Αντικαθιστώντας το Hamster με δίσκο

Ο ομογενής κόκκινος δακτύλιος του σχήματος, μάζας M και ακτίνας R,  μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρο από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από τα κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Την χρονική στιγμή t₀=0 ο ομογενής γαλάζιος δίσκος μάζας m και ακτίνας r αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί στην θέση εκείνη που η επιβατική ακτίνα του κέντρου του σχηματίζει γωνία θ₀  με την κατακόρυφο όπως στο σχήμα. Αν ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να υπολογιστούν:

1)      την στιγμή t₁ που το κέντρο μάζας του δίσκου περνά από την κατακόρυφο που διέρχεται από το Ο

a        a)   )η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου

         b)      η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου

         c)       η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δακτυλίου

2)      για το χρονικό διάστημα από t=0 έως t=t₁

         a)      η γωνία στροφής του δακτυλίου

         b)      η γωνία στροφής του δίσκου

3)      Η περίοδος των ταλαντώσεων του κέντρου του δίσκου για ταλαντώσεις μικρού πλάτους.

Εφαρμογή: M=2m, R=3r, θ₀=60 °

Η απάντηση στην ειδική περίπτωση σε Word

Η απάντηση στην ειδική περίπτωση σε pdf

Η απάντηση στην γενική  περίπτωση με φορμαλισμό Euler- Lagrange σε Word

Η απάντηση στην γενική  περίπτωση με φορμαλισμό Euler- Lagrange σε pdf

Η έννοια «ροπή αδράνειας» στα όρια της Λυκειακής ύλης

Πρόβλημα 1

Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους ℓ στρέφεται, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από

κατακόρυφο άξονα έτσι ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα περιστροφής.

Ο άξονας περιστροφής συνδέεται με το κάτω άκρο της ράβδου με άρθρωση και με το πάνω με αβαρές οριζόντιο νήμα.

Να υπολογιστούν:

α)  Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της.

β) Η κινητική ενέργεια της ράβδου

γ) Η στροφορμή της ράβδου κατά τον άξονα περιστροφής της.

Πρόβλημα 2: Θεώρημα καθέτων αξόνων

Α) Θεωρούμε ένα επίπεδο στερεό σώμα αμελητέου πάχους και τυχαίου σχήματος. Θεωρούμε τους άξονες x, y, z ανά δύο κάθετους με τους x, y στο επίπεδο του στερεού και τον z να διέρχεται από το σημείο τομής των δύο άλλων και κάθετο στο επίπεδό τους.

Αν Ι_{(x) ,} Ι_(Y), Ι_(z) η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τους άξονες x, y,z αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι Ι_(x)  + Ι_(Y),= Ι_(z)  

Β) Ένας λεπτός κυκλικός δακτύλιος μάζας m και ακτίνας R περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από μια διάμετρό του. Να βρεθεί η κινητική του ενέργεια.

Η λύση σε word και σε pdf

Διαφορά πίεσης σε επιταχυνόμενο ρευστό

Ένα κυλινδρικό δοχείο γεμάτο με ιδανικό ρευστό, πυκνότητας ρ, αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης θ. Να βρεθεί η διαφορά πίεσης στα  άκρα μιας διαμέτρου παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο και στα άκρα μιας διαμέτρου κάθετης σε αυτό.

Η συνέχεια σε pdf ή σε Word

Ένας ανεστραμμένος δοκιμαστικός σωλήνας ισορροπεί

Ο δοκιμαστικός σωλήνας του σχήματος συγκρατείται ανεστραμμένος και κατακόρυφος πάνω από μια λεκάνη περιέχουσα νερό. Χαμηλώνουμε τον σωλήνα, με αποτέλεσμα να εγκλωβιστεί μια ποσότητα  ατμοσφαιρικού αέρα, αφήνοντάς τον  να ισορροπήσει στην κατάλληλη θέση

Στην θέση  που ο σωλήνας ισορροπεί , η ελεύθερη επιφάνεια του νερού μέσα στο σωλήνα  σε σχέση με την ελεύθερη  επιφάνεια του νερού έξω από αυτόν βρίσκεται

α) Στο ίδιο ύψος                                              

β) ψηλότερα                     

γ) χαμηλότερα

Η συνέχεια σε word ;ή σε pdf

Ακόμη μια σύνθετη κίνηση δοκού

Η δοκός ΑΒ του σχήματος έχει μάζα m και μήκος ℓ. Στο άκρο Α της δοκού υπάρχουν δύο μικρές προεξοχές αμελητέας μάζας. Με την βοήθεια των δύο προεξοχών η δοκός στηρίζεται σε δύο οριζόντια στηρίγματα, τα οποία επιτρέπουν την χωρίς τριβές οριζόντια κίνηση του άκρου Α αποτρέποντας την κατακόρυφη κίνησή του. Ταυτόχρονα η δοκός μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα που ορίζουν οι προεξοχές.  Αρχικά η δοκός είναι κατακόρυφη με το κέντρο μάζας της πάνω από το σημείο Α. Την στιγμή t=0 αφήνουμε την δοκό ελεύθερη να κινηθεί (στην πραγματικότητα πρέπει να την εκτρέψουμε ελαφρά από την θέση ασταθούς ισορροπίας της).

Α) Να υπολογιστούν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της δοκού,  η ταχύτητα του κέντρου μάζας της και η δύναμη που ασκούν τα στηρίγματα στην δοκό την στιγμή που γίνεται α) οριζόντια β) κατακόρυφη

B) Να υπολογιστούν τα ίδια φυσικά μεγέθη σε μια τυχαία θέση της δοκού, συναρτήσει της γωνίας φ που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφη.

Η λύση σε Word  και σε pdf

Μια πρόταση για ένα ακόμη αεικίνητο ή ακόμη μια πρόταση για ένα αεικίνητο

Ένας φίλος, τεχνικής ειδικότητας, φιλοδοξεί να λύσει το ενεργειακό πρόβλημα εκμεταλλευόμενος την άνωση του νερού.  Μου περιγράφει λοιπόν την κατασκευή :

Φαντάσου ένα γρανάζι που οι μπίλιες του είναι μπαλόνια στερεωμένα στον εσωτερικό κύκλο.

Το πάνω μισό του «γραναζιού» είναι στον αέρα και το κάτω μισό  στο νερό. Το μισό του κάτω μέρους (κάτω δεξιό τεταρτοκύκλιο) είναι απομονωμένο από το νερό  με κατάλληλο τρόπο ώστε τα μπαλόνια να περνούν το χώρισμα και πίοω τους αυτό  να ξανακλείνει, εμποδίζοντας το νερό να μπει στην περιοχή που είναι τα μπαλόνια.

      Αν αφήσουμε το «γρανάζι» ελεύθερο να κινηθεί τότε η άνωση που ασκείται στα μπαλόνια θα το θέσει σε περιστροφή.  Το νερό προσφέρει ενέργεια στο «γρανάζι» την οποία με την βοήθεια μιας ηλεκτρογεννήτριας μπορούμε να την κάνουμε ό,τι θέλουμε (ηλεκτρολόγος είναι ο φίλος).

Η απάντηση σε pdf και σε word

Όταν στην τροχαλία υπάρχουν τριβές

Η παρακάτω άσκηση είναι παραλλαγή του παραδείγματος 2-4 του συγγράμματος “Fluid mechanics” των Cengel – Cambala.

Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικές κυλινδρικές επιφάνειες ακτίνων R₁=9,8cm, R₂=10cm,  h=2cm και αμελητέας μάζας. Μεταξύ των δύο επιφανειών υπάρχει λιπαντικό με συντελεστή ιξώδους η. Η εσωτερική επιφάνεια είναι ακίνητη και η εξωτερική είναι ελεύθερη να κινηθεί.

Στην εξωτερική επιφάνεια είναι τυλιγμένο μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας. Στην άκρη του νήματος είναι στερεωμένο σώμα μάζας m=2,5Κg. Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί, διαπιστώνουμε ότι στην αρχή η κίνησή του είναι επιταχυνόμενη και στην συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα v_o=5m/s .

Να υπολογιστεί ο συντελεστής ιξώδους. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Η λύση σε   ή  ΕΔΩ.

Ελαστική κρούση υλικού σημείου με στερεό

Δύο όμοιες σφαίρες Α και Β μάζας m έκαστη είναι συνδεδεμένες με ράβδο μήκους 2ℓ αμελητέας μάζας. Το σύστημα των δύο σφαιρών ηρεμεί σε λείο ο οριζόντιο επίπεδο.

Μια τρίτη όμοια σφαίρα Γ κινείται με ταχύτητα υ₀ κάθετη στην διεύθυνση της ράβδου και συγκρούεται ελαστικά με την σφαίρα Α όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σφαιρών Α, Β , Γ μετά την κρούση.

Συνέχεια  σε 

Εναλλακτικά: 

Κρουση υλικου σημειου με στερεο

Το νόμιμο είναι και ηθικό;

Όταν σε ένα σώμα ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις οι εξισώσεις που γράφουμε είναι 3. Οι δύο αφορούν στην κίνηση του κέντρου μάζας του σώματος και η τρίτη την στροφική του κίνηση.

Την άσκηση που ακολουθεί αποφάσισα να την αφαιρέσω από την συλλογή των ασκήσεων που χρησιμοποιώ στην τάξη. Ο λόγος ήταν η εξίσωση που αφορά την συνισταμένη δύναμη στην διεύθυνση της εφαπτομένης, την οποία θεωρώ ότι είναι εκτός ύλης. Μόλις εχθές συνειδητοποίησα (το προφανές) ότι η μια από τις εξισώσεις μπορεί να αντικατασταθεί από δεύτερη εφαρμογή του νόμου της στροφικής κίνησης ως προς άλλο σημείο. Με τον τρόπο αυτό η άσκηση αυτή (και πλήθος συναφών) νομιμοποιείται πλήρως. Το ερώτημα του τίτλου της ανάρτησης εξακολουθεί να υφίσταται.

Άσκηση

Η ράβδος του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Ο. Εκτρέποντας ελαφρώς την ράβδο από την κατακόρυφη θέση, αυτή αρχίζει να κατέρχεται. Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί ο άξονας στη ράβδο, τη στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια. Δίνονται το μήκος της ράβδου ℓ=1 m, η μάζα της m = 4 kg, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s². 

Λύση σε word και pdf

Ολίσθηση χωρίς ανατροπή

Η άσκηση που ακολουθεί είναι μια από τις ασκήσεις που ετέθησαν στον πανελλήνιο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών για μαθητές της Γ΄ τάξης το έτος 2005.

Σε προσωπική επικοινωνία που είχαμε με τον Χρήστο Γιώτα αναρωτήθηκε για το κατά πόσο ήταν σωστή η επίσημη λύση.

Είναι κλασσικό το πρόβλημα της δυνατότητας ελεύθερης επιλογής του σημείου αναφοράς των ροπών σε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση.

Τελικά ο Χρήστος είχε δίκιο. Η επίσημη λύση είναι λάθος.

Η συγκεκριμένη ανάρτηση δεν έχει τον χαρακτήρα κυνηγού λαθών. Ο χαρακτήρας της είναι να τονίσει ακόμη μια φορά ένα λεπτό σημείο στην δυναμική στερεού σώματος.

Άσκηση

Ο ομογενής κύλινδρος του διπλανού σχήματος με μάζα Μ=4 kg και ακτίνα βάσεων r=10 cm ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Σε ένα σημείο της επιφάνειας του κυλίνδρου, που απέχει από το δάπεδο απόσταση h=16 cm, ασκούμε στον κύλινδρο οριζόντια δύναμη F που ο φορέας της τέμνει τον κατακόρυφο άξονα του κυλίνδρου και το μέτρο της σταδιακά το αυξάνουμε από μηδενική αρχική τιμή.

α. Αν μεταξύ κυλίνδρου-δαπέδου ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,65, να δείξετε ότι ο κύλινδρος, με την επίδραση της δύναμης F, θα ανατραπεί πριν αρχίσει η ολίσθησή του.

β. Αν x η απόσταση της κατακόρυφης δύναμης, που ασκεί το δάπεδο στον κύλινδρο, από τον κατακόρυφο άξονά του, να παραστήσετε γραφικά τη σχέση x-F όσο ο κύλινδρος ισορροπεί.

γ. Έστω ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης κυλίνδρου-δαπέδου ήταν μ=0,50 και ότι η δύναμη F μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση F=5t (S.I).

Στην περίπτωση αυτή να παραστήσετε γραφικά με το χρόνο την επιτάχυνση του κυλίνδρου μέχρι τη χρονική στιγμή που ανατρέπεται.

Θεωρούμε ότι ο συντελεστής οριακής τριβής συμπίπτει με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης και ότι g=10 m/s².

Τα θέματα και η Λύση σε pdf και word

Δύο κέρματα σε επαφή

Δύο κέρματα (α) και (β) των δύο ευρώ ηρεμούν πάνω σε οριζόντιο δάπεδο.

Τα επίπεδα των νομισμάτων είναι οριζόντια και  τα νομίσματα εφάπτονται το ένα στο άλλο όπως στο σχήμα 1.

Κρατάμε το κέρμα (α)  ακίνητο και αρχίζουμε να περιστρέφουμε το (β) αριστερόστροφα έτσι ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει παραμένοντας σε επαφή με το (α) και το κέντρο του Κ να εκτελεί κυκλική κίνηση με κέντρο το κέντρο του νομίσματος (α).

Όταν το κέντρο (Κ) του (β) έχει μισή περιστροφή, η σχετική θέση των δύο νομισμάτων θα είναι

Α) Όπως στο σχήμα 2

Β) Όπως στο σχήμα 3

Γ) Όπως στο σχήμα 4

Να επιλέξετε τον σωστό σχήμα δικαιολογώντας την επιλογή σας.

Απάντηση: 

Ανάκλαση κύματος σε ελεύθερο άκρο

Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ταυτίζεται με τον ημιάξονα Οx ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Το σημείο Ο είναι προσδεδεμένο μέσω αβαρούς κρίκου σε ακλόνητο άξονα που συμπίπτει με τον άξονα y΄y. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα μεγάλης έκτασης  πλάτους Α=5mm και συχνότητας f=2Hz διαδίδεται στο μέσο προς το σημείο Ο με ταχύτητα υ=8cm/s.

Η κίνηση των σημείων του μέσου γίνεται κατά την διεύθυνση του άξονα y΄y.

Θέτουμε t=0 την στιγμή που το μέτωπο του κύματος φτάνει στο σημείο Ο.

Το κύμα ανακλάται στο Ο χωρίς απώλειες ενέργειας. Να μην λάβετε υπόψη την επίδραση του πεδίου βαρύτητας.

1) Να υπολογίσετε τις εξισώσεις του προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος

2) Να κάνετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τις χρονικές στιγμές t₁=1.125 s και t₂=1.25s

3) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών του στασίμου κύματος την χρονική στιγμή 5.3s.

Η απάντηση στο Blogspot ή σε   ή σε 

ή με κλικ ΕΔΩ ή και ΕΔΩ

Προσφερόμενη ενέργεια σε μια αρμονική ταλάντωση

Στη διάταξη του σχήματος οι δύο τροχοί ακτίνας R περιστρέφονται χωρίς τριβές με σταθερές αντίθετες γωνιακές ταχύτητες γύρω από οριζόντιους  άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους κάθετους στα επίπεδά τους.

Πάνω στους τροχούς εφάπτεται μια λεπτή ομογενής οριζόντια ράβδος όπως στο σχήμα.

Απομακρύνουμε την ράβδο από την θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.

1. Να αποδείξετε ότι το κέντρο μάζας της ράβδου θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση.
2. Να υπολογίσετε την ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο σύστημα σε χρόνο μιας περιόδου της ταλάντωσης ώστε να διατηρείται σταθερή η γωνιακή ταχύτητα των τροχών.
3. Να αποδείξτε ότι η ροπή που πρέπει να ασκούμε στον αριστερό τροχό για να διατηρούμε σταθερές τις γωνιακές ταχύτητες των τροχών είναι σταθερή και να υπολογίσετε το μέτρο της.

 Λύση σε pdf και word

Η κινητική ενέργεια μιας ερπύστριας

Η ερπύστρια του σχήματος έχει μάζα m και το όχημα κινείται με ταχύτητα υ_ο.

Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της. Να θεωρήσετε ότι τα καμπύλα μέρη της ερπύστριας έχουν σχήμα ημικυκλίου. 

Δίνεται επίσης ότι η ερπύστρια δεν ολισθαίνει στο έδαφος. 

Απάντηση 

Όταν χωρίζει ένας «παλμός»

Θεωρούμε μια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, η οποία εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x΄x ενός συστήματος συντεταγμένων. Απομακρύνουμε ένα τμήμα της χορδής από την θέση ισορροπίας του τοποθετώντας  το επί μιας συνημιτονοειδούς καμπύλης όπως στο σχήμα.

Την στιγμή t=0 αφήνουμε την χορδή ελεύθερη να κινηθεί, με αποτέλεσμα σε αυτήν να διαδοθούν δύο κύματα προς αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητα υ=50cm/s.

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων

β) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα των δύο κυμάτων την στιγμή t₁=0,5 s.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας των σημείων της χορδής την στιγμή t₁.

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁.

Απάντηση σε woed και σε pdf

H εξίσωση ενός κύματος δείχνει όχι μόνο προς το μέλλον, αλλά και στο παρελθόν.

Δύο παλμοί Π₁ και Π₂ συχνότητας f=0,25Hz διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο με αντίθετες ταχύτητες. Κάποια χρονική στιγμή τα στιγμιότυπα των δύο παλμών είναι όπως στο επόμενο σχήμα.

Την χρονική στιγμή t_μ=12s τα στιγμιότυπα των δύο παλμών είναι όπως το σχήμα που ακολουθεί.

Να βρεθεί την χρονική στιγμή  t_π=3s η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του, του σημείου O που βρίσκεται στην θέση x=0.
Απάντηση σε word και pdf

Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η μείωση του πλάτους δεν είναι εκθετική.

Το ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος, είναι ακλόνητα στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Στο άλλο άκρο του ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο σώμα μάζας m=1Kg, το οποίο παρουσιάζει με το δάπεδο συντελεστή τριβής μ=0,2.

Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά Δℓ=S₁=19cm και την χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί.

Α) Για ποιες τιμές της επιμήκυνσης S₁ το σώμα θα αρχίσει να κινείται;

Β) Υποθέτοντας ότι το σώμα θα αρχίσει να κινείται,

Β₁) να αποδείξετε ότι, μέχρι η ταχύτητά του να μηδενιστεί για πρώτη φορά, η κίνησή του είναι τμήμα απλής αρμονικής ταλάντωσης της οποίας να βρείτε τα χαρακτηριστικά.

Β₂) να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει μέχρι η ταχύτητά του να μηδενιστεί για πρώτη φορά. Ποια χρονική στιγμή συμβαίνει αυτό;

Γ) Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή που το σώμα σταματά οριστικά.

Δ) Να υπολογίσετε την θερμότητα που εκλύεται λόγω τριβής μέχρι το σώμα να σταματήσει οριστικά.

E) Να υπολογίσετε το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα.

ΣΤ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση φυσικού μήκους και να την παραστήσετε γραφικά.

Υποθέτουμε ότι ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ίσοι μ_s=μ. Αντίσταση του αέρα αμελητέα. Επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση σε ή με κλικ εδώ.

Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο

Οι άξονες δύο ομοίων κυλίνδρων Κ1 και Κ2 είναι παράλληλοι,
βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση 2d. Αφήνουμε μία ισοπαχή ομογενή δοκό Δ μάζας m και ύψους 2h πάνω στους κυλίνδρους έτσι ώστε το μέσον της να βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το μέσον της απόστασης Κ1Κ2. Με κατάλληλο μηχανισμό βάζουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφή, όπως δείχνει το σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στη δοκό και στους κυλίνδρους είναι μ. Απομακρύνουμε την δοκό από την θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.

i) Να αποδείξετε ότι για μικρές τιμές του ύψους της δοκού και της αρχικής απομάκρυνσης, η δοκός εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ύψους της δοκού ώστε αυτή να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
iii) Να μελετήσετε την κίνηση της δοκού στην περίπτωση που το ύψος της είναι μεγαλύτερο από αυτό του ερωτήματος ii).

Απάντηση σε  ή

Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο

 

Ποια ταχύτητα είναι η προβολή της άλλης;

Στο παραπάνω σχήμα εικονίζεται ένα ημιφορτηγό, το οποίο τραβά ένα επιβατηγό αυτοκίνητο με την βοήθεια μη εκτατού συρματόσχοινου αμελητέας μάζας। Έστω υ1 και υ2 οι ταχύτητες των δύο οχημάτων.
Αν οι διαστάσεις της τροχαλίας είναι αμελητέες και φ είναι η γωνία που σχηματίζει το συρματόσχοινο με τον οριζόντιο δρόμο, τότε η σχέση που συνδέει τις ταχύτητες των δύο οχημάτων είναι:
α. υ1=υ2 β. υ1=υ2 συνφ γ. υ2=υ1συνφ
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας।
Απάντηση ή με κλικ εδώ.

Ράβδος σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς

Θεωρούμε ένα λεωφορείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα V। Μέσα στο λεωφορείο μια ράβδος μάζας m και μήκους ℓ, συγκρατείται ακίνητη (ως προς το λεωφορείο) σε οριζόντια θέση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό (επί του λεωφορείου) οριζόντιο άξονα κάθετο στην ράβδο. Κάποια στιγμή αφήνουμε την ράβδο ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθεί η ενέργεια που ανταλλάσσεται μεταξύ λεωφορείου και ράβδου, από την στιγμή που η ράβδος αφέθηκε ελεύθερη μέχρι την στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη।

Δίνονται η μάζα m της ράβδου, το μήκος της ℓ, η ταχύτητα του οχήματος V, η επιτάχυνση της βαρύτητας g και η ροπή αδράνειάς της ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν.

Απάντηση σε pdf και σε word