Ένας κύλινδρος σε υγρό και μια τροχαλία

Ένας κύλινδρος μάζας  m = 8kg    και εμβαδού βάσης Α = 50.10^-3 m² επιπλέει όρθιος και ηρεμεί σε ισορροπία μέσα υγρό  όπως φαίνεται στο σχήμα 1. 

Το δοχείο που περιέχει το υγρό έχει εμβαδόν βάσης A₁ =  200 .10^-3m³ και στη θέση  αυτή η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται σε ύψος  h=1m από τον πυθμένα του δοχείου.

Α. Αγνοείστε την ατμοσφαιρική πίεση και υπολογίστε τη δύναμη που δέχεται ο πυθμένας του  δοχείου από το υγρό.

Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ = 1000kg/m³, και η επιτάχυνση της βαρύτητας  g = 10 m/s².

Β.  Δένουμε τον κύλινδρο σε κατακόρυφο  αβαρές και μη εκτατό νήμα  ( ιδανικό νήμα) , όπως στο σχήμα 2 και φέρνουμε το σύστημα  σε ισορροπία.

Η συνέχεια ΕΔΩ.

Κύλιση και ολίσθηση πάνω σε σανίδα που ολισθαίνει

Ένας συμπαγής κύλινδρος  μάζας m = 10 kg και ακτίνας R = 0,2m είναι τοποθετημένος και ηρεμεί πάνω σε μια σανίδα μάζας Μ = 5 kg  μεγάλου μήκους , η οποία  βρίσκεται πάνω σ’ ένα οριζόντιο και λείο επίπεδο όπως δείχνει το σχήμα.

Στην περιφέρεια  του κυλίνδρου υπάρχει ένα μικρό αυλάκι μέσα στο οποίο έχει τυλιχτεί ένα νήμα αμελητέας μάζας μη εκτατό.

Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κυλίνδρου και της σανίδας είναι μ = 0,1.

Τη χρονική στιγμή  t = 0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού,  οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F = 100N κατά την εφαπτομένη στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου.

H ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του είναι Ι = 0,5mR² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².

Α. Να εξετάσετε αν ο κύλινδρος ολισθαίνει ή όχι πάνω στην σανίδα.

Β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, την επιτάχυνση της σανίδας και την γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου.

Γ. Κάποια χρονική στιγμή t1 θα έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους  L = 2m.

Να υπολογίσετε τις τιμές  που θα έχουν τότε η  κινητική ενέργεια του κυλίνδρου και η  κινητική ενέργεια της σανίδας.

Δ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης  από τη χρονική στιγμή  t = 0  μέχρι τη χρονική στιγμή  t₁.

E. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής πάνω στη σανίδα από τη χρονική στιγμή  t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.

ΣΤ. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής πάνω στον κύλινδρο από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι την χρονική στιγμή  t₁ και το συνολικό έργο της τριβής.

Να επαληθεύσετε την αρχή της διατήρησης της ενέργειας με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα.

Σύντομη απάντηση

Δυο οπτικά μέσα - Φυσική και Γεωμετρία

Ένα διαφανές  ημισφαίριο (Ο , r) έχει δείκτη διάθλασης n₁ = 2·2^1/2 και περιβάλλεται από ένα διαφανή ημισφαιρικό φλοιό (O, R) με δείκτη διάθλασης  n₂ = 2 ,  όπως φαίνεται στο σχήμα , όπου R  η εξωτερική ακτίνα του φλοιού ,  με R = r·2^1/2

Το σύστημα περιβάλλεται από αέρα με δείκτη διάθλασης n = 1.

Μια σημειακή φωτεινή πηγή βρίσκεται στο σημείο Α , σε απόσταση  d=0,5·r·2^1/2 από το κέντρο Ο,  και εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία.

i). Να υπολογίσετε την κρίσιμη γωνία γ_c  μεταξύ φλοιού – αέρα και την αντίστοιχη δ_c ,  μεταξύ ημισφαιρίου και φλοιού.

ii) . Μια φωτεινή ακτίνα  (1) , ξεκινά από την πηγή , περνά στον φλοιό και πέφτει  σε ένα σημείο Γ της εξωτερικής του επιφάνειας αριστερά της ΟΚ , υπό γωνία προσπτώσεως ίση με την κρίσιμη γ_c.

Να υπολογίσετε την γωνία προσπτώσεως της ακτίνας αυτής , στη διαχωριστική επιφάνεια ημισφαιρίου – φλοιού.

iii) . Μια δεύτερη φωτεινή ακτίνα (2) , ξεκινά από την πηγή και πέφτει σ’ ένα σημείο Δ της επιφάνειας του ημισφαιρίου δεξιά της ΟΚ , υπό γωνία προσπτώσεως ίση με την κρίσιμη δ_c.

Να υπολογίσετε τη  γωνία που σχηματίζουν  οι ακτίνες (1) και (2) μεταξύ τους.

iv).  Αν θεωρηθεί γνωστό το R , να υπολογίσετε πόσο απέχουν τα σημεία Γ και Δ από τα αντιδιαμετρικά τους Γ΄και Δ΄ αντίστοιχα,  στα οποία η γωνίες πρόσπτωσης είναι οι κρίσιμες.

                            

Απάντηση

Ένα πρόβλημα οπτικής με τέσσερεις πλάκες

Τέσσερεις  γυάλινες πλάκες , είναι τοποθετημένες η μια πάνω στην άλλη και φτιάχνουν μια κατακόρυφη γυάλινη στήλη , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Η πλάκα που βρίσκεται στη βάση της στήλης,  έχει δείκτη διάθλασης n₁ = 5^(1/2)  και πάχος d₁ , η αμέσως επόμενη δείκτη διάθλασης  n₂ = 2  και  πάχος d₂ ,  η τρίτη  n₃ , d₃ αντίστοιχα και η τελευταία,   έχει δείκτη διάθλασης n₄. Τρεις ακτίνες μονοχρωματικού φωτός , ξεκινάνε ταυτόχρονα από τα σημεία Α₁ , Α₂ , Α₃ και φτάνουν την ίδια χρονική στιγμή στα Β₂ , Β₃ , Β₄ με γωνίες προσπτώσεως ίσες με τις κρίσιμες γωνίες στα σημεία αυτά.

Αν Α₁Β₁ = Α₂Β₂ = Α₃Β₃ = Α₄Β₄ = d = 20mm:

Η συνέχεια ΕΔΩ

Ενέργεια , θέση , μετατόπιση και διάστημα σε απλή αρμονική ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας  m = 2 kg, είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου,  και ηρεμεί πάνω οριζόντιο επίπεδο, με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος όπως φαίνεται στο σχήμα 1.

Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο.

Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης  μεταξύ σώματος και οριζόντιου επιπέδου είναι μ =0,2.  

Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να μετακινήσουμε το σώμα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κατά d = 0,2 m πάνω στο οριζόντιο επίπεδο είναι Ε1 = 4,8J.

Στερεώνεται το ένα άκρο του ελατηρίου σε οροφή όπως φαίνεται στο σχήμα 2, και το σώμα ηρεμεί σε ισορροπία  ( x = 0 ) στο κάτω άκρο του . Στη θέση αυτή δέχεται  ενέργεια Ε2 =  (5/3) Ε1 , με αποτέλεσμα  να αρχίσει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση  κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου , χωρίς αρχική φάση.

A. Να υπολογίσετε:

Η συνέχεια ΕΔΩ

Η περιπέτεια ενός σώματος, που κάνει πολλές απλές αρμονικές ταλαντώσεις

Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις,  και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ένα σώμα Σ  βάρους w , είναι δεμένο στο  δεξιό  άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k ,  που έχει το άλλο του άκρο ακλόνητο.  Το σώμα αρχικά ηρεμεί σε ισορροπία  σε  μια  σανίδα ΑΒ  μήκους  ℓ πάνω στην οποία,  μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Το σύστημα συγκρατείται με τη σανίδα οριζόντια, σε ύψος ℓ/2 από το  πάτωμα.

Η σανίδα , μπορεί να στρέφεται  γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το άκρο της Β ,  και την τέμνει κάθετα όπως φαίνεται στο σχήμα.  Αφήνουμε τη σανίδα να περιστραφεί πολύ αργά , μέχρι το αριστερό άκρο της να ακουμπήσει στο  πάτωμα χωρίς ταχύτητα.

Α. Η μέγιστη απόσταση που διανύει  το σώμα κατά μήκος της σανίδας,  από την αρχική του θέση μέχρι να σταματήσει στιγμιαία  είναι :

Η συνέχεια ΕΔΩ

Διαφορές φάσεων και μήκος κύματος

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα , διαδίδεται πάνω σε μια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους.  Δυο σημεία Α, Β του κύματος που βρίσκονται στις θέσεις x_A , x_B με x_Β-x_Α = 5m  ταλαντώνονται  την ίδια χρονική στιγμή με φάσεις  φ_Α , φ_Β  όπου φ_Α-φ_Β = 2kπ , k = 1, 2, 3, 4, ...ενώ δυο  άλλα σημεία Γ , Δ βρίσκονται στις θέσεις x_Γ , x_Δ με x_Δ-x_Γ = 1,5 m και ταλαντώνονται με  φάσεις φ_Γ , φ_Δ όπου  φ_Γ-φ_Δ=(2Ν+1)π , N = 0,1,2,3,...

Το μήκος κύματος λ είναι 

Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση