Ισοδύναμη αυτεπαγωγή σε κύκλωμα LC

Στο κύκλωμα του σχήματος οι διακόπτες δ₁ και δ₂ είναι κλειστοί και ο δ₃ ανοικτός. Ο πυκνωτής χωρητικότητας C=3μF είναι φορτισμένος σε τάση V_o=100V. Τα ιδανικά πηνία έχουν συντελεστές αυτεπαγωγής L₁=30mH και L₂=10mH.

Την χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε τον διακόπτη δ₃ και τα πηνία αρχίζουν να διαρρέονται από ρεύμα.

α) Να αποδείξετε ότι το κύκλωμα είναι ισοδύναμο με ένα κύκλωμα LC με συντελεστή αυτεπαγωγής L τέτοιο ώστε 

β) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε πηνίο την στιγμή t₁ που ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί πλήρως για πρώτη φορά.

γ) Την στιγμή t₁ ανοίγουμε τον διακόπτη δ₂. Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή μετά το άνοιγμα του δ₂.
Απάντηση σε pdf και σε doc

Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής

Θεωρούμε μια οριζόντια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, Έστω Σ1Σ2 ένα τμήμα της χορδής μήκους d=36cm. Την στιγμή t=0 ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α=5cm συχνότητας f=2Hz και ταχύτητας διάδοσης υ=48cm/s φτάνει στο σημείο Σ1 με φορά διάδοσης από το Σ1 προς το Σ2. Την ίδια χρονική στιγμή στο σημείο Σ2 φτάνει ένα δεύτερο κύμα με το ίδιο πλάτος την ίδια συχνότητα και το ίδιο μήκος κύματος διαδιδόμενο από το Σ2 προς το Σ1.
Υποθέτουμε ότι τα σημεία Σ1και Σ2 την στιγμή t=0 έχουν ταχύτητες παράλληλες και ομόρροπες
Α) Να εξηγήσετε γιατί μεταξύ των σημείων Σ1 και Σ2 θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.
Έστω t1 η χρονική στιγμή κατά την οποία έχει ολοκληρωθεί η δημιουργία στασίμου κύματος σε ολόκληρο το τμήμα Σ1Σ2
B) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων του τμήματος Σ1Σ2 ως συνάρτηση της απόστασής τους από το σημείο Σ1, μετά την χρονική στιγμή t1.
Γ) Να υπολογίσετε το πλήθος και τις θέσεις των δεσμών που σχηματίζονται στο τμήμα Σ1Σ2.
Δ) Να υπολογίσετε το πλήθος και τις θέσεις των κοιλιών που σχηματίζονται στο τμήμα Σ1Σ2.
Ε) Να κάνετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των σημείων του τμήματος Σ1Σ2 ως συνάρτηση της απόστασής τους από το σημείο Σ1 τις στιγμές t2=1s και t3=1,125s
Να μελετηθεί το ίδιο πρόβλημα αν την στιγμή t=0 τα σημεία Σ1 και Σ2 έχουν ταχύτητες παράλληλες και αντίρροπες।
Απάντηση:

Σύνθεση ταλαντώσεων ή συγκεκαλυμμένη τριγωνομετρία;

Δύο υλικά σημεία Σ1 και Σ2 εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με περίοδο Τ=4s και πλάτη Α1=6cm και Α2=2 sqrt(3) cm. Τα σώματα αυτά συναντώνται κάποια χρονική στιγμή σε ένα σημείο Μ που απέχει x0=3cm από την κοινή θέση ισορροπίας τους. Την στιγμή της συνάντησης το πρώτο απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας και το δεύτερο κατευθύνεται προς αυτήν.
Να υπολογίσετε:
α) Την μέγιστη απόσταση των δύο σωμάτων.
β) Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την στιγμή της συνάντησής τους μέχρι η απόστασή τους να γίνει μέγιστη για πρώτη φορά
γ) Την περίοδο των συναντήσεων τους και τις θέσεις συνάντησης।


Απάντηση:

Με ποιο ρυθμό η πηγή του κύματος προσφέρει ενέργεια;

Θεωρούμε μια οριζόντια ευθύγραμμη ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, η οποία συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα Ox ενός συστήματος συντεταγμένων xΟy.
Έστω μ=0.05 Kg/m η μάζα της χορδής ανά μονάδα μήκους. Τη χρονική στιγμή t=0 το άκρο Ο της χορδής αρχίζει να ταλαντώνεται στην διεύθυνση του άξονα yy' σύμφωνα με τη σχέση y=2ημ(40πt) (t σε s, ψ σε cm).
Έτσι στη χορδή διαδίδεται εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα υ=10m/sec .
α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
β) Θεωρούμε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής μάζας Δm=0.001Kg.
Πόση είναι η μηχανική του ενέργεια;
γ) Να βρείτε την ενέργεια που έχει προσφέρει η πηγή των κυμάνσεων στη χορδή από τη στιγμή t=0 έως την στιγμή t=2 s.
δ) Να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο η πηγή προσφέρει ενέργεια στη χορδή।


Απάντηση

Μια ράβδος γλιστρά στις πλευρές ορθής γωνίας

Ορθή γωνία xOy βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο και οι πλευρές της Ox και Oy είναι οριζόντια και κατακόρυφη αντιστοίχως। Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους L και μάζας m μπορεί να κινείται χωρίς τριβές με τα άκρα της σε επαφή με τις πλευρές της γωνίας. Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη και ο άξονάς της είναι κατακόρυφος. Αφήνουμε την ράβδο ελεύθερη να κινηθεί.

Α) Να βρεθούν συναρτήσει της γωνίας φ που σχηματίζει η ράβδος με την πλευρά Oy της γωνίας xOy.
1) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου
2) Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου
3) Οι δυνάμεις που δέχεται η ράβδος από τις πλευρές της γωνίας
Β) Να βρεθεί η γωνία φ για την οποία η ράβδος χάνει την επαφή της με την πλευρά Oy।

Απάντηση

Η διαφορά φάσης δύο σημείων συσχετίζει πλήρως τον τρόπο κίνησης τους.

Ο σκοπός της άσκησης είναι να αναδείξει το γεγονός ότι κατά την διάδοση ενός κύματος σε ένα μέσο, η γνώση του τρόπου κίνησης ενός σημείου και της διαφοράς φάσης του από ένα δεύτερο προκαθορίζει τον τρόπο κίνησης του δεύτερου.

Θεωρούμε ένα  γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους το οποίο εκτείνεται κατά μήκος του ημιάξονα Οx συστήματος συντεταγμένων. Θεωρούμε τρία σημεία Κ,Λ,Μ του ελατικού μέσου τέτοια ώστε ΟΚ<ΟΛ<ΟΜ.

Η απόσταση του Κ από το Μ είναι 0,5m και το Λ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΚΜ.

Την στιγμή t=0 το άκρο Ο του ελαστικού μέσου αρχίζει να ταλαντώνεται με  εξίσωση y=5ημ(4πt) ( t σε s και y σε cm) με αποτέλεσμα να διαδοθεί σε αυτό αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=2m/s.

i)  Να βρείτε την διαφορά φάσης των σημείων Λ και Μ  και των σημείων Κ και Μ

ii) Να  βρείτε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Κ και Λ την χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του Μ από την θέση ισορροπίας του είναι 5cm.

iii) Να  βρείτε τις απομακρύνσεις από την θέση ισορροπίας τους των σημείων Κ και Λ την χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του Μ από την θέση ισορροπίας του είναι 4cm και κατευθύνεται προς αυτήν.

Απάντηση