Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

 

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους 2mέχουν στερεωθεί μια σφαίρα Α μάζας m₁=3kg και ένα μικρό σώμα Β που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m₂=1kg, παίρνοντας έτσι ένα στερεό s. Το στερεό s ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το μέσον Μ της ράβδου. Μια άλλη  σφαίρα Γ, μάζας Μ=4kgηρεμεί επίσης στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο αβαρούς νήματος σταθερού μήκους 1m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στον άξονα z, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, η σφαίρα Γ δέχεται μια σταθερού μέτρου δύναμη F=4Ν, η οποία είναι διαρκώς κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να κινηθεί κυκλικά. Αφού η σφαίρα διαγράψει γωνία θ=2rad, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Β, ενώ τη στιγμή της σύγκρουσης, παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i)  Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Γ, ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς M, στη διάρκεια της εξάσκησης της  δύναμης F.

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας Γ, ως προς τον άξονα z, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Να υπολογισθεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην πλαστική κρούση μεταξύ της σφαίρας Γ και του σώματος Β.

iv) Πόσο είναι το έργο της δύναμης F_Bπου η σφαίρα Γ άσκησε στο σώμα Β και ποιο το αντίστοιχο έργο της αντίδρασής της.

Απάντηση:

ή

 Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

 Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

Η διατήρηση της στροφορμής και η αβαρής ράβδος

 Δυο όμοιες μικρές σφαίρες Α και Β, της ίδιας μάζας, κρέμονται από το ίδιο σημείο Ο στα άκρα  δύο αβαρών νημάτων του ίδιου μήκος l. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α, όπως στο σχήμα (1) κατά κάποια γωνία θ και αφήνοντάς την φτάνει στην κατακόρυφη θέση με ταχύτητα υ_­0, οπότε συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα η Β να αποκτά ταχύτητα υ₀, αμέσως μετά την κρούση.

 

Αντικαθιστούμε το ένα νήμα με αβαρή ράβδο, αλλά τώρα πάνω της στερεώνουμε εκτός της  σφαίρας Β και μια άλλη όμοιά της σφαίρα Γ, στο μέσον της ράβδου, όπως στο σχήμα (2). Αν επαναλάβουμε το πείραμα να αποδείξετε ότι η σφαίρα Β, μετά την κρούση, θα αποκτήσει ταχύτητα υ₁, μικρότερη της υ₀.

Απάντηση:

ή

 Η διατήρηση της  στροφορμής και η αβαρής ράβδος

 Η διατήρηση της  στροφορμής και η αβαρής ράβδος

Μια κυκλική κίνηση υλικού σημείου

  

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,15, δεμένο στο άκρο μη ελαστικού νήματος σταθερού μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο  σώμα μια οριζόντια δύναμη, το μέτρο της οποίας δίνεται από την εξίσωση F=5+1,25t (μονάδες στο S.I.), η οποία έχει μεταβαλλόμενη διεύθυνση, σχηματίζοντας με το νήμα σταθερή γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα Σ, να κινηθεί σε κυκλική τροχιά, κέντρου Ο και ακτίνας R=2m, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Για τη στιγμή t=0⁺, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη, να υπολογιστούν η τάση του νήματος και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση τ=f(t), της συνολικής ροπής των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα Σ, ως προς το κέντρο του κύκλου, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Να βρεθεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής  της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το σημείο Ο, τη  χρονική στιγμή t₁=2s.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος και πόση είναι η τάση του νήματος τη στιγμή t₁;

Απάντηση:

ή

  Μια κυκλική κίνηση υλικού  σημείου

 Μια κυκλική κίνηση υλικού  σημείου

Δυο ταλαντώσεις σε κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα Σ1, μάζας m1=1kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, δεμένο στο πάνω άκρο ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα,  έχοντας συσπειρώσει το ελατήριο κατά 0,1m. Μετακινούμε το σώμα φέρνοντάς το σε μια θέση του επιπέδου, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό μήκος του και τη στιγμή t0=0, το αφήνουμε να κινηθεί. 

i)  Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει ΑΑΤ. 

ii) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης  του σώματος  σε συνάρτηση με το χρόνο (x=f(t)) και να κάνετε την γραφική της παράσταση μέχρι τη στιγμή t1=1s, θεωρώντας θετική την αρχική απομά-κρυνση. 

Τη στιγμή t1=1s, τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ1 ένα άλλο σώμα Σ2, χωρίς αρχική ταχύτητα, οπότε ακολουθεί μια νέα ταλάντωση, όπου τα δυο σώματα κινούνται μαζί, σαν ένα σώμα Σ. Τα σώματα επιστρέφουν στη θέση που ήταν τη στιγμή t1, για πρώτη φορά, τη στιγμή t2=3s. 

iii) Να υπολογιστεί η μάζα  του σώματος Σ2, καθώς και η ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος των δύο σωμάτων. 

iv) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη δύναμη στατικής τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ των δύο σωμάτων και τους επιτρέπει να κινούνται μαζί.  

