Διαγώνισμα κρούσεις 2018

ΘΕΜΑ Δ

Στο άκρο του οριζοντίου νήματος με όριο θραύσης Τ_θρ και μήκος  L = 2,2 m, δένουμε σώμα Σ₁, μάζας m₁ = 2 kg, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πάνω στο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται δύο σώματα: το ακίνητο σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 1 kg και το σώμα Σ₃, μάζας m₃ = 3 kg, το οποίο εφάπτεται σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 3075 N/m. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά Δℓ = 0,4 m από το φυσικό του μήκος, κρατώντας το σώμα Σ₃ σε επαφή με αυτό. Στη θέση αυτή  το σώμα  Σ₃ απέχει d = 2 m  από το Σ₂. Ο συντελεστής τριβής του οριζοντίου επιπέδου και του σώματος Σ₃ είναι μ = 0,5. Ελευθερώνουμε το σώμα Σ₃. Την κατάλληλη στιγμή, εκσφενδονίζουμε το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ_ο = 10 m/s, έτσι ώστε τα σώματα Σ₁ και Σ₃ να συγκρουσθούν ταυτόχρονα το σώμα Σ₂. Οι κρούσεις είναι πλαστικές. H τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση φτάνει οριακά στο όριο θραύσης του, το νήμα κόβεται και το συσσωμάτωμα εκτελεί οριζόντια βολή από το ύψος h του οριζόντιου επιπέδου και φτάνει στο έδαφος σε χρονικό διάστημα  2 s μετά την κρούση. Να υπολογίσετε:

Δ1. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν τη σύγκρουση των τριών σωμάτων.

Δ2. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ₃ ελάχιστα πριν τη σύγκρουση των τριών σωμάτων.

Δ3. το όριο θραύσης Τ_θρ του νήματος.

Δ4. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος όταν απέχει κατακόρυφα 15 m από το σημείο που συναντά το έδαφος.

Δίνεται το g = 10 m/s².

Τα θεματα και οι λύσεις.

Στον τοίχο ή στο σχοινί;

Δύο ράβδοι, η ΑΒ με μήκος ℓ και μάζα m₁ = 3√3  kg και η ΒΓ με μήκος 2ℓ και μάζα m₂, είναι συγκολλημένες σε ορθή γωνία στο σημείο Β και μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρ­χεται από το σημείο Β και είναι κάθετος στις ράβδους. Το σημείο Α ακουμπά σε λείο τοίχο, έτσι ώστε η ράβδος ΑΒ να σχηματίζει γωνία 30^ο με την κατακόρυφο που περνά από το Β. Στη θέση αυτή η ράβδος ασκεί δύναμη F₁ = 5 N στον τοίχο.

α. Να βρεθεί η μάζα της ράβδου ΒΓ

β. Αν δεν υπήρχε ο τοίχος, ποιο βάρος θα έπρεπε να κρεμάσουμε μέσω νήματος στο σημείο Α ώστε το σύστημα των δύο ράβδων να ισορροπεί στην ίδια θέση;

γ. Αν δεν υπάρχει ούτε ο τοίχος αλλά ούτε και το σχοινί, ποια είναι η ελάχιστη δύναμη, σε ποιο σημείο πρέπει να την ασκούμε και με τι κατεύθυνση, ώστε το σύστημα να ισορροπεί στη θέση όπου η ράβδος ΑΒ σχηματίζει γωνία φ = 30° με την κατακόρυφη;

δ. Τι τιμή πρέπει να έχει η εφθ (θ η γωνία της ράβδου ΑΒ με την κατακόρυφο που περνά από το Β) ώστε το σύστημα των δύο ράβδων να ισορροπεί μόνο με την επίδραση των βαρών και της άρθρωσης;

Δίνεται g = 10 m/s².

   

Η τριβή κρατά τη ράβδο.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μία ράβδο μήκους ℓ = 2 m και μάζας m = 0,48 kg που ισορροπεί με την βοήθεια νήματος το άλλο άκρο του οποίου, καταλήγει μέσω μικρής τροχαλίας ακτίνας R, στο σώμα Σ₁. Το σώμα Σ₁ έχει μάζα m₁ = 2 kg και μόλις που δεν ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο στη θέση αυτή. Το νήμα είναι δεμένο στη ράβδο στο σημείο Δ που απέχει απόσταση d₁ = (ΑΓ) = 0,6 m και σχηματίζει με την ράβδο γωνία έτσι ώστε ημφ = 0,8 και συνφ = 0,6. Να υπολογίσετε:

α. το συντελεστή τριβής μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σώματος Σ₁

β. τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση

Στη συνέχεια μετακινούμε το σώμα Σ₁ πάνω στο οριζόντιο δάπεδο έτσι ώστε η ράβδος τώρα να ισορροπεί σε μία νέα θέση την οποία το νήμα είναι κάθετο στο σημείο Γ.

γ. για την παραπάνω θέση ισορροπίας της ράβδου να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σώμα Σ₁ στο δάπεδο.

Δίνεται g = 10 m/s².

   

Η τροχαλία και η βάση της.

Μία διπλή τροχαλία μάζας m₁ = 3,5 kg στηρίζεται σε βάση μάζας m₂ = 6,5 kg. Η τροχαλία έχει ακτίνες R και r = R/2 όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.  Ο συντελεστής τριβής μεταξύ της βάσης και του δαπέδου είναι μ_s = 0,6. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα της. Μέσω ενός αβαρούς σχοινιού που είναι τυλιγμένο γύρω από την μεγάλη περιφέρεια δένεται η τροχαλία με τον τοίχο, ενώ στην μικρή περιφέρεια της έχουμε δέσει μέσω αβαρούς νήματος και μέσω άλλης τροχαλίας ακτίνας α, σώμα μάζας m₃ = 7 kg. Το όλο σύστημα ισορροπεί. Να βρείτε:

α. τις τάσεις των σχοινιών (1) και (2)

β. την δύναμη που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα της

γ. το μέτρο της δύναμης που δέχεται η βάση της τροχαλίας από το δάπεδο

δ. τη μέγιστη τιμή της μάζα m₄ που μπορούμε να δέσουμε κάτω από την m₃ ώστε η τροχαλία να παραμείνει ακίνητη.

Δίνεται g = 10 m/s².

Ελατήριο με μάρσιππο.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο ελατήρια (το ένα μέσα στο άλλο), όπου το εξωτερικό έχει σταθερά k₁ = 100 N/m και το εσωτερικό k₂ = 400 N/m. Δένουμε (και στα δύο ελατήρια) σώμα Σ μάζας m = 1 kg σε τέτοια θέση ώστε το ελατήριο σταθεράς k₁ να έχει παραμόρφωση Δℓ₁ = 0,1 m και όταν αφήσουμε το σώμα Σ να ισορροπεί. Την χρονική στιγμή t₀ = 0, κόβουμε την σύνδεση του ελατηρίου σταθεράς k₂ με το σώμα Σ, οπότε αυτό αρχίζει να ταλαντώνεται. Την χρονική στιγμή t₁ = π/15 s, ασκείται στο σώμα Σ σταθερή δύναμη F μέτρου 15 Ν και φορά προς τα κάτω. Η δράση της δύναμης F διαρκεί μέχρι τη στιγμή που το σώμα περνά για πρώτη φορά από την θέση ισορροπίας της αρχικής ταλάντωσης.

α. Να βρείτε πόσο απέχουν τα φυσικά μήκη των ελατηρίων σταθεράς k₁, k₂

β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από την Θ.Ι. για το χρονικό διάστημα Δt = t₁ – t₀, θεωρώντας θετική την φορά προς τα κάτω

γ. Να υπολογίσετε την μεταβολή ενέργεια (ΔΕ = Ε₃ – Ε₁) της ταλάντωσης που πραγματοποιείται πριν την δράση της δύναμης F, (Ε₁) και μετά την κατάργηση αυτής (Ε₃).

