Μια ακόμη κατακόρυφη κίνηση ράβδου

Η ράβδος ΚΛ μήκους ℓ = 1m , μάζας m = 2 kg και ωμικής αντίστασης R = 2Ω μπορεί να κινείται χωρίς τριβές, σε επαφή με τους λείους κατακόρυφους αγωγούς Αx και Γy παραμένοντας συνεχώς κάθετη σε αυτούς. Τα άκρα Α και Γ των αγωγών συνδέονται μέσω ενός βαλλιστικού γαλβανομέτρου.  Το γαλβανόμετρο και οι αγωγοί Αx και  Γy δεν παρουσιάζουν ωμική αντίσταση ενώ το μόνο τμήμα του συστήματος που μπορεί να κινείται είναι η ράβδος.  Στο χώρο του συστήματος υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης B = 2Τ, με οριζόντιες δυναμικές γραμμές και φορά όπως στο σχήμα.  Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 η ράβδος αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί, ενώ τη χρονική στιγμή t_ορ η ταχύτητα της σταθεροποιείται. Μέχρι τη χρονική στιγμή t_ορ έχει περάσει από το γαλβανόμετρο φορτίο q =  40C.

α) Ποια η σταθερή ταχύτητα που αποκτά η ράβδος;

β) Ποια η απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος μέχρι τη χρονική στιγμή t_ορ ;

γ) Ποια η χρονική στιγμή t_ορ;

δ) Αν από την αρχή του φαινομένου μέχρι τη χρονική στιγμή t₁ = 1,6s έχει περάσει από το γαλβανόμετρο φορτίο q₁ = 8C να βρείτε:

i)  Τις απώλειες μηχανικής ενέργειας του συστήματος μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.

ii)  Τους ρυθμούς μεταβολής της δυναμικής ενέργειας και της κινητικής ενέργειας της ράβδου καθώς και το ρυθμό απωλειών λόγω φαινομένου Joule στο σύστημα τη χρονική στιγμή t₁.

Δίνεται g =10 m/s². 

Απάντηση     word    pdf

Ανάλυση από τον Κώστα Ψυλάκο εδώ 

Επαναληπτικό διαγωνισμα

Ένα επαναληπτικό διαγώνισμα αφιερωμένο σε  όλα τα παιδιά που θέτουν στόχους και παλεύουν για να τους πετύχουν!

Οι εκφωνήσεις

Οι απαντήσεις

Ταλαντώσεις σε κάθετες διευθύνσεις

Το σώμα Σ₁ του διπλανού σχήματος είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Έχει μάζα m₁ = 1kg και ισορροπεί  ακίνητη στη θέση Ο.  Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται σε αυτήν είναι η δύναμη F η οποία είναι σταθερής διεύθυνσης και φοράς, με μέτρο F = 20N και η δύναμη Ν της οποίας ο φορέας είναι η ευθεία που διέρχεται από το σώμα Σ₁ και το σημείο Κ, η φορά της είναι πάντα προς το σημείο Κ και το μέτρο της δίνεται από τη σχέση Ν = 100·r (SI), όπου r η απόσταση του σώματος από το σημείο Κ.

  i)      Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ από τη θέση που ισορροπεί προς τα δεξιά (κατά τη θετική φορά του άξονα χ) κατά 0,1m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα χ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .

 ii)    Αντικαθιστούμε το σώμα Σ₁ με σώμα Σ₂  το οποίο επίσης είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο και έχει μάζα m₂ = 9 kg.  Το Σ₂ δέχεται τις ίδιες δυνάμεις με το Σ₁ και ισορροπεί στη θέση Ο.  Εκτρέπουμε το σώμα Σ₂ από τη θέση που ισορροπεί προς τη θετική φορά του άξονα ψ κατά 0,3m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα ψ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .

 iii )      Τοποθετούμε το σώμα Σ₁ στη θέση x = +0,1m  και το σώμα Σ₂  στη θέση y= +0,3m και τη χρονική στιγμή t₀ = 0 τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν.  Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα συγκρουστούν. 

 iv)    Η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική αμελητέας χρονικής διάρκειας.  Θεωρούμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης έχουν φορέα τον άξονα χ. Να βρείτε το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₂ κατά την κρούση. 

 v)  Να δώσετε τη γραφική παράσταση  για το σώμα Σ₁ από τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο μέχρι τη στιγμή που συμπληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση μετά την κρούση.

     Απάντηση

Ένας κύλινδρος και τρία βαρέλια

Ένας κύλινδρος και τρία βαρέλια αφήνονται ταυτόχρονα στην ίδια

απόσταση  από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. Ο κύλινδρος Α έχει μάζα Μ και είναι συμπαγής και ομογενής. Τα βαρέλια Β, Γ, Δ είναι κούφιοι κύλινδροι. Οι παράπλευρες επιφάνειες τους έχουν αμελητέο πάχος, είναι κατασκευασμένες από διαφορετικά υλικά αλλά έχουν την ίδια μάζα m. Οι βάσεις τους (τα καπάκια των βαρελιών) έχουν αμελητέα μάζα. Τα τρία βαρέλια είναι γεμάτα με διαφορετικό υγρό το κάθε ένα. Τα υγρά θεωρούνται ιδανικά χωρίς ιξώδες. Για τις μάζες των υγρών mΒ, mΓ, mΔ που περιέχουν τα βαρέλια γνωρίζουμε ότι mB=m, mΓ< m ,mΔ> m , όπου m η μάζα του κάθε βαρελιού. Τόσο ο κύλινδρος όσο και τα βαρέλια κυλάνε χωρίς ολίσθηση προς τη βάση του κεκλιμένου. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι I=0,5ΜR^2. Η σειρά με την οποία τα σώματα θα φτάσουν στη βάση του κεκλιμένου είναι:

α) Όλα μαζί.
β) Πρώτος ο κύλινδρος Α και στη συνέχεια ταυτόχρονα τα βαρέλια Β, Γ, Δ.
γ) Πρώτο το βαρέλι Δ. Στη συνέχεια φτάνουν ταυτόχρονα ο κύλινδρος Α και το βαρέλι Β και τελευταίο το βαρέλι Γ.

• Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή.
• Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απαντηση

Κι αν η επαφή πλατφόρμας – επιπέδου δεν είναι λεία;

 Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ , ίσων μαζών, τα οποία ισορροπούν ακίνητα πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Το επίπεδο επαφής των Σ₁ και Σ₂ είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι μ₁ = 0,6 , ενώ ο συντελεστής τριβής μεταξύ του οριζόντιου δαπέδου και του Σ₂ είναι μ₂ = 0,1.  Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 ένα βλήμα ίσης μάζας με καθένα από τα Σ₁ και Σ₂ συγκρούεται πλαστικά με το Σ₁ έχοντας ταχύτητα υ₀ = 12 m/s.  Η χρονική διάρκεια της κρούσης του βλήματος με το σώμα Σ₁ θεωρείται αμελητέα. Κάποια στιγμή μετά την κρούση το σώμα Σ₁ (έχοντας το  βλήμα σφηνωμένο μέσα του) και το σώμα Σ₂ αποκτούν την ίδια (κοινή) ταχύτητα.

i)          Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή της κρούσης τα σώματα Σ₁ – βλήμα και Σ₂ αποκτούν κοινή ταχύτητα;

ii)        Ποιο είναι το μέτρο της κοινής ταχύτητας που αποκτούν τα σώματα Σ₁ – βλήμα   και Σ₂;

iii)      Πόσο μετακινήθηκε το Σ₁ – βλήμα  πάνω στο σώμα Σ₂ μέχρι τη στιγμή αυτή;

iv)      Να υπολογίσετε αναλυτικά τα ποσοστά απώλειας μηχανικής ενέργειας του συστήματος από τη χρονική στιγμή t₀ = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή που τα σώματα αποκτούν κοινή ταχύτητα.  Η δυναμική ενέργεια θεωρείται ίση με μηδέν στο οριζόντιο επίπεδο που εξελίσσεται το φαινόμενο.

v)        Να μελετήσετε την κίνηση των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ μετά τη χρονική στιγμή που αποκτούν κοινή ταχύτητα.

vi)      Να απαντήσετε όλα τα προηγούμενα ερωτήματα αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ του οριζόντιου δαπέδου και του Σ₂ είναι μ₂ = 0,5.

Δίνεται g = 10 m/s². Οι μάζες των σωμάτων θεωρούνται σχετικά μικρές, το βλήμα και το σώμα Σ₁ θεωρούνται σημειακά σώματα και οι συντελεστές τριβής ολίσθησης και οριακής στατικής τριβής είναι ίσοι σε κάθε περίπτωση.

Απάντηση