Δίνεται για την γωνία του κεκλιμένου επιπέδου ότι ημθ=0,4, g=10m/s2, ενώ π2≈10. 

Απάντηση:  

ή

 Δυο ταλαντώσεις σε κεκλιμένο επίπεδο 

Δυο ταλαντώσεις σε κεκλιμένο επίπεδο 

Ο κύλινδρος και η ράβδος

 

Σε οριζόντιο επίπεδο  ηρεμεί ένας κύλινδρος. Φέρνουμε μια ράβδο την οποία στηρίζουμε σε κάποιο σημείο της στο κύλινδρο και το άλλο άκρο της στο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Αν μεταξύ ράβδου και κυλίνδρου δεν αναπτύσσονται τριβές, ενώ τριβές εμφανίζονται μεταξύ τω νδύο σωμάτων και του επιπέδου: 

i)  Αν υποθέσουμε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί, να εξετάσετε αν μπορεί να ισορροπήσει και η ράβδος, οπότε ισορροπεί και το σύστημα των δύο σωμάτων. 

ii)  Αν υποθέσουμε ότι η ράβδος ισορροπεί, να εξετάσετε αν μπορεί να ισορροπεί και ο κύλινδρος, οπότε εξασφαλίζεται και η ισορροπία του συστήματος. 

Απάντηση: 

ή

 Ο κύλινδρος και η ράβδος

Ο κύλινδρος και η ράβδος

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 4m και βάρους 400Ν. Σε μια στιγμή στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=80Ν και παρατηρούμε ότι η σανίδα συνεχίζει να ηρεμεί. 

i)  Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη δοκό, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο μάζας Κ της δοκού. 

ii) Ποια η μέγιστη τιμή F1 που μπορεί να πάρει το μέτρο της δύνα-μης αυτής, χωρίς να πάψει η δοκός να ισορροπεί;  

iii) Μεταβάλλοντας το μέτρο της κατακόρυφης αυτής δύναμης, ανασηκώνουμε τη δοκό, φέρνοντάς την να ισορροπεί σε μια νέα θέση, όπου σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπως στο κάτω σχήμα. Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F2, σε συνάρτηση με την γωνία θ. 

Απάντηση:

ή

 Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Όταν σπάει ο άξονας…

  

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το κέντρο της Κ να συμπίπτει με την αρχή Ο, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, στην ράβδο ασκείται μια κατάλληλη οριζόντια  δύναμη F, η ροπή της οποίας την θέτει σε οριζόντια περιστροφή, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Β, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γ=4/π rad/s². Η ράβδος στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, μέχρι τη στιγμή t₁=3,14s, όπου ο άξονας σπάει, χωρίς να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη στη ράβδο, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i) Ελάχιστα πριν σπάσει ο άξονας z, να βρεθούν:

α)  Η θέση της ράβδου και

β) Οι ταχύτητες του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Α της ράβδου.

ii) Αφού περιγράψετε πλήρως την κίνηση της ράβδου μετά το σπάσιμο του άξονα, να βρείτε την χρονική στιγμή t₂=13π/8 s:

α) Τη θέση της ράβδου,

β) Τις ταχύτητες των δύο άκρων Α και Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

 Όταν σπάει ο άξονας…

 Όταν σπάει ο άξονας…

Μια ακόμη κύλιση τροχού

  

Ένας τροχός κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m κυλίεται προς τα δεξιά σε οριζόντιο δρόμο, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t=0, ένα  σημείο του Α βρίσκεται πάνω σε μια κατακόρυφη διάμετρό του,  απέχοντας 0,8m, από το έδαφος. Στο διάγραμμα του σχήματος,  δίνεται η μεταβολή της  γωνιακής ταχύτητας του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να σημειώστε στο σχήμα την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t_0­=0  και την ταχύτητα του σημείου Α. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας  αυτής.

ii) Να υπολογίστε τον αριθμό των περιστροφών του τροχού, μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να μειώνεται η γωνιακή του ταχύτητα.

iii) Να υπολογιστούν η γωνιακή επιτάχυνση, καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού, στο χρονικό διάστημα που ο τροχός επιβραδύνεται.

iv) Ποιο το μέτρο της συνολικής μετατόπισης του σημείου Α, μέχρι τη στιγμή που ο τροχός  σταματά.

Απάντηση:

ή

 Μια ακόμη κύλιση τροχού

 Μια ακόμη κύλιση τροχού