δ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη δύναμη που δέχεται το Σ από το ελατήριο, κατά την διάρκεια της ταλάντωσης που πραγματοποιεί μετά την κατάργηση της δύναμης F.

Αποχωρισμός σε καθορισμένη στιγμή.

Ελατήριο σταθεράς k στερεώνεται στο δάπεδο και πάνω σε αυτό στερεώνουμε (δένοντας το) το σώμα Σ₁ μάζας m₁. Πάνω στο Σ₁ τοποθετούμε το Σ₂ μάζας m₂ έτσι ώστε τα δύο σώματα να βρίσκονται απλά σε επαφή. Ασκώντας κάποια δύναμη συμπιέζουμε το ελατήριο και δένουμε μέσω νήματος το σώμα Σ₁ με το δάπεδο όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα. Κάποια χρονική στιγμή, που την θεωρούμε ως στιγμή t₀ = 0 κόβουμε το νήμα και το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μέχρι την στιγμή που το Σ₂ αποχωρίζεται από το Σ₁. Για να μηδενιστεί η ταχύτητα του Σ₂ μετά από την αποχώριση από το Σ₁ χρειάζεται να περάσει χρονικό διάστημα Δt = 0,2√3s. Μόλις το Σ₂ φτάσει στο μέγιστο ύψος το πιάνουμε και το απομακρύνουμε ώστε να μην συγκρουστεί με το Σ₁. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₂, Δt′ = 0,1√3 s μετά την αποχώριση από το Σ₁ είναι ίσος με dK₂/dt = -15√3 J/s.

α. Να βρείτε την ταχύτητα την στιγμή της αποχώρισης των δύο σωμάτων.

β. Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης των Σ₁, Σ₂.

γ. Να βρείτε τις μάζες m₁ και m₂.

δ. Να βρείτε την τάση του νήματος πριν το κόψουμε το νήμα.

ε. Να γίνει η γραφική παράσταση της δύναμης Ν που δέχεται το Σ₂ από το Σ₁ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας, όσο αυτά είναι σε επαφή.

στ. Το πλάτος της ταλάντωσης του Σ₁.

Δίνεται g = 10 m/s², κάθε αντίσταση από τον αέρα θεωρείται αμελητέα και το ελατήριο είναι ιδανικό.

Θετική θεωρούμε την φορά προς τα πάνω.

   

Τετραγωνισμένη ταλάντωση.

Σώμα μάζας m = 2 kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο στην αρχή των αξόνων (x = 0) και την χρονική στιγμή t₀ = 0 ασκούμε οριζόντια σταθερή δύναμη F έτσι ώστε να παραμορφώνει το ελατήριο. Η κίνηση του σώματος, περιγράφεται από τη σχέση x = 0,4ημ²(5t) (S.I.).

α. να βρείτε αν αρχικά η δύναμη F συσπειρώνει ή συμπιέζει το ελατήριο

β. να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης

γ. να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F

δ. να υπολογίσετε την δύναμη επαναφοράς όταν το σώμα βρίσκεται στην θέση x₁ = 0,3 m.

ε. αν είναι γνωστό ότι η δύναμη F καταργείται μία χρονική στιγμή t₁ όπου το σώμα επιβραδυνόταν και νέα ταλάντωση που αρχίζει έχει πλάτος Α′ = 0,2√3 m να βρείτε την κινητική ενέργεια τη στιγμή t₁.

Δίνεται η τριγωνομετρική ταυτότητα συν2x = 1 – 2ημ²x.

   

Το διάγραμμα μας δείχνει την κρούση.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε την εξέλιξη της ταλάντωσης ενός σώματος Σ₁ μάζας m₁ = 1 kg σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Κάποια στιγμή συγκρούεται κεντρικά με σώμα Σ₂, μάζας m₂.

α. το μέτρο της ορμή του Σ₁, ελάχιστα πριν την κρούση με το Σ₂.

β. την μεταβολή της ορμής του Σ₂ κατά την διάρκεια της κρούσης.

γ. την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων

δ. Αν τα δύο σώματα ξεκίνησαν ταυτόχρονα την κίνηση τους και το Σ₂ επιταχύνθηκε από σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 50/π Ν για όσο χρειάστηκε. Να βρεθεί η αρχική απόσταση των δύο σωμάτων.

Δίνεται π/6 = 0,52, σε κάθε ταλάντωση ισχύει D = k.

Μας έπεσε ο ουρανός στο κεφάλι.

Ένα σώμα Σ₁, μάζας m₁ = 4 kg, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και  είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το ελατήριο έχει αρχικά το φυσικό του μήκος. Ασκώντας δύναμη, μετατοπίζουμε το σώμα ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται, και τη χρονική στιγ­μή t₀ = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα, με το ελατήριο να είναι παραμορφω­μένο από το φυσικό μήκος του κατά d = 0,6 m. Σε μια επόμενη χρονική στιγμή, κατά την οποία το σώμα Σ₁ διέρχεται από μια θέση όπου το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά x₁ = 0,2 m, ένα δεύτερο σώμα Σ₂, που έχει αφεθεί από ύψος h = 0,8 m, μάζας m₂ = 20/3 kg, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ₁, χωρίς το συσσωμάτωμα να αναπηδήσει. Να βρείτε:

α. τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων λίγο πριν την κρούση τους

β. την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων που χάθηκε κατά την κρούση

γ. ποιο σώμα αφέθηκε πρώτο να κινηθεί

δ. σε πόση απόσταση από τη θέση όπου αφέθηκε ελεύθερο το σώμα Σ₁ θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητα του συσσωματώματος για πρώτη φορά.

Τσιγκουνιά στα δεδομένα.

Ένα σώμα Σ μάζας m = 1 kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k. Με μία δύναμη μεταβλητού μέτρου ανεβάζουμε πολύ αργά το σώμα μέχρι τη θέση όπου το ελατήριο έχει την ίδια αποθηκευμένη ενέργεια με αυτή που είχε όταν ισορροπούσε. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 αφήνουμε το σώμα από την θέση που το είχαμε προηγουμένως ανεβάσει και αυτό εκτελεί ταλάντωση σταθεράς D = k. Η επιτάχυνση του ταλαντούμενου σώματος γίνεται κατά μέτρο ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας για πρώτη φορά την χρονική στιγμή t₁ = π/30 s. Να βρείτε:

α. τον χρόνο που χρειάζεται ώστε να ακινητοποιηθεί το σώμα για πρώτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσης του

β. την ενέργεια που δαπανήσαμε για να θέσουμε το σώμα σε ταλάντωση

γ. την επιτάχυνση του σώματος (μέτρο και κατεύθυνση) όταν η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι 2,42 J

δ. το μέτρο της μέγιστης μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του.

Δίνεται g = 10 m/s², θετική θεωρούμε την φορά προς τα πάνω.

   

Αλληλεπιδράσεις και ισορροπίες.

Στο διπλανό σχήμα η λεπτή ομογενής σανίδα έχει μήκος ℓ και μάζα M = 1,5 kg, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο σχοινιών που την συγκρατούν είναι d. Πάνω στη σανίδα βρίσκεται σώμα μάζας m₁ = 1,2 kg που μέσω νήματος συγκρατεί με την βοήθεια της διπλής τροχαλίας το σώμα μάζας m₂ = 2 kg. Η απόσταση του σημείου πρόσδεσης Α από το σώμα m₁ είναι ίση με d/4. Εφαπτομενικά με την σανίδα βρίσκεται λείος κατακόρυφος τοίχος που αποτρέπει την σανίδα να κινηθεί προς τα δεξιά. Η μάζα της διπλής τροχαλίας είναι m₃ = 1,4 kg και ακτίνες των τροχαλιών συνδέονται με την σχέση R = 2r. Να βρείτε:

α. την δύναμη που ασκεί ο άξονας στην διπλή τροχαλία.

β. το μέτρο της δύναμης που δέχεται η σανίδα από το σώμα m₁.

γ. τα μέτρα των τάσεων των δύο κατακόρυφων σχοινιών που συγκρατούν την σανίδα

δ. τον ελάχιστο συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σανίδας και m₁ ώστε αυτό να παραμένει ακίνητο.

Δίνεται ότι όλα τα νήματα είναι αβαρή, συνφ = 0,8, ημφ = 0,6 και για τις πράξεις g = 10 m/s².

   

Ανοιγοκλείνουμε την τάπα και ο αέρας εγκλωβισμένος.

Στο σχήμα μια δεξαμενή περιέχει νερό σε ύψος Η=1,25m και κοντά στον πυθμένα της συνδέεται οριζόντιος σωλήνας, διατομής 0,4cm², το άκρο του οποίου έχουμε κλείσει με μια τάπα. Στον σωλήνα αυτόν, έχει προσαρμοσθεί ένας δεύτερος λεπτός κατακόρυφος σωλήνας, ύψους Η, κλειστός στο άνω άκρο του, εντός του οποίου το νερό έχει ανέβει κατά h=1m.

i) Πόση δύναμη δέχεται η τάπα από το νερό και ποια η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα στον κατακόρυφο σωλήνα;

ii) Σε μια στιγμή βγάζουμε την τάπα και το νερό εκρέει από το άκρο Β του σωλήνα. Να βρεθεί η παροχή του σωλήνα.

iii) Να βρεθεί το ύψος που ανέρχεται το νερό στο κατακόρυφο σωλήνα, στη διάρκεια της παραπάνω ροής.

iv) Λυγίζουμε τον σωλήνα, ώστε να πάρει τη μορφή του σχήματος, όπου d=55cm. Ποιο το ύψος του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα;

Θεωρούμε πολύ μεγάλη την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στην δεξαμενή, το νερό ιδανικό ρευστό με πυκνότητα ρ=1.000kg/m³ και τη ροή μόνιμη (για το χρονικό διάστημα, που πραγματοποιούμε το πείραμα). Δίνονται ακόμη g=10m/s² και p_ατμ=10⁵Ρa, ενώ η θερμοκρασία του εγκλωβισμένου αέρα παραμένει σταθερή. Υπενθυμίζεται δε και ο νόμος του Boyle!!! Για μια ποσότητα αερίου σε σταθερή θερμοκρασία pV=σταθ.

Απάντηση:

ή

Ανοιγοκλείνουμε την τάπα και ο αέρας εγκλωβισμένος.

Ανακατασκευή.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁, είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ = 1,8 m. Σανίδα Σ₂, μάζας m₂ = 4,5 kg βρίσκεται ακίνητη σε λείο δάπεδο, στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του Σ₁ και πάνω της φέρει σώμα Σ₃ μάζας m₃ = 0,5 kg αμελητέων διατάσεων. Οι επιφάνειες των Σ₂ και Σ₃ εμφανίζουν μεταξύ τους τριβή με συντελεστή τριβής μ = 0,2. Ανασηκώνουμε το Σ₁ μέχρι την οριζόντια θέση και το αφήνουμε ελεύθερο. Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ₂ (χρονική στιγμή t₀ = 0). Η μεταβολή της ορμής του Σ₂ εξαιτίας της κρούσης έχει αλγεβρική τιμή Δp₂ = +18 kg∙m/s. Να βρεθούν:

α. η μέγιστη δυναμική ενέργεια που αποκτά το Σ₁ μετά την κρούση

β. το ελάχιστο μήκος του Σ₂ ώστε το Σ₃ να παραμείνει πάνω του όταν σταματήσει η σχετική κίνηση τους

γ. το μέτρο της δύναμης που ασκεί το Σ₃ στο Σ₂ την χρονική στιγμή t₁ = 1,5 s.

δ. το ποσοστό της αρχικής ενέργειας του συστήματος των Σ₁, Σ₂, Σ₃ που χάθηκε κατά την διάρκεια του φαινομένου.

ε. το διάστημα που διανύει η σανίδα επιβραδυνόμενη.

Δίνεται g = 10 m/s². Οι αντιστάσεις από τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.

    

Η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης σε μια ΑΑΤ.

Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

i)  Πόση είναι η αρχική φάση και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της φάσης της απομάκρυνσης;

ii) Να βρεθεί η περίοδος ταλάντωσης του σώματος.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της φάσης της ταχύτητας σε χρονικό  διάστημα Δt=6s.

iv) Αν κάποια στιγμή t₁ το σώμα έχει ταχύτητα υ₁=2m/s, να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή t₂=t₁+10s.

Δίνεται ότι για την απομάκρυνση ισχύει η γνωστή εξίσωση του σχολικού βιβλίου.

Απάντηση:

ή

Η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης σε μια ΑΑΤ.

Επιλέγοντας διαγράμματα.

i) Στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα, δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σώματος που εκτελεί ΑΑΤ, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ποιες από τις επόμενες  γραφικές παραστάσεις (για την κινητική και δυναμική ενέργεια ταλάντωσης) είναι σωστές και ποιες λανθασμένες.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις επιλογές σας (θετικές και αρνητικές).

ii)  Αν το σώμα ξεκινά τη στιγμή t=0 την ταλάντωσή του από τη θέση x=-Α, να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της δυναμικής και της κινητικής του ενέργειας, μέχρι να φτάσει στην θέση x=+Α, σε συνάρτηση με:

 α) την απομάκρυνση

 β) το χρόνο.

Απάντηση:

ή

Επιλέγοντας διαγράμματα.

Ένα κλεμμένο θέμα.

Ένα σώμα ξεκινά την t₀ = 0, από ακραία θέση να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Σε  χρονικό διάστημα Δt₁ έχει διανύσει απόσταση d. Στο επόμενο χρονικό διάστημα Δt₁ έχει διανύσει απόσταση 2d, στην ίδια κατεύθυνση. Τότε:

α. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 4d

β. Η περίοδος της κίνησης είναι 6Δt₁

γ. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 3d

δ. Η περίοδος της κίνησης είναι 8Δt₁

Να επιλέξετε την σωστή πρόταση αιτιολογώντας την απάντησή σας.

Δίνεται η τριγωνομετρική ταυτότητα συν2α = 2συν²α – 1

      

Το παραπάνω θέμα δεν είναι δικής μου κατασκευής αλλά του L. K. Satapathy.

Τον L. K. Satapathy τον ανακάλυψε ο Μανώλης Λαμπράκης του άρεσε και μιας αυτός δεν έχει χρόνο αυτή την εποχή για αναρτήσεις ανέλαβα να το κάνω εγώ.

Η διεύθυνση που μπορείτε να βρείτε το original θέμα είνα εδώ.

Παρά τρίχα απογείωση.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 1 kg, είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ. Ανυψώνουμε το Σ₁ μέχρι την οριζόντια θέση και το αφήνουμε ελεύθερο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το Σ₁ φτάνει στην κατακόρυφη θέση έχοντας αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ₁ = 4 m/s, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ₂ μάζας m₂, το οποίο ισορροπεί πάνω στο λείο έδαφος, δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k. Στην κατακόρυφη θέση το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, ενώ το πάνω άκρο του είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Μετά την κρούση το Σ₂ σταματά στιγμιαία μόλις που χάνεται η επαφή με το έδαφος, έχοντας την ίδια στιγμή επιτάχυνση μέτρου α = g√3, ενώ το ελατήριο έχει παραμορφωθεί κατά Δℓ = 0,2 m. Να βρείτε:

α. την γωνία που σχηματίζει ο άξονας του ελατηρίου με την κατακόρυφο την στιγμή της ακινητοποίησης του Σ₂

β. το μέτρο της ταχύτητας που απέκτησε το Σ₂ αμέσως μετά την κρούση με το Σ_{1 .....}

  

Σαν τον Αχιλλέα με την χελώνα.

Από την κορυφή λείου τεταρτοκυκλίου (R = 5 m) αφήνουμε σώμα Σ₁, μάζας m₁ = 1 kg, αμελητέων διαστάσεων, το οποίο στην βάση του τεταρτοκυκλίου, συναντά οριζόντιο έδαφος. Στο οριζόντιο έδαφος και σε κάποια απόσταση από την βάση του τεταρτοκυκλίου, βρίσκεται ακίνητο, σώμα Σ₂, μάζας m₂. Το σώμα Σ₁ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ₂ και μετά την κρούση η ταχύτητα του Σ₁ είναι κατά μέτρο η μισή από αυτή που είχε το Σ₁ λίγο πριν την κρούση με το Σ₂. Μετά την κρούση το Σ₁ επιστρέφει προς το κεκλιμένο επίπεδο ανεβαίνει ως ένα σημείο Α, ακινητοποιείται στιγμιαία, ξανασυγκρούεται με το Σ₂, ξανά και ξανά και ξανά.

α.Στο σημείο Α όπου το Σ₁ σταματά στιγμιαία μετά την κρούση, να δείξετε ότι η δύναμη που δέχεται από το τεταρτοκύκλιο καθώς κατεβαίνει, (έστω Ν₁) είναι τριπλάσια από την δύναμη που δέχεται στο ίδιο σημείο την στιγμή της ακινητοποίησης (έστω Ν₂) και ανεξάρτητη του σημείου Α.

β. Να υπολογίσετε την μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του Σ₁, από την στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο μέχρι την στιγμή που ακινητοποιείται για πρώτη φορά μετά την κρούση με το Σ₂

γ. Να βρείτε την μάζα m₂ του σώματος Σ₂.

δ. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και Σ₂ είναι ίσος με μ = 1/3  να υπολογίσετε την απόσταση που θα διανύσει το Σ₂ μέχρι να "τελειώσουν" όλες οι κρούσεις.

Δίνεται g = 10 m/s², η απόσταση του Σ₂ από την βάση του τεταρτοκυκλίου είναι τέτοια ώστε κατά την δεύτερη κρούση, το Σ₁ να συναντήσει ακίνητο το Σ₂. Το Σ₁ δεν παρουσιάζει τριβές με το οριζόντιο επίπεδο.

  

Η θέση ολίσθησης και η ενέργεια.

Ένας τροχός κυλίεται προς τα δεξιά σε οριζόντιο επίπεδο,  με το οποίο μπορεί να εμφανίσει τριβή Τ_ορ=Τ_ολ=10Ν, έχοντας κινητική ενέργεια Κ₀=25J. Τη στιγμή που φτάνει  στη θέση x=0, δέχεται στο κέντρο του, την επίδραση μεταβλητής οριζόντιας  δύναμης, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση σύμφωνα με την εξίσωση:

F=6x (S.Ι.).

i) Ο τροχός θα αρχίσει να ολισθαίνει στη θέση:

 α) x=0,  β)  x= 5/3m,   γ) x=3m,   δ) x=5m.

ii) Η κινητική ενέργεια του τροχού τη στιγμή που αρχίζει η ολίσθηση είναι ίση:

 α) Κ₁=25J,   β) Κ₁=75J,    γ)  Κ₁=100J,   δ) Κ₁=125J.

   Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

	Η θέση ολίσθησης και η ενέργεια.

Θα ολισθήσει ή θα ανατραπεί;

Ένας ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και ύψους h=4R, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s=0,5. Σε μια στιγμή δέχεται σε σημείο της πάνω έδρας του μια μεταβλητή οριζόντια δύναμη F, της μορφής F=λt, με λ σταθερά αναλογίας με μονάδες Ν/s.

Τι πρόκειται να συμβεί πρώτα:

i) Ο κύλινδρος θα ολισθήσει.

ii) Ο κύλινδρος θα ανατραπεί.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

	Θα  ολισθήσει ή θα ανατραπεί;