να ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα, με τα νήματα κατακόρυφα και τεντωμένα και το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F.

Β. Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα ΑΣ.

Β1. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ, θεωρώντας την αρχική απομάκρυνση  θετική.

Β2. Να υπολογίστε τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού P. Τα νήματα δε γλιστρούν στις περιφέρειες των δίσκων.

Γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή που κινητική ενέργεια του στερεού Ρ ισούται με την ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ.

Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. 

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

Ένα εργαστήριο βαλλιστικών ερευνών.

29ο Θέμα 4^ο

Ένα εργαστήριο βαλλιστικών ερευνών διαθέτει ελαστικές και μεταλλικές βολίδες (β) μάζας m, καθώς και στόχους (Σ) μάζας M=9m και μήκους d. Οι στόχοι μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Οι μεταλλικές βολίδες σφηνώνονται στους στόχους και για κάθε 1cm εισχώρησης υπολογίζεται μείωση μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά 100J. Οι ελαστικές βολίδες (β) συγκρούονται με αμελητέα απώλεια μηχανικής ενέργειας συστήματος.

Θέτουμε στόχους (Σ) σε μεταφορική κίνηση με κινητική ενέργεια Κ_Σ=100J.

Α. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια που πρέπει να έχει μια ελαστική βολίδα (Σ), κινούμενη οριζόντια όπως στο σχήμα Α, ώστε να ακινητοποιήσει το στόχο.

Β. Να υπολογίσετε την αντίστοιχη κινητική ενέργεια για μια μεταλλική βολίδα (β). Η κρούση είναι πλαστική.

Γ. Αν μια μεταλλική βολίδα (β) εκτοξευτεί με κινητική ενέργεια Κ_β=1600J δημιουργείται συσσωμάτωμα μόλις αυτή φτάσει στην απέναντι έδρα του στόχου (Σ),  όπως στο σχήμα Γ. Να υπολογίσετε το μήκος του στόχου (Σ).

Οι βολίδες (β) είναι πολύ μικρές και κινούνται οριζόντια στο ύψος του κέντρου μάζας των στόχων (Σ). Οι κρούσεις είναι μετωπικές.

Απάντηση:

Τροχαλία-ράβδος

Θέμα 4^ο

Στερεό Π αποτελείται από ομογενή δίσκο Δ μάζαs M=10kg και ακτίνας R=1m στο επίπεδο του οποίου, είναι κολλημένη λεπτή ομογενής ράβδος Ρ, μάζας m=3Kg, και μήκους l=4R.Το άκρο της ράβδου Ρ ταυτίζεται με το κέντρο του δίσκου Δ. Το στερεό Π μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές περί ακλόνητου οριζοντίου άξονα x’x που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Δ. Υλικό σημείο Σ, μάζας M=10Kg κρέμεται από αβαρές μη εκτατό νήμα το όποιο είναι πολλές φόρες τυλιγμένο στην περιφέρεια του δίσκου Δ.

Α. Να υπολογίσετε τα χαρακτηριστικά της ελάχιστης απαιτούμενης δύναμης F, στο στερεό Π, ώστε η διάταξη να συγκρατείται ακίνητη, με τη ράβδο Ρ σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

Β. Αφήνουμε τη διάταξη να κινηθεί, οπότε το νήμα αρχίζει να ξετυλίγεται κατακόρυφα χωρίς να γλιστρά στην επιφάνεια του δίσκου Δ.

B1. Όταν το στερεό Π έχει στραφεί κατά Δφ=60°, για πρώτη φορά, να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου Ρ, ως προς τον άξονα x’x.

Γ1. Να υπολογίσετε το κλάσμα της ολικής κινητικής ενέργειας της διάταξης που αντιστοιχεί στη ράβδο Ρ, κατά την κίνησή της.

Γ2. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της ράβδου Ρ όταν περνά από την κατακόρυφη θέση για πρώτη φορά.

Η ροπή αδράνειας της ράβδου Ρ και του δίσκου Δ, ως προς τον άξονα x’x, είναι Ι_Ρ= 1/3 mℓ² και Ι_Δ= ½ ΜR² αντίστοιχα. Η διάταξη βρίσκεται διαρκώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνεται g=10m/s²

Συνοπτικές απαντήσεις 

4ο ΘΕΜΑ. Τροχός και ελατήριο.

Ομογενής κυκλικός τροχός T ακτίνας R και μάζας M=10Kg εφάπτεται σε οριζόντιο επίπεδο. Στην περιφέρεια του τροχού Τ είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. O άξονας O του τροχού είναι συνδεδεμένoς μέσω οριζόντιας άκαμπτης αβαρούς ράβδου με το ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο. Η διάταξη αρχικά ηρεμεί.

Α. Στο ελεύθερο άκρο του νήματος εφαρμόζουμε σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=10N όπως φαίνεται στο σχήμα. Το νήμα ξετυλίγεται κατακόρυφα χωρίς να γλιστρά ενώ τροχός Τ κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

Α1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του άξονα του τροχού Τ σε συνάρτηση με την επιμήκυνση του ελατηρίου.

Α2. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τροχού και δαπέδου είναι μ_S=0,5 να υπολογίσετε τη μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου για την οποία ο τροχός Τ δεν ολισθαίνει.

Α3. Να υπολογίσετε το ποσοστό της ενέργειας που παρέχει η δύναμη F, το οποίο  μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια περιστροφής του τροχού Τ, αν το ελατήριο υποστεί επιμήκυνση Δx=0,1m.

Β. Να δείξετε ότι αν καταργηθεί η δύναμη F, ενώ το ελατήριο έχει υποστεί επιμήκυνση, ο άξονας του τροχού Τ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς.

Μεταξύ της ράβδου και του τροχού δεν εμφανίζονται τριβές. Θεωρήστε ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Η διάταξη βρίσκεται διαρκώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

Τροχαλία-Ισορροπία-ΑΑΤ.

ΘΕΜΑ Δ

Ιδανικό ελατήριο σταθεράς K=100N/m έχει τον άξονά του παράλληλα σε λείο πλάγιο επίπεδο κλίσης θ. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ενώ στο  κάτω άκρο είναι δεμένο μικρό σώμα Σ₁ μάζας m=1Kg.

Ομογενής κυκλικός τροχός Τ μάζας Μ=2m έχει τον άξονά του δεμένο στο σώμα Σ₁ μέσω αβαρούς νήματος που δεν επηρεάζει την περιστροφή του και είναι παράλληλο στο πλάγιο επίπεδο. Στην περιφέρεια του τροχού Τ έχει τυλιχθεί αβαρές μη εκτατό νήμα από το οποίο κρέμεται μικρό σώμα Σ₂ μάζας m=1kg. Ο τροχός Τ εφάπτεται σε κατακόρυφο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Το σώμα Σ­_1­ και άξονας του τροχού ισορροπούν. Το σώμα Σ₂ επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω με επιτάχυνση μέτρου α=2m/s² περιστρέφοντας τον τροχό. Το νήμα δε γλιστρά στην επιφάνεια του τροχού.

Η ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι  Ι=ΜR². Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. Δίνεται : g=10m/s², ημθ=0,8, συνθ=0,6

Δ1.  Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά της δύναμης τριβής μεταξύ του τροχού Τ και του κατακόρυφου επιπέδου.

Δ2.  Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Δ3.  Να υπολογίσετε την αύξηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχός Τ-σώμα Σ₂ για κάθε μέτρο νήματος που ξετυλίγεται.

Δ4.  Κόβουμε το νήμα που συνδέει τον άξονα του τροχού με το σώμα Σ₁. Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ₁.

Απάντηση:

Μια ισορροπία, κύλιση και ταλάντωση. Θέμα Δ #25

Ομογενής άκαμπτος κυκλικός τροχός  Τ μάζας Μ=10kg εφάπτεται σε οριζόντιο επίπεδο. Η περιφέρεια του τροχού Τ είναι τυλιγμένη με αβαρές νήμα το ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε μικρό σώμα Σ μάζας m=1kg. Το σώμα Σ είναι κολλημένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100N/m το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο. Το κέντρο του τροχού έλκεται από σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=20N. Η διάταξη ισορροπεί με το νήμα τεντωμένο στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διάταξη βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Η μάζα του τροχού Τ είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s².π²=10.

1.     Να υπολογίσετε την παραμόρφωση του ελατηρίου.

2.     Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα. Τροχός Τ κυλίεται χωρίς ολίσθηση ενώ το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να υπολογίσετε

(i)  το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ.

(ii) τη μετατόπιση του κέντρου του τροχού Τ όταν το σώμα Σ φτάνει στην κατώτατη θέση του για πρώτη φορά.

Απάντηση:

Μια κύλιση σε επαφή με ράβδο. ΘΕΜΑ Δ #24

Λεπτή άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους L και μάζας M=3kg έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και στηρίζεται σε στερεό Π, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σημείο επαφής απέχει από την άρθρωση d=0,8L. Το στερεό Π αποτελείται από  ομόκεντρους δίσκους με ακτίνες R και  2R και εφάπτεται σε οριζόντιο επίπεδο.  Ο δίσκος ακτίνας R είναι τυλιγμένος με αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται από σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=10N.

1.     Η διάταξη ισορροπεί με τη ράβδο ΑΓ  σε οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε

(i)       το μέτρο της στατικής τριβής μεταξύ στερεού Π και ράβδου ΑΓ.

(ii)      την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η ράβδος ΑΓ από το στερεό Π.

2.     Εφαρμόζουμε στη ράβδο σταθερή ροπή ως προς την όρθωση μέτρου τ=(15/π)Ν.m και αυτή  στρέφεται χωρίς τριβή. Το στερεό Π κυλίεται χωρίς ολίσθηση καθώς το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε

(i)       τη μεταφορική ταχύτητα του στερεού Π όταν έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους ℓ=1m.

(ii)      το μήκος  L της ράβδου αν τη στιγμή που έχει στραφεί κατά θ₁=30° έχει κινητική ενέργεια  Κ₁=10J.

Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Η ροπή αδρανείας του στερεού Π ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του είναι Ι=ΜR². Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ΘΕΜΑ Δ #23 (Γιογιό και α.α.τ)

Μικρό σώμα (Σ) μάζας m=1kg ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100N/m το άνω άκρο του οποίου είναι δέσμιο. Γιογιό αποτελείται από κυκλική λεπτή ομογενή άκαμπτη στεφάνη (Δ), μάζας M=3kg, τυλιγμένη με αβαρές μη εκτατό νήμα.Tο ελεύθερο άκρο του νήματος είναι δεμένο. Προσδίδουμε στη στεφάνη (Δ) κατακόρυφη μεταφορική ταχύτητα u₀ και αυτή ανέρχεται περιστρεφόμενη περί του κέντρου της καθώς  το νήμα τυλίγεται χωρίς ολίσθηση παραμένοντας κατακόρυφο. Το κέντρο της κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s².

1. Η στεφάνη (Δ) έχει μηδενική ταχύτητα τη στιγμή που φτάνει στο σώμα (Σ).Αν η διάρκεια της ανοδικής κίνησής της είναι Δt=2s να υπολογίσετε την αρχική κατακόρυφη απόσταση h μεταξύ στεφάνης (Δ) και σωματος (Σ).

2. Να υπολογίσετε την ακτίνα R της στεφάνης (Δ) αν το μέτρο της στροφορμής είναι L₁=15Kgm² όταν η κινητική της ενέργεια είναι K₁75J.

3. Η στεφάνη (Δ) προσκολλάται στο σώμα (Σ) και την ίδια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης θεωρώντας t₀=0 τη στιγμή επαφής. Θεωρήστε τον ημιάξονα Oy προσανατολισμένο κατακόρυφα προς τα επάνω και το συσσωμάτωμα σημειακό αντικείμενο.

Απάντηση:

Ένας τροχός και μια ταλάντωση

Θέμα Δ  #22

Ομογενής κυκλικός τροχός (Τ) ακτίνας R=1m εφάπτεται σε πλάγιο επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ=30° με το οριζόντιο επίπεδο. Το ανώτατο σημείο του τροχού είναι δεμένο μέσω αβαρούς νήματος με μικρό σώμα (σ) μάζας m=1kg. Το σώμα (σ) εφάπτεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δέσμιο. Το νήμα έχει περαστεί από αβαρή τροχαλία (τ) ώστε το τμήμα που συνδέει το σώμα (σ) με την τροχαλία (τ) έχει διεύθυνση που συμπίπτει με τον άξονα του ελατηρίου ενώ το τμήμα του που συνδέει τον τροχό (Τ) με την τροχαλία (τ) είναι παράλληλο με το πλάγιο επίπεδο. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται κατακόρυφη επίπεδη διατομή της διάταξης, παράλληλα στην οποία γίνονται όλες οι κινήσεις. Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s².

Α. Η διάταξη ισορροπεί και το ελατήριο έχει υποστεί επιμήκυνση Δℓ=0,1m. Να υπολογίσετε τη μάζα του τροχού (Τ).

Β. Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβουμε και απομακρύνουμε το νήμα. Ο τροχός (Τ) κυλίεται χωρίς ολίσθηση ενώ το σώμα (σ) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t₁=2s το κέντρο του τροχού (Τ) έχει μετατοπιστεί κατά x₁=5m. Να δείξετε ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του.

Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος (σ) τη χρονική στιγμή t₂= που η στροφορμή σπίν του τροχού (Τ) έχει μέτρο:

Απάντηση:

Μια κύλιση και μια ταλάντωση. ΘΕΜΑ 21ο

ΘΕΜΑ Δ

Ομογενής κυκλικός τροχός (Τ) μάζας M=8kg εφάπτεται σε οριζόντιο δάπεδο και είναι τυλιγμένος με αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. Το νήμα έχει περαστεί από αβαρή τροχαλία (ρ) και στο ελεύθερο άκρο του έχουμε κρεμάσει μικρό σώμα (σ) μάζας m=4kg. Το σύστημα τροχός (Τ)-σώμα (σ) συγκρατείται ακίνητο και το νήμα είναι τεντωμένο. Το τμήμα του νήματος που συνδέει τον τροχό (Τ) με την τροχαλία (ρ) είναι οριζόντιο. Ιδανικό ελατήριο σταθεράς K=100N/m ισορροπεί έχοντας το κάτω άκρο του στερεωμένο. Ο άξονάς του ταυτίζεται με τη διεύθυνση του νήματος από το οποίο κρέμεται το σώμα (σ).

1. Απελευθερώνουμε το σύστημα τροχός (Τ)-σώμα (σ). Ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση καθώς το νήμα ξετυλίγεται από την επιφάνειά του χωρίς να ολισθαίνει. Το σώμα (σ) κατέρχεται κατακόρυφα. Να υπολογίσετε

(i) τη μεταφορική επιτάχυνση του τροχού (Τ).

(ii) την αύξηση της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του τροχού (Τ) όταν η συνολική η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος τροχός (Τ)-σώμα (σ), είναι 100J.  

2. Το σώμα (σ) συναντά το ελατήριο έχοντας ταχύτητα u₀=1,5m/s και προσκολλάται ακαριαία στο ελεύθερο άκρο του, χωρίς απώλεια ενέργειας. Την ίδια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης.  

Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι Ι=ΜR². Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

Άλλο ένα σύστημα ομοαξονικών κυλίνδρων.

ΘΕΜΑ Δ

Στερεό (Ρ) συνολικής μάζας Μ=1Kg αποτελείται από ομογενείς ομοαξονικούς κυλίνδρους. O εσωτερικός κύλινδρος έχει ακτίνα R=1m και είναι τυλιγμένος με νήμα από το οποίο κρέμεται μικρό σώμα (σ) μάζας M=1Kg. Οι εξωτερικοί κύλινδροι έχουν ακτίνες 2R και είναι τυλιγμένοι με νήματα, τα ελεύθερα άκρα των οποίων είναι δεμένα σε οροφή. Τα νήματα είναι αβαρή μη εκτατά και έχουν μεγάλο μήκος. Στα παρακάτω σχήματα εικονίζεται η διάταξη (σχήμα 1) και μια κατακόρυφη επίπεδη διατομή της (σχήμα 2), παράλληλα στην οποία γίνεται η κίνηση. Το κέντρο μάζας του στερεού (Ρ) βρίσκεται στο μέσον του άξονά του και η ροπή αδράνειάς του ως προς αυτόν είναι I=4MR².

1. Εφαρμόζουμε στο στέρεο (Ρ) ζεύγος δυνάμεων στο επίπεδο του σχήματος 2, ώστε η διάταξη να συγκρατείται ακίνητη με τα νήματα κατακόρυφα και τεντωμένα. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του μέτρου της κάθε δύναμης του ζεύγους.
2. Καταργούμε το ζεύγος δυνάμεων και τα νήματα ξετυλίγονται χωρίς ολίσθηση παραμένοντας κατακόρυφα. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του σώματος (σ) για κάθε μέτρο νήματος που ξετυλίγεται από τους εξωτερικούς κυλίνδρους.
3. Να υπολογίσετε τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού (Ρ).

Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση: