Με αφορμή το Δ1 του 2011

Επειδή για τους μαθητές το ερώτημα "να αποδείξετε ότι το σύστημα ισορροπεί" είναι δύσκολο, βασιζόμενος στο Δ1 του 2011 ανεβάζω αυτό το αρχείο όπου περιγράφω διάφορους τρόπους απόδειξης.

Η άσκηση

phase shift

Μια πρόταση για τον σχεδιασμό γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

phase shift

Η στατική τριβή στη κύλιση χωρίς ολίσθηση

Ένα αρχείο με οδηγίες και παραδείγματα σχετικά με το σχεδιασμό της στατικής τριβής στη κύλιση χωρίς ολίσθηση.

ΕΔΩ

Δίσκοι με ιμάντα και ροπές

Από τα κέντρα των ομογενών δίσκων του σχήματος διέρχονται λείοι, οριζόντιοι και ακλόνητοι άξονες. Ο δίσκος Α έχει ακτίνα R, μάζα m και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του Ι_Α=1/5 kg∙m², ενώ ο Β ακτίνα 2R μάζα 4m και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του Ι_Β=16Ι_Α. Οι δίσκοι συνδέονται με αβαρή και μη εκτατό ιμάντα που δεν ολισθαίνει πάνω τους. Τη χρονική στιγμή t₀=0 στο δίσκο Α με τη βοήθεια ζεύγους δυνάμεων ασκείται σταθερή ροπή, η οποία έχει μέτρο τ=5N∙m και κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδό του. Τη χρονική στιγμή t ο δίσκος Β έχει εκτελέσει μια περιστροφή.

Να υπολογιστούν:

α. Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου Α.

β. Η συνισταμένη ροπή στο δίσκο Α, ως προς τον άξονά του.

γ. Το έργο της ροπής του ζεύγους στη διάρκεια 0-t και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου Α τη χρονική στιγμή t.

δ. Το ποσοστό του έργου της ροπής του ζεύγους που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του δίσκου Α στη χρονική διάρκεια 0-t.

ε. Ο ρυθμός παραγωγής έργου (ισχύς) της ροπής του ζεύγους και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου Α τη χρονική στιγμή t.

Απάντηση

Δίσκος με δεμένο νήμα

Σε λείο οριζόντιο τραπέζι ηρεμεί δίσκος μάζας m=10kg, ακτίνας R=1m και ροπής αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επιπεδό του Ι=(1/2)mR². Στο σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου υπάρχει λεπτή κυλινδρική προεξοχή (καρφί) αμελητέας μάζας στην οποία είναι δεμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα. Τη χρονική στιγμή t₀=0 ασκείται στο δίσκο μέσω του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου 40Ν η οποία αρχικά είναι κάθετη στην ακτίνα (ΚΑ) όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0,75s που η ακτίνα (ΚΑ) έχει στραφεί κατά γωνία 90° να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα και η μετατόπιση του κέντρου μάζας του δίσκου.
β. Tο έργο της δύναμης F και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου.
γ. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Α του δίσκου.
δ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου

Απάντηση

Ο δίσκος τραβά το τροχό

Ο δίσκος και ο τροχός του σχήματος έχουν ίδια μάζα m=10kg, ίδια ακτίνα R και ηρεμούν σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζουν συντελεστή στατικής τριβής 0,6. Στην περιφέρειά τους είναι τυλιγμένο πολλές φορές το ίδιο “αβαρές” και μη εκτατό νήμα. Για t=0 στο κέντρο του δίσκου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου 70Ν οπότε τα στερεά αρχίζουν να κυλάνε χωρίς ολίσθηση.
Να υπολογιστούν:
α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας κάθε στερεού.
β. Οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα στα στερεά.
γ. Οι δυνάμεις στατικής τριβής που δέχονται τα στερεά από το πάτωμα.
δ. Τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο δίσκο από τη χρονική στιγμή που ξεκίνησε έως τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί 10m.
ε. Η κινητική ενέργεια του δίσκου τη χρονική στιγμή που το κέντρου μάζας του έχει μετατοπιστεί 10m.
στ. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του δίσκου κατά τη μετατόπιση του κέντρου μάζας του κατά 10m.
ζ. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της F για την οποία τα στερεά θα κυλάνε χωρίς ολίσθηση.

Απάντηση

Έχει ή δεν έχει δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα

Σε ασκήσεις με στάσιμα κύματα στην εκφώνηση πρέπει να αναφέρεται με σαφήνεια αν τη χρονική στιγμή t=0 ξεκινά η συμβολή ή αν τη χρονική στιγμή t=0 έχει ήδη δημιουργηθεί στάσιμο σε όλο το μήκος του ελαστικού μέσου.

Δυστυχώς σε πολλά βοηθήματα αυτό δεν τηρείται και φυσικά οι εκφωνήσεις των ασκήσεων στο λεγόμενο ψηφιακό σχολείο είναι ασαφείς.

Ανεβάζω ένα αρχείο με δύο ασκήσεις όπου φαίνεται ξεκάθαρα τι συμβαίνει τη χρονική στιγμή t=0.

Εκφωνηση και απάντηση ΕΔΩ.

Κύματα από το Ψηφιακό Σχολείο

Σε ομογενή ελαστική χορδή διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο Ο της χορδής που βρίσκεται στη θέση x=0 αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ χωρίς αρχική φάση. Το σχήμα παρουσιάζει τη γραφική παράσταση φ=f(x) της φάσης των σημείων της χορδής, τη χρονική στιγμή 4s. Το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων από τα οποία περνά το κύμα είναι A=0,2m. Δύο σημεία Κ και Λ της χορδής βρίσκονται στις θέσεις x_K=+1m και x_Λ=+1,5m αντίστοιχα.

α. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

β. Να γραφεί η εξίσωση u=f(x,t) της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.

γ. Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές t_Κ και t_Λ, στις οποίες τα σημεία Κ και Λ ξεκινούν ταλάντωση.

δ. Να υπολογιστεί η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων των σημείων Κ και Λ την ίδια χρονική στιγμή.

ε. Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(t) του σημείου Λ, από τη στιγμή που ξεκινά να ταλαντώνεται, μέχρι τη στιγμή που θα έχει εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση.

στ. Να γίνει η γραφική παράσταση y=f(t) του σημείου Λ, από τη χρονική στιγμή t=0, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ έχει εκτελέσει 2 πλήρεις ταλαντώσεις.

ζ. Να βρεθεί η φορά κίνησης του σημείου Λ, τη χρονική στιγμή 4s.

η. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή 8s για τα σημεία του μέσου των οποίων η θέση ισορροπίας έχει τετμημένη x>0 m.

Απάντηση

Φάση και στιγμιότυπο κύματος

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο xOx′ διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα από αριστερά προς τα δεξιά. Την χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση Ο (x=0) αρχίζει ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Η εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου Κ του μέσου είναι y_κ=0,1ημ(10πt + 7π/6) (SI). Την χρονική στιγμή που το υλικό σημείο Κ ολοκληρώνει τις δύο πρώτες ταλαντώσεις του, αρχίζει να ταλαντώνεται ένα υλικό σημείο Σ του μέσου με τετμημένη 17m.

α. Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
β. Να υπολογιστεί η τετμημένη (της θέσης ισορροπίας) του υλικού σημείου Κ.

γ. Τη στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Σ:
i. Να βρεθούν οι τετμημένες (των θέσεων ισορροπίας) των δύο υλικών σημείων του μέσου που βρίσκονται πλησιέστερα στην αρχή Ο και έχουν απολύτως μέγιστες απομακρύνσεις.
ii. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος μεταξύ των υλικών σημείων Κ και Σ.
iii. Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης των υλικών σημείων μεταξύ Κ και Σ.
iv. Να υπολογιστεί το μήκος του ευθ. τμήματος που ενώνει τα δύο υλικά σημεία του ι. ερωτήματος.

Απάντηση

Ταυτόχρονες ΑΑΤ και διακροτήματα

Υλικό σημείο Σ μάζας m=2∙10^-2kg εκτελεί “ταυτόχρονα” δύο AAT, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και με συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις: x₁=Αημ(2πf₁t) και x₂=Αημ(2πf₂t), με f₁>f₂. Από τη σύνθεση των δύο ΑΑΤ προκύπτει μια ιδιόμορφη ταλάντωση του Σ που παρουσιάζει διακροτήματα. Η απομάκρυνση και το “πλάτος” της ιδιόμορφης ταλάντωσης του Σ σε σχέση με το χρόνο φαίνονται στο διάγραμμα.

Να βρεθούν:

α. Το πλάτος Α των δύο ΑΑΤ που δημιουργούν την ιδιόμορφη ταλάντωση.

β. Η περίοδος και η συχνότητα των διακροτημάτων.

γ. Η περίοδος και η συχνότητα της ιδιόμορφης ταλάντωσης του Σ.

δ. Οι συχνότητες των δύο ΑΑΤ που δημιουργούν την ιδιόμορφη ταλάντωση.

ε. Η διαφορά φάσης των δύο ΑΑΤ τις χρονικές στιγμές 5s και 10s.

στ. Η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του Σ, την χρονική στιγμή που το πλάτος της ιδιόμορφης περιοδικής κίνησής του ισούται με 1m.

ζ. Ο αριθμός των μεγιστοποιήσεων του πλάτους και ο αριθμός των μηδενισμών της απομάκρυνσης του Σ, στη χρονική διάρκεια 0 - 50s.

Απάντηση

ΑΑΤ χωρίς ελατήριο

Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε πως μεταβάλλεται χρονικά η κινητική ενέργεια ενός σώματος Σ που εκτελεί ΑΑΤ σε λείο οριζόντιο δάπεδο υπό την επίδραση κατάλληλης δύναμης επαναφοράς της μορφής Fεπ=-Dx . Αν την χρονική στιγμή t=π/40s η απομάκρυνση του σώματος Σ είναι x=-0,1√2 m, να βρεθούν:

α. Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης.
β. Η μάζα του σώματος Σ και η σταθερά επαναφοράς D.

γ. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας.

Κάποια χρονική στιγμή το σώμα Σ συγκρούεται πλαστικά με κατακόρυφα κινούμενο σώμα ίσης μάζας.
δ. Να βρεθεί το πλάτος η ενέργεια το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας και η γωνιακή συχνότητα της νέας ταλάντωσης, αν η σύγκρουση γίνει την χρονική στιγμή: ι. π/20s ii. π/15s

Απάντηση

Ας κατανοήσουμε τις θετικές φορές στην ΑΑΤ και όχι μόνο

Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m του οποίου η άλλη άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη δένουμε σώμα μάζας m=3kg και το αφήνουμε να ισορροπήσει. Στη συνέχεια ασκώντας κατάλληλη δύναμη το εκτρέπουμε 0,5m κατακόρυφα προς τα κάτω και μετά το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από την ηρεμία.

α. Ν’ αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει Α.Α.Τ.

β. Να γίνει η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου σε σχέση με την αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης.

γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου σε σχέση με την αλγεβρική τιμή της παραμόρφωσής του.

Θεωρήστε θετική φορά προς τα κάτω.

Απάντηση

Περί φάσεων και παραλείψεων στη σύνθεση ΑΑΤ

Δύο αρχεία με ασκήσεις στη σύνθεση ΑΑΤ ίδιας συχνότητας.
Εξετάζονται διάφορες περιπτώσεις και προτείνονται 3 τρόποι λύσης για τη κάθεμια.

Η μία ΑΑΤ έχει αρχική φάση

Και οι δύο ΑΑΤ έχουν αρχική φάση


Στο αρχείο αυτό παρουσιάζεται ένας "μαγικός" τρόπος προς αποφυγή...

Η μαγική λύση!!!

Στρεφόμενοι δίσκοι σε επαφή και… τα έργα τους

Δύο ομoγενείς δίσκοι στρέφονται όπως στο σχήμα γύρω από κοινό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Μεταξύ των δίσκων και του άξονα περιστροφής δεν υπάρχουν τριβές. Ο κάτω δίσκος έχει ροπή αδράνειας I1=10kg∙m^2 και γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1=20rad/s. Ο πάνω δίσκος έχει ροπή αδράνειας I2=5kg∙m^2 και γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω2=16rad/s. Οι γωνιακές ταχύτητες των δίσκων είναι αντίρροπες όπως στο σχήμα.
Τη χρονική στιγμή t=0 φέρουμε τους δίσκους σε επαφή χωρίς να συμβεί αναπήδηση και παρατηρούμε ότι οι γωνιακές ταχύτητες αρχίζουν να μεταβάλλονται λόγω των τριβών που εμφανίζονται στις επιφάνειές τους και κάποια στιγμή οι δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα.
Α. Mια χρονική στιγμή t1, πριν αποκτηθεί η κοινή γωνιακή ταχύτητα, μηδενίζεται στιγμιαία η γωνιακή ταχύτητα του ενός δίσκου.
1. Να υπολογίσετε το μέτρο και τη κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας του άλλου δίσκου τη στιγμή t1.
2. Να υπολογίσετε την αύξηση της θερμικής ενέργειας των δίσκων από 0 μέχρι t1.
3. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής που ασκείται σε κάθε δίσκο μέχρι τη στιγμή t1. Τι μετράει το καθένα από αυτά τα έργα;
4. Να εξηγήσετε γιατί τα παραπάνω έργα δεν είναι αντίθετα παρά το γεγονός ότι οι δυνάμεις των τριβών έχουν σχέση δράσης-αντίδρασης.
B. Τη χρονική στιγμή t2 οι δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα.
1. Να υπολογίσετε το μέτρο και την κατεύθυνση της κοινής γωνιακής ταχύτητας.
2. Να υπολογίσετε την αύξηση της θερμικής ενέργειας των δίσκων από t1 μέχρι t2.
3. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής που ασκείται σε κάθε δίσκο από t1 έως t2. Τι μετράει το καθένα από αυτά τα έργα;

Απάντηση:

Με αφορμή το σχήμα της σελ. 119 και όχι μόνο…

Εκφώνηση και απάντηση:

Έργο - Ενέργεια - Ισχύς στη κύλιση χωρίς ολίσθηση

Η ανάρτηση αυτή αναφέρει όσα γνωρίζουν περί έργου τα συμπαθητικά τετράποδα αλλά δεν μπορούν να μας τα περιγράψουν.

Η περιγραφή:
Με ανάλυση σε δύο "κινήσεις"
Χωρίς ανάλυση

Ο κύβος σπρώχνει το κύλινδρο

Κύβος μάζας 2kg και ακμής d=2,8m ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο ακουμπώντας σε κύλινδρο μάζας 2kg και ακτίνας R=1,4m, όπως στο σχήμα. Όλες οι επαφές έχουν συντελεστές τριβής ολίσθησης και οριακής τριβής ίσους με 0,5.
Ασκούμε στο κύβο οριζόντια δύναμη F μέτρου 23Ν της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο του κύβου και από το μέσον του άξονα του κυλίνδρου,όπως στο σχήμα.
Δίνονται: H ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο εδρών του Ι_cm=(1/2)(mR²) και g=10m/s².
Α. Αν ο κύλινδρος κυλάει χωρίς ολίσθηση να βρεθεί η κοινή μεταφορική επιτάχυνση που αποκτούν τα στερεά σώματα. Β. Να εξηγηθεί γιατί ο φορέας της κάθετης αντίδρασης που ασκεί το δάπεδο στο κύβο δεν διέρχεται από το κέντρο του κύβου και να βρεθεί η απόσταση του κέντρου του κύβου από το φορέα της. Γ. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F για την οποία ο κύλινδρος κυλάει χωρίς ολίσθηση. Δ. Θεωρώντας ότι η οριζόντια δύναμη F έχει μέτρο 23Ν να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού παραγωγής θερμικής ενέργειας στο σημείο επαφής των δύο στερεών καθώς και στο σημείο επαφής του κύβου με το δάπεδο σε σχέση με το χρόνο, για τη χρονική διάρκεια των πρώτων 10s της κίνησης και στη συνέχεια να υπολογιστεί η ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική στα σημεία αυτά στον ίδιο χρόνο. Ε. Θεωρώντας ότι η οριζόντια δύναμη F έχει μέτρο 23Ν να υπολογίσετε το έργο της για τη χρονική διάρκεια των πρώτων 10s της κίνησης και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο στερεών ισούται με τη διαφορά του έργου της δύναμης F μείον την ολική θερμική ενέργεια που εμφανίστηκε στις δύο επαφές.
Με απλά λόγια να αποδείξετε ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας!!!

