Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα βλέπουμε τη μορφή του μέσου μια χρονική στιγμή t₁.

 

α) Για την παραπάνω χρονική  στιγμή t₁:

i) Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, είναι προς τα δεξιά.

ii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Γ είναι ίση με π (rad).

iii) Το σημείο Δ έχει μηδενική ταχύτητα και μέγιστη επιτάχυνση.

iv) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ, έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του κύματος, τότε η απόσταση (ΟΓ) και το πλάτος του κύματος συνδέονται με τη σχέση (ΟΓ)=πΑ.

v) Το κύμα έφτασε στην αρχή του άξονα Ο, τη χρονική στιγμή t₂=t₁-T, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σημείου Ο.

vi) Τη χρονική στιγμή που το σημείο Ο έχει φάση απομάκρυνσης φ=5π (rad), το σημείο Β έχει εκτελέσει 1,5 ταλάντωση.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παραπάνω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

β) Να σχεδιάσετε την μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₃=t₁+T/8. Στην εικόνα να φαίνονται και οι θέσεις των  σημείων Β, Γ, Δ και Ο.

Απάντηση:

ή

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, εκτελώντας ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(6t)  (μονάδες στο S.Ι.), σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από τη θέση Ο, θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.

 Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης F, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, παίρνουμε την εξίσωση x=0,2∙ημ(5t)  (S.Ι.), για την απομάκρυνση του σώματος.

Για μια θέση με απομάκρυνση x, όπου το σώμα κινείται προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα:

i) Αν υ₁ η ταχύτητα στην περίπτωση της ΑΑΤ και υ₂ η ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β) υ₁ = υ₂,     γ) υ₁ > υ₂.

ii)  Αν α₁ και α₂ τα μέτρα των αντίστοιχων επιταχύνσεων, τότε:

α) α₁ < α₂,    β) α₁ = α₂,     γ) α₁ > α₂.

iii) Σε ποια περίπτωση η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη; Στην ΑΑΤ ή στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, για την ίδια απομάκρυνση x;

Αν dU1/dt =λ και dU2/dt=μ οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας, ισχύει:

α) λ < μ,    β) λ = μ,     γ) λ > μ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί αατ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Παίρνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι x=0,5ημ(10t)  μονάδες στο S.I. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα περνά από μια θέση Γ με απομάκρυνση x₁=0,3m, κινούμενο προς τα δεξιά (με θετική ταχύτητα), όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, καθώς και η επιτάχυνσή του στη θέση Γ.

ii) Να υπολογιστούν η κινητική και δυναμική ενέργεια ταλάντωσης στην παραπάνω θέση.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (dK/dt, dU/dt) στην θέση Γ.

iv) Αν στο σώμα αυτό, ασκείτο και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ =-2υ  (S.I.) και δίναμε αρχικά κάποια ενέργεια στο σώμα για να ταλαντωθεί, αφού υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση Γ, να απαντηθούν τα αντίστοιχα ερωτήματα ii) και iii), αν δίνεται  ότι στη θέση x₁=0,3m το  σώμα κινείται επίσης προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u₁=2m/s;

Απάντηση:

ή

 Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

  

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στη θέση Γ, δεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ενώ ταυτόχρονα είναι δεμένο στο άκρο ενός νήματος, μήκους l₁=0,4m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί μια κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, γύρω από μια θέση ισορροπίας Ο, όπου θεωρώντας την θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η απομάκρυνση έχει εξίσωση:

i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη (κατά μέτρο) ταχύτητα και η μέγιστη (κατά μέτρο) επιτάχυνση, που αποκτά το  σώμα Σ, κατά την ταλάντωσή του.

ii)  Να αποδείξετε ότι το ελατήριο στην αρχική θέση Γ, είχε συσπειρωθεί.

iii) Αν το σώμα Σ έχει μάζα m=1kg να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος, πριν αυτό κοπεί.

iv) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια:

α) της ταλάντωσης  και  β) του ελατηρίου.

Σε ποιες θέσεις οι παραπάνω ενέργειες παίρνουν τις τιμές αυτές;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση του μήκους του ελατηρίου, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Ενισχύοντας μια ταλάντωση

 

Ένα  σώμα Σ μάζας 2kg ταλαντώνεται με πλάτος Α1=0,2m, στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου  σταθεράς k=200N/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί  σε σταθερό σημείο Γ, γύρω από μια θέση ισοροοπίας Ο, όπως στο σχήμα. 

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, καθώς η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. 

Σε μια στιγμή που το σώμα περνά από το Ο, με κατεύθυνση προς τα κάτω (την θετική κατεύθυνση), ασκούμε στο σώμα μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, μέχρι να διανύσει απόσταση Δy=0,2m. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα στη συνέχεια, να εκτελέσει μια νέα αατ με πλάτος Α2=0,4m.  

ii) Αφού αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης F είναι ίσο με την μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος, να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης.  

iii) Πόσο % μετέβαλλε την ενέργεια ταλάντωσης και πόσο % την περίοδο ταλάντωσης του σώματος Σ, η δράση της δύναμης F; 

iii) Ποια η ισχύς της  δύναμης F, στις θέσεις y0 =0 και y1=0,2m; 

Απάντηση:

ή

 Ενισχύοντας μια ταλάντωση

 Ενισχύοντας μια ταλάντωση

Μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο αατ

 

Ένα σώμα Α μάζας m1=2kg είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και εκτελεί αατ σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με πλάτος Αο=0,5m. Ένα δεύτερο σώμα Β μάζας m2=1kg κινείται με ταχύτητα υ2=12m/s κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α. Θεωρείστε την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, ενώ η κρούση έχει απειροελάχιστη διάρκεια.  

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α, μετά την κρούση, αν αυτή πραγματοποιείται σε μια στιγμή που έχει μηδενική ταχύτητα. 

ii) Αν η κρούση γίνει τη στιγμή που το σώμα Α περνά από την θέση ισορροπίας του, πόση θα  είναι τελικά η ενέργεια της νέας ταλάντωσής του, μετά την κρούση; 

iii) Αν το σώμα Α μετά την κρούση έχει την μέγιστη δυνατή ενέργεια ταλάντωσης: 

α) Να βρεθεί η μέγιστη αυτή ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α. 

β) Να βρεθεί η θέση της κρούσης, καθώς και η ταχύτητα του Α ελάχιστα πριν την κρούση. 

Απάντηση: 

ή

 Μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο αατ

Μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο αατ