Κατακόρυφη ταλάντωση και ολική ανάκλαση

α) Να υπολογιστούν:

α₁) Η ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο νερό.

α₂) Ο δείκτης διάθλασης του νερού για την δεδομένη ακτινοβολία.

α₃) Η κρίσιμη γωνία εξόδου της ακτινοβολίας από νερό προς τον αέρα.

β) Να γραφεί η χρονική εξίσωση του μαγνητικού πεδίου της ακτινοβολίας στο νερό, θεωρώντας ότι τα δύο πεδία είναι συμφασικά.

γ) Να υπολογιστεί το ύψος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού που βρίσκεται η φωτεινή πηγή.

δ) Κάποια στιγμή που θεωρείται ως t=0 η φωτεινή πηγή αρχίζει να κινείται από το σημείο Ο(y=0) κατακόρυφα προς τα πάνω σε διεύθυνση που διέρχεται από το κέντρο Κ της επιφάνειας του υγρού εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ=1,5 s. Εάν κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης φωτίζεται στιγμιαία ολόκληρη η επιφάνεια του υγρού, να υπολογίσετε:

δ₁) το πλάτος Α και η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης της ταλάντωσης της φωτεινής πηγής, θεωρώντας ως θετική την φορά προς τα κάτω

δ₂) για πόσο χρόνο στη διάρκεια κάθε περιόδου το εμβαδόν του φωτεινού δίσκου είναι μεγαλύτερο από το 81% του εμβαδού της επιφάνειας του υγρού.

Για τον αέρα θεωρείστε δείκτη διάθλασης n_αερ=1 και ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο κενό c=3^.10⁸m/s.

Λύση:

Μία σύνθεση ταλαντώσεων

Ένα σώμα μάζας m=0,2kg εκτελεί μία α.α.τ. της οποίας η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων απομάκρυνσης δύο άλλων απλών αρμονικών ταλαντώσεων με x1=(1/2)ημ(20t+φο1)(S.I.) και x2=((3^1/2)/2)ημ(20t+2π/3)(S.I.)

Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα είναι Α=1m.

α. Να υπολογίσετε την αρχική φάση φ_ο,1 της αρμονικής ταλάντωσης με εξίσωση x₁=f(t), διακρίνοντας δύο περιπτώσεις.

β. Να γράψετε της εξίσωση της ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο, εάν _φο2>φο1.

γ. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το έργο της δύναμης επαναφοράς είναι για 1^η φορά μετά την t=0 ίσο με W_ΣFεπ=+E/4, όπου Ε η ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης.

δ. Όταν το σώμα διέρχεται από την θέση x=+0,5m απομακρυνόμενο την θέση ισορροπίας του, να υπολογίσετε:

δ₁) τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του

δ₂) τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής του ενέργειας

δ₃) τον χωρικό ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης .

Λύση:

Φαινόμενο Doppler: Ήχος που φτάνει και ήχος που θα φτάσει

Περιπολικό ξεκινά να κινείται τη χρονική στιγμή t=0 από την ηρεμία και η ταχύτητα του αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 2m/s² και ταυτόχρονα ενεργοποιεί την σειρήνα του, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας 990Ηz. Στην διεύθυνση κίνησης του περιπολικού και σε απόσταση s=1045m από το σημείο που ξεκίνησε βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής Α, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να υπολογιστούν:

α) τη συχνότητα με την οποία αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τον ήχο της σειρήνας την χρονική στιγμή t₁=8s,

β) τη συχνότητα του ήχου που φτάνει στον παρατηρητή την χρονική στιγμή t₁=8s.

Λύση:

Ζεύγος δυνάμεων - Κύλιση - Κρούση

Ομογενής σφαίρα μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,5m ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, με την κατακόρυφη διάμετρό της να απέχει απόσταση s=60,5m από λείο κατακόρυφο τοίχωμα. Από την χρονική στιγμή t=0 και μετά ασκούνται σε σημεία της κάθε φορά κατακόρυφης διαμέτρου που ισαπέχουν κατά x από το κέντρο, δύο οριζόντιες σταθερές δυνάμεις F1 και F2 , οι οποίες έχουν ίσα μέτρα(F₁=F₂=F) και αντίθετες κατευθύνσεις, προκαλώντας συνολική ροπή ως προς το κέντρο Ο μέτρου 2Ν^.m.

α) Να υπολογιστούν το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας  και της γωνιακής επιτάχυνσης της σφαίρας.

β) Να βρεθεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας την χρονική στιγμή t=2s.

Την χρονική στιγμή t₁=2s, η δύναμη F2 καταργείται και ταυτόχρονα εκτοξεύεται η σφαίρα με ταχύτητα uo,cm   ώστε αμέσως μετά να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, υπό την επίδραση μόνον της F1.

γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας u_o,cm.

δ) Να υπολογιστεί η απόσταση των φορέων των δυνάμεων και το μέτρο των δυνάμεων αυτών.

Η δύναμη F1 ασκείται μέχρι και λίγο πριν η σφαίρα συγκρουστεί με το λείο τοίχωμα. Να βρεθούν:

ε) η χρονική στιγμή t₂ της σύγκρουσης της σφαίρας με το τοίχωμα

στ) το έργο της F1 δύναμης από την χρονική στιγμή t=0 μέχρι την κατάργησή της.

ζ) τα μέτρα των ταχυτήτων του σημείου επαφής της σφαίρας με το δάπεδο και του ανώτερου σημείου της περιφέρειας της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Icm=(2/5)MR^2 

Λύση: