Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

 

Μια σφαίρα Α ακτίνας 2cm, κινείται στο χώρο, εκτός πεδίου βαρύτητας, με το κέντρο της Κ να έχει σταθερή ταχύτητα υ1 κατά μήκος μιας ευθείας (ε), χωρίς να περιστρέφεται. Μια δεύτερη σφαίρα Β, κέντρου Ο και ακτίνας 3cm, είναι ακίνητη. Σχεδιάζοντας ένα σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας (το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο που ορίζει η διάκεντρος ΚΟ και η ταχύτητα υ1), η ευθεία (ε) εφάπτεται στη σφαίρα Β. Αν η κρούση  που θα ακολουθήσει είναι ελαστική, ενώ οι σφαίρες έχουν ίσες μάζες και οι επιφάνειές τους είναι λείες:

i) Σε ποιες διευθύνσεις θα κινηθούν οι δυο σφαίρες μετά την κρούση;

ii) Αν λ ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δύο σφαιρών, μετά την κρούση (Κ1/Κ2=λ), τότε:

α) λ < 0,5,    β) λ = 0,5,   γ) λ > 0,5.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=2kg και m2=1kg αντίστοιχα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Το σώμα Α βρίσκεται επίσης σε επαφή (χωρίς να είναι δεμένο) με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=88Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε το Α σώμα προς τα αριστερά κατά d=0,5m, συμπιέζοντας το ελατήριο και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο, τη στιγμή t0=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β, όπου η κρούση είναι ακαριαία.

i) Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί.

ii) Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Ποια η ορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων:

α)  αμέσως μετά την κρούση τη στιγμή t0+.

β) τη χρονική στιγμή t1=1s.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κινούνται στην ίδια ευθεία, χωρίς να περιστρέφονται, δύο  σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m, αντίστοιχα, οι οποίες κάποια στιγμή συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν πριν την κρούση η Α σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου υ1 με φορά προς τα δεξιά.

i)   Υποστηρίζεται η άποψη ότι η σφαίρα Α θα επιβραδυνθεί, εξαιτίας της δύναμης που θα δεχτεί από την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα μετά την κρούση να έχει ταχύτητα με μέτρο μικρότερο από υ1. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.

ii)  Αν μετά την κρούση η σφαίρα Α έχει την ελάχιστη δυνατή κινητική ενέργεια, να βρεθεί η ταχύτητα της Β σφαίρας πριν την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής της σφαίρας Β, που οφείλεται στη κρούση.

Απάντηση:

ή

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 Κάτι σαν φύλλο εργασίας

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά α. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου κάποια στιγμή τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά.

Αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω διάγραμμα x=f(t), να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

i) Να εξηγήσετε γιατί έχουμε κρούση των δύο σωμάτων τη στιγμή t₁. Σε ποια θέση έγινε η κρούση αυτή; 

ii) Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική. 

iii) Πόσες κρούσεις μεταξύ των δύο σωμάτων έχουμε, μέχρι τη στιγμή 4t₁;

Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

iv) Σε τι ποσοστό αυξήθηκε η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁, λόγω της πρώτης κρούσης; 

v) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ το οποίο μεταφέρεται στο Σ₁, κατά την κρούση αυτή. 

vi) Να υπολογιστεί συναρτήσει της σταθεράς του ελατηρίου k και της αρχικής του συσπείρωσης  α, η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂, τις χρονικές στιγμές t=0 και t΄=4t₁. 

vii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₂ έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα Σ₁. 

viii) Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα, ελάχιστα πριν την πρώτη κρούση;

Απάντηση:

ή

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

 

Μια σφαίρα μάζας m=1kg, είναι δεμένη στο κάτω άκρο αβαρούς και μη ελαστικού νήματος, μήκους l=1,25m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Η σφαίρα ηρεμεί στη θέση Α, με το νήμα κατακόρυφο, σε επαφή με ένα σώμα Σ1, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Β, με το νήμα οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στη θέση Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ1 και στη συνέχεια επιστρέφει φτάνοντας μέχρι τη θέση Γ, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ, όπου συνφ=0,64, ενώ το Σ1 μετακινείται κατά x1=1m, στο οριζόντιο επίπεδο, όπου και σταματά.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Α, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση. 

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας στη διάρκεια της κρούσης. 

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 μετά την κρούση καθώς και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που παρουσιάζει με το επίπεδο. 

iv) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αντικαθιστώντας το σώμα Σ1, με ένα άλλο σώμα Σ2, το οποίο παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο, ενώ η σφαίρα αφήνεται να κινηθεί τώρα από την θέση Γ. Αν μετά την κεντρική ελαστική κρούση το σώμα Σ2 διανύει απόσταση x2=2,25m στο οριζόντιο επίπεδο και σταματά, να βρείτε την μάζα του m2.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

 

Πάνω σε ένα μη λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί ένα σώμα Σ1 μάζας m1=2kg, στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=1kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με κατεύθυνση προς το σώμα Σ1, με το οποίο μετά από λίγο συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά. Τα δυο σώματα παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο μ=0,45. Μετά την κρούση το Σ1 αφού συμπιέσει το ελατήριο κατά Δl=0,4m όταν μηδενίζεται η ταχύτητά του στη θέση Β, επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση Ο.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 καθώς και η επιτάχυνσή του, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση της μέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου Β, ελάχιστα πριν τον μηδενισμό της ταχύτητάς του και ελάχιστα μετά όταν αρχίσει να κινείται προς τα αριστερά.

iii) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας  του σώματος Σ2 μεταφέρθηκε στο σώμα Σ1 κατά την κρούση;

iv) Να βρεθεί η τελική απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν πάψει η κίνησή τους.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

Θα μετακινηθεί το βαρύ σώμα;

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=2kg και m2=7kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζουν συντελεστές τριβής μ=μs=0,4, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=70Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του. Ένα τρίτο σώμα Γ, το οποίο επίσης παρουσιάζει με το επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4,  μάζας m=1kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και συγκρούεται  ακαριαία, κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α, έχοντας τη στιγμή της κρούσης ταχύτητα u=3m/s.

i) Ποιες οι ταχύτητες των τριών σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση;

ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος αμέσως μετά την κρούση; 

iii) Σε μια στιγμή t1, το σώμα Α έχει μετατοπισθεί κατά Δx=0,2m. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

 α) Η ταχύτητα το σώματος Α. 

β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Α και ο ρυθμός αύξησης της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου.

iv) Να εξετασθεί αν θα μετακινηθεί το σώμα Β κάποια στιγμή ή όχι.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ δεχόμαστε ότι η οριακή στατική τριβή είναι ίση με την τριβή ολίσθησης.

Απάντηση:

ή

Θα μετακινηθεί το βαρύ σώμα;

Θα μετακινηθεί το βαρύ σώμα;

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, εμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m. Μια σφαίρα Σ με διάμετρο ίση με το ύψος του σώματος Α και μάζα m=0,5kg κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με σταθερή ταχύτητα υ=0,9m/s και τη στιγμή t=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Για το σύστημα των σωμάτων Α και Β, να βρεθούν:

 α) Η μέγιστη και η ελάχιστη κινητική ενέργεια του συστήματος.

 β) Οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, τη στιγμή t1, όπου για πρώτη φορά παρουσιάζεται η ελάχιστη κινητική ενέργεια του συστήματος.

 γ) Η μέγιστη ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει τη στιγμή t2 για πρώτη φορά το σώμα Β. Πόση ταχύτητα θα έχει τη στιγμή αυτή το σώμα Α;

iii) Για καθηγητές μόνο: Να βρεθούν οι παραπάνω αναφερόμενες χρονικές στιγμές t1 και t2 καθώς και η απόσταση μεταξύ της σφαίρας και του σώματος Α, τις στιγμές αυτές, αν το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 0,6m.

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα

 

Ένα σώμα Α μάζας m₁, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0, στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F, με αποτέλεσμα να κινηθεί και μετά από λίγο, τη στιγμή t₁, το σώμα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Β μάζας m₂, ενώ η δύναμη F συνεχίζει να ασκείται στο σώμα Α και μετά την κρούση. Στο σχήμα δίνεται η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Για τις μάζες των δύο σωμάτων ισχύει:

α) m₁ < m₂,     β) m₁ = m₂,       γ) m₁ > m₂.

ii) Η ταχύτητα του Α σώματος μετά την κρούση, ακολουθεί το διάγραμμα (1), (2) ή (3);

iii) Αν η ταχύτητα του σώματος Α αμέσως μετά την κρούση, είναι ίση με το μισό της ταχύτητάς του πριν την κρούση  (υ΄₁= ½ υ₁) τότε για την ταχύτητα του σώματος Β μετά την κρούση έχουμε: 

Απάντηση:

ή

Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα

Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα

Επιμένουμε ενεργειακά!

 

Ένα σώμα Α μάζας m₁=2kg, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0, στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2,5Ν, μέχρι τη στιγμή t₁, όπου η δύναμη παύει να ασκείται και το σώμα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Β. Στο σχήμα δίνεται η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου η κρούση θεωρείται ακαριαία.

i)  Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Α, στη διάρκεια της κρούσης και η αντίστοιχη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας.

ii) Αφού εξηγήσετε (χωρίς μαθηματική απόδειξη), γιατί το σώμα Α παρουσιάζει τριβή με το επίπεδο, στη συνέχεια να υπολογίσετε το μέτρο της ασκούμενης τριβής.

iii) Χωρίς να χρησιμοποιήσετε τις εξισώσεις κίνησης του σώματος Α, να βρείτε:

α) Την ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα Α, μέσω του έργου της δύναμης F.

β) Τη χρονική στιγμή t₁ που έγινε η κρούση.

iv) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Β και στη συνέχεια να κάνετε το διάγραμμα της ταχύτητάς του σε συνάρτηση με το χρόνο, με δεδομένο ότι τα δυο σώματα παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής με το επίπεδο.

Απάντηση:

ή

Επιμένουμε ενεργειακά!

Επιμένουμε ενεργειακά!

Μετά την πλάγια κρούση μια αατ

  

Ένας δίσκος, μάζας m,  ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου. Μια  λεία σφαίρα, της ίδιας μάζας, εκτοξεύεται οριζόντια από ένα σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h, πάνω από το δίσκο, οπότε μετά από λίγο συγκρούεται ελαστικά με το δίσκο. Μετά την κρούση βλέπουμε το δίσκο να εκτελεί μια κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση.

i) Τι κίνηση θα εκτελέσει η σφαίρα μετά την κρούση με το δίσκο;

ii) Η ενέργεια ταλάντωσης του δίσκου, μετά την κρούση είναι ίση:

α) Ε < mgh,        β) Ε = mgh,                 γ) Ε > mgh.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μετά την πλάγια κρούση μια αατ

Μετά την πλάγια κρούση μια αατ

Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

   

Ένα σώμα Α, μάζας Μ=3kg, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=240Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m=1kg, κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου προς το σώμα Α, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₂=2,5m/s, τη στιγμή ελάχιστα πριν την κρούση. Το αποτέλεσμα της κρούσης είναι το σώμα Β να προκαλέσει συσπείρωση του ελατηρίου ίση με 0,05m, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του. Αν τα σώματα εμφανίζουν τους ίδιους συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,8 με το οριζόντιο επίπεδο, ενώ g=10m/s², ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα το σώματος Α αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να εξετασθεί αν η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ή όχι ελαστική.

iii) Ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη επιτάχυνση (κατά μέτρο) που αποκτά το σώμα Α, κατά την κίνησή του; Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης τριβής στο σώμα Α, μέχρι τη θέση που θα αποκτήσει επιτάχυνση μέτρου α=g.

iv) Η τελική απόσταση μεταξύ των σωμάτων, όταν πάψουν να κινούνται.

Απάντηση:

ή

 Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

 Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

Από πλάγια κρούση σε πλάγια κρούση

Τρεις λείες σφαίρες Σ₁, Σ₂ και Σ₃, μάζας m = 1 kg και ίδιας ακτίνας η καθεμία, βρίσκονται ακίνητες επάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με τις σφαίρες Σ₂ και Σ₃ να εφάπτονται μεταξύ τους. Κάποια χρονική στιγμή εκτοξεύουμε τη σφαίρα Σ₁ με ταχύτητα υ₀, μέτρου 10√2 m/s, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x′x, ο οποίος διέρχεται από το σημείο επαφής των σφαιρών Σ₂ και Σ₃, όπως απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. Η σφαίρα Σ₁ συγκρούεται ελαστικά με τις σφαίρες Σ₂ και Σ₃. Μετά την κρούση οι ταχύτητες υ₂ και υ₃ των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ αντίστοιχα σχηματίζουν γωνία 45° η καθεμία με τον άξονα x′x, ενώ η Σ₁ παραμένει πάνω στον άξονα x′x.

α. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων υ₂ και υ₃ των σφαιρών Σ₂ και Σ₃ αντίστοιχα.

β. Να αποδείξετε ότι μετά την κρούση η σφαίρα Σ₁ ακινητοποιείται.

Θεωρούμε ως t₀ = 0 τη στιγμή της 1^ης κρούσης. Την στιγμή t₁ = 1 s, η σφαίρα Σ₃ συγκρούεται με βλήμα μάζας m = 0,2 kg πλαστικά με αποτέλεσμα το συσσωμάτωμα να κινηθεί κάθετα στην αρχική διεύθυνση της Σ₃ (παράλληλα με τη Σ₂) και τη χρονική στιγμή t₂ = 3 s, να φτάσει στην ελάχιστη απόσταση με τη Σ₂. Να βρείτε:

 

Η συνέχεια και η λύση εδώ ή εδώ.