Δύο κύματα διαδίδονται αντίθετα

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δύο όμοια εγκάρσια αρμονικά κύματα (1) και (2) και τη στιγμή t₀=0, φτάνουν στα σημεία Ο και Ρ, όπως στο σχήμα, όπου (ΟΡ)=5m. Θεωρώντας το σημείο Ο, ως αρχή ενός προσανατολισμένου συστήματος αξόνων (x,y)=(0,0), η εξίσωση του πρώτου κύματος, το οποίο διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση είναι της μορφής: 

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του δεύτερου κύματος, το οποίο διαδίδεται προς τα αριστερά, στο ίδιο σύστημα αξόνων.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα προκύψει από την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Αφού πρώτα βρείτε τη συνάρτηση y=f(x), για την απομάκρυνση κάθε σημείου του μέσου, μεταξύ Ο και Ρ, σε συνάρτηση με την θέση του, να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου, τις χρονικές στιγμές:

α) t_α=1,5s,   β)  t_β=3s  και  t_γ=3,5s.

iv) Να βρεθεί η ταχύτητα ταλάντωσης ενός  σημείου Β, στη θέση x=1,75m τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

Απάντηση:

ή

 Δύο κύματα διαδίδονται αντίθετα

Δύο κύματα διαδίδονται αντίθετα

Μελετώντας ένα στάσιμο κύμα

 

Πάνω σε μια ελαστική χορδή με σταθερά τα δυο της άκρα Κ και Λ, έχει σχηματισθεί ένα στάσιμο κύμα και τη στιγμή t₀=0 η μορφή της είναι αυτή του σχήματος, όπου το σημείο Β, το οποίο απέχει οριζόντια απόσταση 0,25m από το άκρο Κ έχει απομάκρυνση y_Β=0,2m (τα θετικά προς τα πάνω) και μηδενική ταχύτητα ταλάντωσης. Στο διάγραμμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Β, σε  συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης ενός τρέχοντος κύματος κατά μήκος της  χορδής αυτής είναι υ=12m/s, ενώ ένα σημείο Ο μεταξύ Κ και Δ, απέχει οριζόντια 0,75m από το Κ.

i)   Να υπολογιστεί το μήκος (ΚΛ) της χορδής, τη στιγμή που όλα τα σημεία της περνούν από τη θέση ισορροπίας τους.

ii)  Να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση της φάσης φ=f(t) για τα σημεία Ο και Γ.

iii) Για να μπορέσουμε να γράψουμε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, θεωρούμε ως αρχή του άξονα x τη θέση του σημείου Ο, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.

α) Να βρεθεί το μέγιστο πλάτος του στάσιμου κύματος.

β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

Απάντηση:

ή

Μελετώντας ένα στάσιμο κύμα

Μελετώντας ένα στάσιμο κύμα

Δύο όμοια στιγμιότυπα

 

Στο σχήμα βλέπετε στιγμιότυπα δύο κυματομορφών, μιας περιοχής δύο όμοιων γραμμικών ελαστικών μέσων (δύο όμοιων χορδών) τα οποία ελήφθησαν μια χρονική στιγμή t₁. Η μορφή (Ι) δείχνει τμήμα της πρώτης χορδής όταν πάνω της διαδίδεται ένα τρέχον κύμα, ενώ η (ΙΙ), όταν στην δεύτερη χορδή έχει σχηματισθεί ένα στάσιμο κύμα. Στο σχήμα επίσης φαίνεται η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β της πρώτης χορδής. Δίνεται ακόμη ότι το πλάτος του τρέχοντος κύματος Α, είναι ίσο με το μέγιστο πλάτος του στάσιμου κύματος Α, ενώ τα σημεία Γ και Λ έχουν ίσες απομακρύνσεις y=+A.

i)  Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες όλων των σημείων που έχουν σημειωθεί.

ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα στην διάρκεια μιας ταλάντωσης θα αποκτήσει:

α) το σημείο Γ,   β) το σημείο Λ,  γ) τα δύο σημεία θα αποκτήσουν ταχύτητες με ίσα πλάτη.

iii) Αν Δφ₁ η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Γ και Ε και Δφ₂ η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Λ και Ν, ισχύει:

α) Δφ₁ < Δφ₂,        β) Δφ₁ = Δφ₂,         γ) Δφ₁ > Δφ₂.

iv) Να σχεδιάσετε αντίστοιχο σχήμα που να εμφανίζονται ξανά τα δύο στιγμιότυπα (για τις ίδιες περιοχές), μετά από χρόνο Δt= 1/8 Τ, όπου Τ η περίοδος του τρέχοντος κύματος.

Απάντηση:

ή

Δύο όμοια στιγμιότυπα

Δύο όμοια στιγμιότυπα

Μια ανάκλαση κύματος σε τοίχο

  Κατά μήκος ενός ελαστικού νήματος, το ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο σε τοίχο, διαδίδεται ένας παλμός, όπως στο σχήμα, τον οποίο προσεγγίζουμε με ημιτονοειδή καμπύλη.

i)  Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή του νήματος, τη στιγμή που το σημείο Γ φτάνει στον τοίχο;

ii) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή του νήματος, τη στιγμή που το σημείο B φτάνει στον τοίχο;

 

ii)  Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή του νήματος, τη στιγμή που το σημείο Α φτάνει στον τοίχο;

 

Να δώσετε σύντομες δικαιολογήσεις για τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ή

 Μια ανάκλαση κύματος σε τοίχο

Μια ανάκλαση κύματος σε τοίχο

Μια συμβολή δύο ημιτονοειδών παλμών

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δυο ημιτονοειδείς παλμοί με το ίδιο πλάτος Α και το ίδιο μήκος κύματος λ. Σε μια στιγμή t₀=0 οι παλμοί φτάνουν στα σημεία Γ και Δ, όπου  (ΓΔ)=λ/2, όπως στο σχήμα. 

 

Τη στιγμή αυτή το σημείο Β έχει ταχύτητα ταλάντωσης μέτρου u.

i)  Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ και Δ. Ποια τα μέτρα των ταχυτήτων ταλάντωσης των σημείων Γ και Δ;

ii)   Αν οι δύο παλμοί συναντηθούν στο σημείο Μ τη στιγμή t₁:

α) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή αυτή.

β)  Ποιες οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Μ και Δ  την στιγμή αυτή;

iii)  Σε μια στιγμή το 1^ο κύμα φτάνει στο σημείο Δ. Για τη στιγμή αυτή:

α) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου.

β)  Ποιες οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Μ και Δ;

Απάντηση:

ή

 Μια συμβολή δύο ημιτονοειδών παλμών

 Μια συμβολή δύο ημιτονοειδών παλμών

Δυο εξισώσεις δύο αρμονικών κυμάτων

Κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων και από αριστερά προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α και την ίδια ταχύτητα διάδοσης u. Τη στιγμή t₀=0, το πρώτο κύμα (Ι) φτάνει στο σημείο Κ, ενώ το δεύτερο (ΙΙ) στο σημείο Ο, στη θέση x=0, όπως παρουσιάζονται στο παραπάνω σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κύματος y=f(x,t) για το πρώτο κύμα παίρνει τη μορφή:

ii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) του σημείου Ο, στη θέση x=0, λόγω του κύματος (Ι) και ποια η αντίστοιχη εξίσωση λόγω του κύματος (ΙΙ);

iii) Να αποδειχθεί ότι και το δεύτερο κύμα (ΙΙ), έχει την ίδια εξίσωση κύματος (1),  με το κύμα (Ι).

iv) Να σχεδιάσετε ένα ποιοτικό διάγραμμα για το στιγμιότυπο του κύματος (ΙΙ), τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Κ.

Απάντηση:

ή

 Δυο εξισώσεις δύο αρμονικών κυμάτων 

 Δυο εξισώσεις δύο αρμονικών κυμάτων 

Από ένα στιγμιότυπο κύματος

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει στην αρχή Ο, ενός συστήματος αξόνων x,y. Στο σχήμα βλέπουμε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=0,9s, όπου το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική απομάκρυνσή του y_Ο=+0,2m.

i) Να βρεθούν το μήκος κύματος, η περίοδος και η ταχύτητα του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Ένα σημείο Κ βρίσκεται στη θέση x_K=4/3m.

α) Να βρεθεί η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Κ, τη στιγμή t₁.

β) Να βρεθεί η απομάκρυνση το σημείου Κ, από τη θέση ισορροπίας του, τις χρονικές στιγμές:

a)  t₂=0,6s   και b)   t₃=29/30s.

Απάντηση:

ή

  Από ένα στιγμιότυπο κύματος

Από ένα στιγμιότυπο κύματος

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα βλέπουμε τη μορφή του μέσου μια χρονική στιγμή t₁.

 

α) Για την παραπάνω χρονική  στιγμή t₁:

i) Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, είναι προς τα δεξιά.

ii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Γ είναι ίση με π (rad).

iii) Το σημείο Δ έχει μηδενική ταχύτητα και μέγιστη επιτάχυνση.

iv) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ, έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του κύματος, τότε η απόσταση (ΟΓ) και το πλάτος του κύματος συνδέονται με τη σχέση (ΟΓ)=πΑ.

v) Το κύμα έφτασε στην αρχή του άξονα Ο, τη χρονική στιγμή t₂=t₁-T, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σημείου Ο.

vi) Τη χρονική στιγμή που το σημείο Ο έχει φάση απομάκρυνσης φ=5π (rad), το σημείο Β έχει εκτελέσει 1,5 ταλάντωση.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παραπάνω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

β) Να σχεδιάσετε την μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₃=t₁+T/8. Στην εικόνα να φαίνονται και οι θέσεις των  σημείων Β, Γ, Δ και Ο.

Απάντηση:

ή

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, εκτελώντας ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(6t)  (μονάδες στο S.Ι.), σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από τη θέση Ο, θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.

 Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης F, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, παίρνουμε την εξίσωση x=0,2∙ημ(5t)  (S.Ι.), για την απομάκρυνση του σώματος.

Για μια θέση με απομάκρυνση x, όπου το σώμα κινείται προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα:

i) Αν υ₁ η ταχύτητα στην περίπτωση της ΑΑΤ και υ₂ η ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β) υ₁ = υ₂,     γ) υ₁ > υ₂.

ii)  Αν α₁ και α₂ τα μέτρα των αντίστοιχων επιταχύνσεων, τότε:

α) α₁ < α₂,    β) α₁ = α₂,     γ) α₁ > α₂.

iii) Σε ποια περίπτωση η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη; Στην ΑΑΤ ή στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, για την ίδια απομάκρυνση x;

Αν dU1/dt =λ και dU2/dt=μ οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας, ισχύει:

α) λ < μ,    β) λ = μ,     γ) λ > μ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί αατ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Παίρνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι x=0,5ημ(10t)  μονάδες στο S.I. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα περνά από μια θέση Γ με απομάκρυνση x₁=0,3m, κινούμενο προς τα δεξιά (με θετική ταχύτητα), όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, καθώς και η επιτάχυνσή του στη θέση Γ.

ii) Να υπολογιστούν η κινητική και δυναμική ενέργεια ταλάντωσης στην παραπάνω θέση.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (dK/dt, dU/dt) στην θέση Γ.

iv) Αν στο σώμα αυτό, ασκείτο και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ =-2υ  (S.I.) και δίναμε αρχικά κάποια ενέργεια στο σώμα για να ταλαντωθεί, αφού υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση Γ, να απαντηθούν τα αντίστοιχα ερωτήματα ii) και iii), αν δίνεται  ότι στη θέση x₁=0,3m το  σώμα κινείται επίσης προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u₁=2m/s;

Απάντηση:

ή

 Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

  

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στη θέση Γ, δεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ενώ ταυτόχρονα είναι δεμένο στο άκρο ενός νήματος, μήκους l₁=0,4m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί μια κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, γύρω από μια θέση ισορροπίας Ο, όπου θεωρώντας την θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η απομάκρυνση έχει εξίσωση:

i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη (κατά μέτρο) ταχύτητα και η μέγιστη (κατά μέτρο) επιτάχυνση, που αποκτά το  σώμα Σ, κατά την ταλάντωσή του.

ii)  Να αποδείξετε ότι το ελατήριο στην αρχική θέση Γ, είχε συσπειρωθεί.

iii) Αν το σώμα Σ έχει μάζα m=1kg να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος, πριν αυτό κοπεί.

iv) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια:

α) της ταλάντωσης  και  β) του ελατηρίου.

Σε ποιες θέσεις οι παραπάνω ενέργειες παίρνουν τις τιμές αυτές;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση του μήκους του ελατηρίου, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση