Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

 

Ένας δίσκος ακτίνας R=0,5m κινείται με σταθερή ταχύτητα υcm=2m/s, κέντρου μάζας Κ, σε οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να περιστρέφεται. Σε μια στιγμή t0=0, στον δίσκο ασκείται κατάλληλη ροπή ενός ζεύγους, με αποτέλεσμα ο δίσκος να αρχίσει να στρέφεται, χωρίς να μεταβάλλεται η υcm. Στο διάγραμμα δίνεται το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο, ενώ η κατεύθυνσή της είναι κάθετη στο επίπεδο της σελίδας, με φορά προς τα μέσα, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογισθεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και η γωνία στροφής του μέχρι τη χρονική στιγμή t1=2s.

ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες τριών σημείων Α, Β και Γ, όπου τα ΑΓ είναι τα άκρα της κατακόρυφης διαμέτρου και το Β στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΒ, τη χρονική στιγμή t1.

iii) Ποιες οι οριζόντιες επιταχύνσεις των τριών παραπάνω σημείων την ίδια στιγμή t1;

iv) Να υπολογιστούν επίσης οι ταχύτητες των αντίστοιχων σημείων που βρίσκονται στις ίδιες θέσεις, (άκρα διαμέτρου και άκρο οριζόντιας ακτίνας) τη χρονική στιγμή t2=5s.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Κάθε εμπόδιο για καλό;

 

Οι περικοπές στην ύλη επιβάλλουν τροποποιήσεις…

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,4m και μάζας Μ=10kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.  Αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο και το σύστημα ισορροπεί, αφού ο κύλινδρος εμποδίζεται να κινηθεί, από ένα εμπόδιο ύψους h>R. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους είναι μ_s=μ=0,2, ενώ δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου. Το νήμα μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας είναι οριζόντιο και η επιτάχυνση της  βαρύτητας g=10m/s².

   i) Να υπολογιστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.

ii) Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με άλλο Σ΄ μάζας m₂=3kg και παρατηρούμε ότι αυτό κινείται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση α=1,25m/s².

α) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από το εμπόδιο στη διάρκεια της κίνησης  του σώματος Σ΄.

β) Να βρεθεί η συνολική ροπή που επιταχύνει στροφικά τον κύλινδρο.

γ) Ποια η γωνιακή του ταχύτητα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, τη χρονική στιγμή t₁=4s;

Απάντηση:

 ή

Κάθε εμπόδιο για καλό;

Κάθε εμπόδιο για καλό;

Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο

 

Ένας ομογενής δίσκος βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Έστω Α το εκάστοτε σημείο στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του δίσκου. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

i)   Αν η ταχύτητα του σημείου Α, είναι οριζόντια όπως το διάνυσμα (1), τότε ο δίσκος εκτελεί μεταφορική κίνηση.

ii) Αν η ταχύτητα του σημείου Α, είναι κατακόρυφη όπως το διάνυσμα (2), τότε το μέτρο της ταχύτητας αυτής είναι ίσο με το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β, στο άκρο της κατακόρυφης ακτίνας.

iii) Αν το διάνυσμα (3) είναι η ταχύτητα του σημείου Α και σχηματίζει γωνία φ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, τότε ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).

iv)  Αν ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) έχοντας γωνιακή  επιτάχυνση, όπως στο σχήμα ενώ η ταχύτητα του κέντρου Ο είναι προς τα δεξιά, προς τα δεξιά είναι και η επιτάχυνση του Ο.

Απάντηση:

ή

Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο

Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο 

Η ράβδος και το υλικό σημείο

  

Μια ράβδος στρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από ένα  σημείο της Ο. Στο σημείο Β της ράβδου έχει στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο μάζας m=0,4kg, σε απόσταση (ΑΒ)=0,5m από το άκρο Α της ράβδου, παίρνοντας ένα στερεό s. Σε μια στιγμή t₁ η ράβδος βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα (σε κάτοψη), ενώ το άκρο Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=4m/s και επιτάχυνση μέτρου α₁=10m/s², όπως στο σχήμα. Στο σχήμα έχει σημειωθεί επίσης και ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x και y, ενώ δίνεται ότι (ΟΑ)=2m. Για την στιγμή t₁:

i)  Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s.
ii) Να αναλυθεί η επιτάχυνση του άκρου Α σε δύο  συνιστώσες α_1x και α_1y, στις διευθύνσεις x και y. Ποιος ο ρόλος κάθε συνιστώσας;
iii) Το σώμα Σ, δέχεται μια οριζόντια δύναμη από τη ράβδο . Να βρεθούν οι δυο συνιστώσες της δύναμης αυτής F_x και F_y, στις διευθύνσεις x και y.
iv) Να βρεθεί η στροφορμή του σώματος Σ, κατά τον άξονα z, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του.

Απάντηση:

ή

Η ράβδος και το υλικό σημείο

Η ράβδος και το υλικό σημείο

Όταν σπάει ο άξονας…

  

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το κέντρο της Κ να συμπίπτει με την αρχή Ο, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, στην ράβδο ασκείται μια κατάλληλη οριζόντια  δύναμη F, η ροπή της οποίας την θέτει σε οριζόντια περιστροφή, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Β, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γ=4/π rad/s². Η ράβδος στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, μέχρι τη στιγμή t₁=3,14s, όπου ο άξονας σπάει, χωρίς να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη στη ράβδο, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i) Ελάχιστα πριν σπάσει ο άξονας z, να βρεθούν:

α)  Η θέση της ράβδου και

β) Οι ταχύτητες του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Α της ράβδου.

ii) Αφού περιγράψετε πλήρως την κίνηση της ράβδου μετά το σπάσιμο του άξονα, να βρείτε την χρονική στιγμή t₂=13π/8 s:

α) Τη θέση της ράβδου,

β) Τις ταχύτητες των δύο άκρων Α και Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

 Όταν σπάει ο άξονας…

 Όταν σπάει ο άξονας…

Μια ακόμη κύλιση τροχού

  

Ένας τροχός κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m κυλίεται προς τα δεξιά σε οριζόντιο δρόμο, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t=0, ένα  σημείο του Α βρίσκεται πάνω σε μια κατακόρυφη διάμετρό του,  απέχοντας 0,8m, από το έδαφος. Στο διάγραμμα του σχήματος,  δίνεται η μεταβολή της  γωνιακής ταχύτητας του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να σημειώστε στο σχήμα την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t_0­=0  και την ταχύτητα του σημείου Α. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας  αυτής.

ii) Να υπολογίστε τον αριθμό των περιστροφών του τροχού, μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να μειώνεται η γωνιακή του ταχύτητα.

iii) Να υπολογιστούν η γωνιακή επιτάχυνση, καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού, στο χρονικό διάστημα που ο τροχός επιβραδύνεται.

iv) Ποιο το μέτρο της συνολικής μετατόπισης του σημείου Α, μέχρι τη στιγμή που ο τροχός  σταματά.

Απάντηση:

ή

 Μια ακόμη κύλιση τροχού

 Μια ακόμη κύλιση τροχού

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

 

Μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους l=2m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση κατάλληλων μεταβλητών οριζοντίων δυνάμεων. Σε μια στιγμή t₁, η δοκός έχει την διεύθυνση του άξονα x, ενώ τα σημεία Α και Γ έχουν ταχύτητες στην διεύθυνση του άξονα y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).  Το άκρο Α της δοκού, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=3m/s, ενώ το σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=0,4m, έχει ταχύτητα με την ίδια κατεύθυνση μέτρου υ_Γ=1,4m/s.

Την στιγμή αυτή στην διεύθυνση y, το σημείο Α, έχει επιτάχυνση μέτρου α_Α=6m/s², ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ_Α, ενώ το σημείου Γ έχει επιτάχυνση αντίθετης φοράς, μέτρου α_Γ=0,4m/s². Αν το κέντρο μάζας Ο, δεν έχει επιτάχυνση στην διεύθυνση x:

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μέσου (και κέντρου μάζας) Ο της δοκού, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

ii) Έχουν μήπως τα σημεία Α και Γ επιτάχυνση και στην διεύθυνση x;  Αν ναι ποιο σημείο έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο επιτάχυνση σε αυτήν την διεύθυνση;

iii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού.

Απάντηση:

ή

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

 

Ένας ομογενής λεπτός δίσκος, κέντρου Κ, βάρους w=100Ν και ακτίνας R=3/8m, ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8 με την βοήθεια νήματος που έχει τυλιχθεί γύρω του, το άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σημείο Μ, έτσι ώστε το τμήμα του νήματος ΜΑ να είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο.

i) Αφού αποδείξετε ότι το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο, να υπολογιστεί το μέτρο της  δύναμης F που ασκεί στον δίσκο το νήμα (η τάση του νήματος).

Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και ο δίσκος αρχίζει να κυλίεται με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Μετά από λίγο,  τη στιγμή t₁, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα, όπου η  επιτάχυνση του σημείου Α, έχει μέτρο α=10m/s² και κατευθύνεται προς την βάση Ο του επιπέδου, όπου το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ σχηματίζει γωνία θ με το κεκλιμένο επίπεδο. Να επισημανθεί ότι το σημείο Α, είναι αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής Β, του δίσκου με το επίπεδο. Να υπολογιστούν τη στιγμή αυτή t₁:

ii) Η επιτάχυνση του σημείου Β.

iii) Η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα  υ_cm του κέντρου μάζας Κ του στερεού.

iv) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.

Απάντηση:

ή

 Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

 Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

Οι επιταχύνσεις δύο σημείων μιας ράβδου

    

Μια ράβδος στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0, το σημείο Α της ράβδου έχει επιτάχυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα της ράβδου, όπως στο σχήμα. Για τη στιγμή αυτή:

i)  Η ράβδος έχει γωνιακή επιτάχυνση ή όχι;

ii) Να σχεδιάσετε την επιτάχυνση του σημείου Β. Αν η επιτάχυνση αυτή σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα της ράβδου, ισχύει:

α) φ < θ,      β) φ = θ,       γ) φ > θ.

iii) Αν (ΟΒ)=2(ΟΑ) και η  επιτάχυνση του σημείου Α, έχει μέτρο 1m/s², να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου Β.

Απάντηση:

ή

 Οι  επιταχύνσεις δύο σημείων μιας ράβδου

 Οι  επιταχύνσεις δύο σημείων μιας ράβδου

Ο δίσκος στρέφεται και το σημείο επιταχύνεται

 

Ο δίσκος του σχήματος ακτίνας R=0,5m, περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό του, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο. Σε μια στιγμή t=0, μια ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια, ενώ το άκρο της Α έχει επιτάχυνση με κατεύθυνση όπως στο σχήμα, όπου συνθ=0,8 (ημθ=0,6), μέτρου α=2,5 m/s².

i) Να υπολογιστούν η κεντρομόλος και η επιτρόχιος επιτάχυνση του σημείου Α.

ii) Να βρεθούν η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και να σημειωθούν τα αντίστοιχα διανύσματα πάνω στο σχήμα.

iii) Αν η παραπάνω γωνιακή επιτάχυνση παραμένει σταθερή:

α) να βρεθεί χρονική στιγμή t₁, όπου η επιτάχυνση του άκρου μιας οριζόντιας ακτίνας είναι κατακόρυφη, για πρώτη φορά. Ποιο το μέτρο της επιτάχυνσης αυτής;

β) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₂ που η ακτίνα ΟΑ θα βρεθεί για πρώτη φορά, στην αρχική της θέση  όπως στο σχήμα. Να βρεθούν η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου Α την παραπάνω στιγμή.

Απάντηση:

ή

 Ο δίσκος στρέφεται και το σημείο επιταχύνεται

 Ο δίσκος στρέφεται και το σημείο επιταχύνεται

Η δοκός και το υλικό σημείο σε περιστροφή

 

Η δοκός του σχήματος, μήκους l=4m, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το μέσον της Ο, διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο (το σχήμα σε κάτοψη). Στο ένα άκρο της δοκού έχει προσκολληθεί μια μικρή σφαίρα Σ μάζας 0,1kg, δημιουργώντας έτσι ένα στερεό s. Στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή ταχύτητα του στερεού σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου η αρχική γωνιακή ταχύτητα έχει την κατεύθυνση που έχει σημειωθεί, ενώ η θέση της δοκού είναι αυτή του σχήματος με τη σφαίρα στη θέση Α.

i)  Τη στιγμή t₁=0,5s να υπολογιστούν η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού s, η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής  τη στροφορμής της σφαίρας Σ, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο.

ii) Αφού υπολογιστεί η γωνία που έχει περιστραφεί το στερεό μέχρι τη  στιγμή t₂=2s να υπολογιστούν για τη στιγμή t₂:

α) Η επιτάχυνση της σφαίρας και η δύναμη που δέχεται από τη δοκό.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής.

iii) Ποια χρονική στιγμή t₃ η σφαίρα βρίσκεται ξανά  στην θέση Α, για πρώτη φορά; Να υπολογιστεί η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας από 0-t₃.

Απάντηση

ή

 Η δοκός και το υλικό  σημείο σε περιστροφή

 Η δοκός και το υλικό  σημείο σε περιστροφή

Περιστροφή ράβδου και μια κρούση υλικών σημείων

  

Η ράβδος του σχήματος, μήκους l=2m μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, ενώ στο άλλο της άκρο έχει προσκολληθεί ένα σώμα Σ₁, μάζας m₁=1kg. Η ράβδος είναι αρχικά ακίνητη στη θέση (1), ενώ τη στιγμή t=0, δέχεται κατάλληλη δύναμη F, η ροπή της οποίας, της προσδίδει σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Μόλις η ράβδος περνά από την θέση (2) για  δεύτερη φορά, το σώμα Σ₁ αποκολλάται και στη συνέχεια κινείται ευθύγραμμα στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και αφού διανύσει απόσταση d=3,5m, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, με ένα σώμα Σ₂, μάζας m₂=2kg, το οποίο είναι ακίνητο. Τελικά τα δυο σώματα ηρεμούν, απέχοντας μεταξύ τους απόσταση S=2,5m. Να υπολογιστούν:

i)  Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την ελαστική μεταξύ τους κρούση.

ii) Η ταχύτητα του σώματος Σ₁, την στιγμή που αποχωρίζεται τη ράβδο.

iii) Η χρονική στιγμή t₁ της αποκόλλησης του σώματος Σ₁.

iii) Η επιτάχυνση του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν την αποκόλλησή του από την ράβδο, στην διεύθυνση της ταχύτητας. Ποια η αντίστοιχη επιτάχυνση στην κάθετη  διεύθυνση;

Δίνεται η γωνία φ=90°,  που σχηματίζουν οι δυο παραπάνω θέσεις της ράβδου (1) και (2), οι διαστάσεις των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ θεωρούνται αμελητέες, ενώ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των σωμάτων και του επιπέδου μ=0,1. Εξάλλου g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Περιστροφή ράβδου και μια κρούση υλικών σημείων

 Περιστροφή ράβδου και μια κρούση υλικών σημείων

Τρεις ερωτήσεις κινηματικής στερεού

 

1)  Ένας τροχός κινείται κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ=45°. Σε μια στιγμή του σημείο Α, στο άκρο μιας ακτίνας ΟΑ παράλληλης στο επίπεδο, έχει κατακόρυφη ταχύτητα  υ, όπως στο σχήμα. Τι κίνηση κάνει ο  τροχός;

i) Κυλίεται προς τα πάνω, κατά μήκος του επιπέδου.

ii) Κινείται προς τα πάνω ενώ στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.

iii) Κυλίεται προς τα κάτω, κατά μήκος του επιπέδου.

iv) Κινείται προς τα κάτω, εκτελώντας σύνθετη κίνηση, ενώ παρατηρείται ολίσθηση.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Η συνέχεια…

Ή

 Τρεις ερωτήσεις κινηματικής στερεού

 Τρεις ερωτήσεις κινηματικής στερεού