Η επιτροπή εξετάσεων στο 4ο θέμα των επαναληπτικών εξετάσεων του 2009, αντί να προτρέψει τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν αυτή τη βασική αρχή της φυσικής για κάποιο υπολογισμό, ζητούσε από αυτούς έμμεσα την απόδειξη της!!!
Απάντηση:
ή
εδώ.

Στρίψιμο Νομίσματος

Στρίβουμε ένα νόμισμα μάζας m και ακτίνας R στον αέρα. Τη στιγμή t=0 που το νόμισμα εγκαταλείπει το χέρι μας κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω είναι οριζόντιο, το ένα άκρο Α μιας διαμέτρου του ΑΓ έχει μηδενική ταχύτητα και στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στην ΑΓ που διέρχεται από το κέντρο μάζας του.

Αν το κέντρο μάζας του νομίσματος κινηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω και φθάσει σε ύψος h, να βρείτε:
α. Τη ταχύτητα του σημείου Γ τη στιγμή t=0 και τον αριθμό των στροφών που θα εκτελέσει το νόμισμα μέχρι τη στιγμή που το κέντρο μάζας του νομίσματος θα ξαναπεράσει από το σημείο εκτόξευσης.

β. Την ενέργεια που καταναλώσαμε γι’ αυτή τη ρίψη.
Δίνονται: η ροπή αδρανείας νομίσματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, I=(1/4)mR^2 και τα m, g, R, h.
Η αντίσταση του αέρα παραλείπεται.
(Θέμα Πανελ. Διαγ. Φυσικής 2003)

Πρόσθετο ερώτημα
Αν η ρίψη του νομίσματος γίνεται με απότομο (δηλ. πολύ μικρής χρονικής διάρκειας) κατακόρυφο χτύπημα προς τα πάνω, σε σημείο Λ της διαμέτρου ΑΓ, να βρεθεί η απόσταση του σημείου Λ από το κέντρο Κ του νομίσματος.

Το βάρος του νομίσματος κατά τη πολύ μικρή χρονική διάρκεια του χτυπήματος να θεωρηθεί αμελητέο.

Απάντηση:
ή
εδώ.

Χτύπημα πάνω από τη μέση

Μπάλα μπιλιάρδου που θεωρείται ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R, ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Με απότομο χτύπημα όπως στο σχήμα, το κέντρο μάζας της μπάλας αποκτά οριζόντια ταχύτητα μέτρου u₀.

Να μελετηθεί η κίνηση της σφαίρας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας σφαίρας ως προς μια διάμετρό της: I=(2/5)mR².

Απάντηση:
ή
εδώ.

Διαφορά φάσης στο Στάσιμο Κύμα

Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα της μορφής:
y=8∙συν(πx/10)∙ημ(200πt) (x, yσε cm, t σε sec).
Οι θέσεις ισορροπίας δύο κινούμενων υλικών σημείων Μ και Ν του θετικού ημιάξονα της χορδής απέχουν 33cm και 77cm αντίστοιχα από την αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ=0).

Να βρεθούν:
Α. ο αριθμός των δεσμών που υπάρχουν μεταξύ των θέσεων ισορροπίας των υλικών σημείων Μ και Ν.
Β. η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των υλικών σημείων Μ και Ν.

Απάντηση: