Ενεργότητα ραδιενεργού δείγματος

Φτάνοντας στο τέλος του 3ου κεφαλαίου, ας δούμε μια επαναληπτική άσκηση πάνω στην ενεργότητα ραδιενεργού δείγματος:

Το ισότοπο του ουρανίου ₉₂U²³⁸ είναι α-ραδιενεργό και μεταστοιχειώνεται σε Th εκπέμποντας ένα σωμάτιο α.

α. Να γράψετε την παραπάνω αντίδραση και να υπολογίσετε την παραγόμενη ενέργεια.

β. Τη στιγμή t=0 σε ένα δείγμα ουρανίου-238 υπάρχουν Ν_ο αδιάσπαστοι πυρήνες. Η γραφική παράσταση της ενεργότητας του δείγματος συναρτήσει των αδιάσπαστων πυρήνων ουρανίου φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Με βάση τα στοιχεία που δίνονται στο διάγραμμα να υπολογίσετε:

i) το χρόνο υποδιπλασιασμού του ουρανίου-238.

ii) των αρχικό αριθμό των πυρήνων ουρανίου-238 στο δείγμα και τη μάζα αυτών.

iii)μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή t=0 έχει παραχθεί ενέργεια Ε=20,25×10²¹MeV.

iv) το ρυθμό με τον οποίο εκπέμπονται τα σωμάτια α και το ρυθμό με τον οποίο παράγεται ενέργεια τη στιγμή t₁.

v) μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή t=0 οι παραγόμενοι πυρήνες του Th θα είναι τριπλάσιοι από τους εναπομείναντες αδιάσπαστους πυρήνες του U.

Δίνονται:

· m_πυρ.U=238,114u, m_πυρ.Th=234,107u, m_α=4,002u, Μ_r,U=238g, N_A=6×10²³mol^-1, ln2=0,7, 1eV=1,6×10^-19J.

· μάζα ίση με 1u ισοδυναμεί με ενέργεια 900MeV.

· η μάζα των ηλεκτρονίων του ουδετέρου ατόμου U²³⁸ να θεωρηθεί αμελητέα σε σχέση με τη μάζα του πυρήνα του.

Απάντηση:

Σταθερά και ραδιενεργά ισότοπα

Δύο από τα ισότοπα του άνθρακα είναι το σταθερό ₆C¹² και το ραδιενεργό ₆C¹⁴ με χρόνο υποδιπλασιασμού Τ_1/2 = 5550χρόνια = 1,75×10¹¹s.

α. Να υπολογίσετε τη σταθερά διάσπασης του ₆C¹⁴.
Δίνεται ln2=0,7.

β. Τη στιγμή t₁ σε ένα αρχαιολογικό δείγμα οστού περιέχονται Ν₁=8×10¹³ πυρήνες ₆C¹⁴. Να υπολογίσετε την ενεργότητα του δείγματος

i) τη στιγμή t₁.

ii) 11100χρόνια μετά τη στιγμή t₁.

γ. Να υποθέσετε ότι τη στιγμή που πέθανε ο οργανισμός στον οποίο ανήκε το οστό (έστω στιγμή t_o=0), οι αριθμοί των αρχικών πυρήνων Ν_ο(12) και Ν_ο(14) των δύο ισοτόπων είχαν λόγο:

 N_o(12)/N_o(14)=2×10¹¹. 

Σήμερα, στο οστό αυτό, οι αριθμοί των πυρήνων Ν₍₁₂₎ και Ν₍₁₄₎ των δύο ισοτόπων έχουν λόγο:

 N₍₁₂₎/N₍₁₄₎=16×10¹¹. 

Να βρείτε πόσα χρόνια πέρασαν από τη στιγμή t_o, που πέθανε ο παραπάνω οργανισμός.

Απάντηση:

Μια συνθήκη για ολική ανάκλαση

Έστω μονοχρωματική ακτίνα και τριγωνικό διάφανο πρίσμα, που παρουσιάζει δείκτη διάθλασης n και κρίσιμη γωνία ως προς τον αέρα θ_κρ για την παραπάνω ακτίνα.

Η ακτίνα προσπίπτει από τον αέρα υπό γωνία θ στην έδρα ΑΒ του πρίσματος, το διαπερνά και είναι έτοιμη να εξέλθει από αυτό και πάλι στον αέρα από την έδρα ΑΓ, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Να δείξετε ότι: αν η γωνία Α του πρίσματος είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της κρίσιμης γωνίας, η ακτίνα θα πάθει ολική ανάκλαση στην έδρα ΑΓ.

Δίνεται n_αερ=1.

Απάντηση:

Ραδιενεργές αντιδράσεις

Να γράψετε τις αντιδράσεις που περιγράφονται στο παρακάτω «διάγραμμα»:

Απάντηση:

Πυρήνες και ραδιενεργές αντιδράσεις

Μια σειρά πυρηνικών αντιδράσεων δίδεται στο σχήμα:

Να χαρακτηρίσετε με «ΣΩΣΤΟ» ή «ΛΑΘΟΣ» τις παρακάτω προτάσεις:

α. Θ=Β-4.

β. Υπάρχουν Β-Γ νετρόνια στον πυρήνα Ψ.

γ. Υπάρχουν Γ-2 ηλεκτρόνια στο ουδέτερο άτομο Ω.

δ. Ε=Α-2.

Απάντηση:

Πυρηνικές αντιδράσεις

Να συμπληρώσετε τις πυρηνικές αντιδράσεις:

Απάντηση:

Ενδόθερμες αντιδράσεις

και η συνέχεια…

A… Το εκπεμπόμενο σωμάτιο α της προηγούμενης άσκησης κατευθύνεται από μεγάλη αρχική απόσταση εναντίον ακίνητου πυρήνα αζώτου ₇Ν¹⁴.

i) Αν θεωρήσουμε ότι ο πυρήνας παραμένει διαρκώς ακίνητος, να βρείτε σε πόση ελάχιστη απόσταση το σωμάτιο α μπορεί να πλησιάσει τον πυρήνα.

ii) Με δεδομένο ότι στην παραπάνω ελάχιστη απόσταση το σωμάτιο α μόλις που συλλαμβάνεται από τον πυρήνα, να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί να προκαλέσει την αντίδραση

και να υπολογίσετε πόση τουλάχιστον επιπλέον κινητική ενέργεια θα έπρεπε να είχε τη στιγμή της σύλληψής του για να ήταν ικανό να την προκαλέσει.

Β… Να ελέγξετε αν το εκπεμπόμενο φωτόνιο γ της προηγούμενης άσκησης  μπορεί να απορροφηθεί από ακίνητο πυρήνα ₃Li⁷ και να τον διασπάσει σε ισότοπο πυρήνα Li και ένα νετρόνιο. Αν ναι, να βρείτε την κινητική ενέργεια των προϊόντων της αντίδρασης.

Δίνονται:

m_πυρ.Li-7=6,999u, m_πυρ.Li-6=6u, m_n=1u, m_α=4,0026u, m_πυρ,Ν=14,003u, m_πυρ,Ο=17,01u και m_σωμ,x=1,0078u, 1eV=1,6×10^-19J,  K=9×10⁹N×m²/C², και ότι μάζα 1u ισοδυναμεί με ενέργεια 930ΜeV.

Απάντηση:

Μια α–διάσπαση και μια «εξώθερμη» πυρηνική αντίδραση

Πυρήνας ₈₈Ra²²⁶ είναι ραδιενεργός και δίνει Rn με α-διάσπαση. Κατά την αντίδραση παρατηρείται έλλειμμα μάζας 0,007u.

A… Ένας πυρήνας ραδίου διασπάται, οπότε παράγονται ένα σωμάτιο α ενέργειας 5,1ΜeV και ένα φωτόνιο γ. Να βρείτε το μήκος κύματος του φωτονίου γ, αν ο μητρικός πυρήνας του ραδίου ήταν ακίνητος και ο θυγατρικός πυρήνας του ραδονίου παραμένει επίσης ακίνητος.        

B... Το παραγόμενο σωμάτιο α, με την κινητική ενέργεια των 5,1MeV,:

α. αρπάζεται από ακίνητο πυρήνα ₄Be⁹, οπότε προκύπτει πυρήνας ₆C¹² με κινητική ενέργεια 2,425MeV και σωμάτιο x. Να βρείτε την κινητική ενέργεια του σωματίου x.

β. κατευθύνεται εναντίον ακίνητου πυρήνα ₈₂Pb²⁰⁸ από μεγάλη αρχική απόσταση. Να βρείτε σε πόση ελάχιστη απόσταση πλησιάζει τον πυρήνα. Να σχολιάσετε το αποτέλεσμα, δεδομένου ότι η εμβέλεια της πυρηνικής δύναμης είναι της τάξης μεγέθους των 10^-15m. Θεωρούμε ότι ο πυρήνας μολύβδου παραμένει διαρκώς ακίνητος.

Δίνεται ότι: hc_o=1250eV×nm, m_πυρ.Be=9,0025u, m_πυρ.He=4u, m_πυρ.C=12u, m_σωμ.x=1u και ότι μάζα ίση με 1u ισοδυναμεί με ενέργεια 930MeV.

Απάντηση:

Φαινόμενη ανύψωση σημείου

Ένα γυάλινο διάφανο πλακίδιο με πάχος d και μεγάλο μήκος βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Ένας παρατηρητής παρατηρεί από τον αέρα πάνω από το γυάλινο πρίσμα ένα κόκκινο σημείο Α βαμμένο πάνω στο τραπέζι.

1… Αν η παρατήρηση γίνεται σχεδόν κατακόρυφα (από μικρή γωνία), να δείξετε ότι η φαινόμενη ανύψωση του σημείου Α είναι h=(n–1)d/n, όπου n o δείκτης διάθλασης του πλακιδίου για τη μονοχρωματική ακτίνα που αντιστοιχεί στο χρώμα του σημείου Α.

2… Να δειχθεί ότι, αν η γυάλινη πλάκα ανυψωθεί κατά h’ πάνω από το τραπέζι, τότε το σημείο Α θα φαίνεται και πάλι ανυψωμένο κατά h, όπως και πριν.

Δίνεται ότι για μικρή γωνία φ το ημίτονο της γωνίας είναι σχεδόν ίσο με την εφαπτομένη της (ημφ=εφφ).

Απάντηση:

Διέγερση ατόμου με κρούση με μικρό πυρήνα

A… Ένας μικρός πυρήνας _ΖΧ^Α έχει φορτίο q=3,2×10^-19C, έλλειμμα μάζας Δm=0,0326u και ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο Ε_Β/Α=7,335ΜeV.

i) Να υπολογίσετε τον αριθμό των πρωτονίων και τον αριθμό των νετρονίων του πυρήνα Χ. Σε ποιο στοιχείο ανήκει; Να γράψετε έναν ισότοπο πυρήνα αυτού.

ii) Να υπολογίσετε τη μάζα του πυρήνα Χ.

iii) Ποιος πυρήνας είναι περισσότερο σταθερός: ο πυρήνας Χ ή ο πυρήνας Li⁶ με ενέργεια σύνδεσης 31,56ΜeV;

Β… Ο πυρήνας Χ επιταχύνεται από την ηρεμία από τάση V και συγκρούεται με υποθετικό άτομο δίνοντάς του το 80% της ενέργειάς του.

Το ενεργειακό διάγραμμα του υποθετικού ατόμου, το οποίο έχει ένα μόνο ηλεκτρόνιο, φαίνεται στο σχήμα.

Το άτομο διεγείρεται και το ηλεκτρόνιό του μεταβαίνει από τη θεμελιώδη κατάσταση στη n=3. Κατά την αποδιέγερση εκπέμπονται δύο φωτόνια, το ένα από τα οποία έχει την ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια για να προκαλέσει τη διέγερση ατόμου υδρογόνου από τη θεμελιώδη κατάσταση, ενώ το άλλο έχει την ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια για να προκαλέσει τον ιονισμό ατόμου υδρογόνου από την πρώτη διεγερμένη κατάσταση. Να υπολογίσετε:

i) τις ενέργειες Ε₂ και Ε₃ των ενεργειακών σταθμών με n=2 και n=3, αντίστοιχα, του υποθετικού ατόμου.

ii) την τάση που επιτάχυνε το βλήμα.

Δίνονται: m_p=1u, m_n=1,01u, e=1,6×10^-19C, Ε_1,Η=-13,6eV και ότι μάζα ίση με 1u ισοδυναμεί με ενέργεια ίση με 900MeV.

Απάντηση:

Τι να προσέξουμε στο κεφάλαιο για το άτομο

Τώρα που τελείωσε το δεύτερο κεφάλαιο της γενικής παιδείας, ας δούμε κάποιες παρατηρήσεις και κάποια σημεία που πρέπει να προσέξουμε ιδιαίτερα:

συνέχεια...

Ακτίνες Χ ή ακτίνες Röntgen

Οι ακτίνες Χ, που απαιτούνται για τη λήψη μιας ακτινογραφίας, παράγονται σε σωλήνα Coolidge παραγωγής ακτίνων Χ με απόδοση 0,4%.

Τα ηλεκτρόνια, που βγαίνουν από την κάθοδο του σωλήνα με μηδενική ταχύτητα, φτάνουν στην άνοδο με ταχύτητα 20/3 ×10⁷m/s. Αν στη άνοδο παράγεται θερμότητα με ρυθμό 996J/s, ο δε χρόνος λήψης της ακτινογραφίας είναι 0,1s, να βρείτε:

α. την τάση που επικρατεί μεταξύ ανόδου και καθόδου και το ελάχιστο μήκος κύματος των παραγομένων ακτίνων Χ.

β. την ενέργεια, που μεταφέρει η ηλεκτρονική δέσμη στην άνοδο στο χρόνο λειτουργίας του σωλήνα.

γ. το ρυθμό με τον οποίο εκπέμπονται τα ηλεκτρόνια από την κάθοδο

δ. Αν η τάση λειτουργίας του σωλήνα μειωθεί κατά 75%, να βρείτε την % μεταβολή της ταχύτητας με την οποία τα ηλεκτρόνια φτάνουν στην άνοδο και του ελάχιστου μήκους κύματος του συνεχούς φάσματος των ακτίνων Χ.

Δίνονται e=16×10^-20 C, m_e=9×10^-31kg, h=20/3 ×10^-34J×s, c_o=3×10⁸m/s.

Απάντηση:

Εκτροπή ακτίνας από πρίσμα

Μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει στο κέντρο μιας έδρας κυβικού πρίσματος πλευράς d, υπό γωνία 45^ο ως προς το επίπεδο της έδρας, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να δείξετε ότι η ακτίνα θα βγει από το πρίσμα από την απέναντι έδρα σε απόσταση από την κορυφή Β ίση με

και να υπολογίσετε κατά πόσο θα εκτραπεί από την αρχική της κατεύθυνση διάδοσης μετά τη διέλευσή της από το πρίσμα.

Δίνονται οι δείκτες διάθλασης του αέρα και του πρίσματος για την ακτίνα:

Απάντηση:

Ερωτήσεις για το στάσιμο

1. Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα. Στη θέση χ=0 υπάρχει μία κοιλία του στασίμου. Τα σημεία της χορδής, που ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με το πλάτος των κυμάτων που συνέβαλαν και έδωσαν το στάσιμο, βρίσκονται εκατέρωθεν των κοιλιών κατά:

α. λ/4 β. λ/6 γ. λ/3 δ. λ/12

και των δεσμών κατά:

      α. λ/4 β. λ/6 γ. λ/3 δ. λ/12

2. Μία χορδή έχει το ένα άκρο στερεωμένο και το άλλο άκρο ελεύθερο. Κατά μήκος της χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα με κ κοιλίες. Στο ελεύθερο άκρο της χορδής σχηματίζεται κοιλία.

     Α… Το μήκος L της χορδής είναι:

         α. L=κλ/2

         β. L=(2κ+1)λ/4

         γ. L=(κ-1)λ/2 + λ/4

         δ. L=κλ/2 + (2κ+1)λ/4

Β… Αν ο αριθμός των δεσμών είναι μ, τότε ισχύει:

       α. μ=κ β. μ=κ-1 γ. μ=κ+1 δ. μ=2κ

Γ… Αν τριπλασιάσουμε τη συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν και δίνουν το στάσιμο και στο ελεύθερο άκρο σχηματίζεται και πάλι κοιλία, τότε ο αριθμός των κοιλιών που σχηματίζονται συνολικά τώρα στη χορδή θα είναι

    α. κ΄=3κ-1 β. κ΄=3κ γ. κ΄=κ-3 δ. κ΄=κ/3

3. Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση

y=8συν(2πχ/λ)ημ2πt (τα χ και y σε cm, το t σε s)

  Κάποια χρονική στιγμή t το στιγμιότυπο του στασίμου φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Να κατασκευάσετε το στιγμιότυπο του στασίμου τη χρονική στιγμή t΄=t+1/3s.

Απάντηση: