Σύνθεση ταλαντώσεων σε κύμα.

Δύο όμοια ελαστικά αβαρή σκοινιά μεγάλου μήκους ισορροπούν οριζόντια προς το έδαφος και είναι συγκολλημένα σε ένα σημείο τους Ο ώστε να σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία όπως βλέπουμε στην κάτοψη του παρακάτω σχήματος

κάτοψη

Τα  ελαστικά σκοινιά συμπεριφέρονται σαν ελαστικές χορδές όπου μπορούν να διαδοθούν αρμονικά κύματα χωρίς απώλειες ενέργειας με σταθερή ταχύτητα. Στα δύο ελεύθερα άκρα των σκοινιών στα σημεία Α και Β , την στιγμή t=0, που απέχουν από το σημείο Ο ίσες αποστάσεις ΟΑ=ΟΒ=1m  εφαρμόζουμε ταλαντωτές έτσι ώστε τα σημεία Α και Β να εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση της μορφής ψ_Α=0,02ημ10πt (SI) με θετική φορά προς τα  πάνω  στο κατακόρυφο επίπεδο ενώ το σημείο Β Ζ_B=0,02ημ10πt (SI) στο οριζόντιο επίπεδο  με θετική φορά προς τα δεξιά. Αν στις δύο ελαστικές χορδές μπορεί να διαδοθεί εγκάρσιο κύμα σταθερής ταχύτητας u=5m/s να βρεθούν:

α) To σχήμα των δύο χορδών τη  στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Ο

β) Οι επιμέρους εξισώσεις ταλάντωσης του σημείου Ο

γ) Η συνολική εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Ο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

ή

Η επιτάχυνση και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί, δεμένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε μια στιγμή συγκρούεται με ένα άλλο κινούμενο σώμα, αποκτώντας  ορισμένη ταχύτητα. Τι κίνηση θα εκτελέσει μετά την κρούση το σώμα Σ; Τι ακριβώς σημαίνει ότι κάποια στιγμή έχει ορισμένη επιτάχυνση και πώς αυτή συνδέεται με το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητάς του; Παρακάτω ας δούμε μερικές  περιπτώσεις

Παράδειγμα 1^ο:

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m. Μια μικρή σφαίρα, μάζας m=0,2kg, η οποία κινείται με ταχύτητα υ₁=15m/s, με διεύθυνση αυτή του άξονα του ελατηρίου, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ.

i)   Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ αμέσως μετά την κρούση.

ii)  Τη στιγμή που η ταχύτητα του Σ γίνεται για πρώτη φορά v=4m/s, να βρεθούν:

α) Η επιτάχυνση του σώματος Σ.

β) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητά του.

Συνέχεια:
ή

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ταλάντωση και ανελαστική κρούση

Σώμα Σ1 μάζας m=2kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου με σταθερά k=100N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο ακλόνητα. Κάποια στιγμή τοποθε
τούμε, με μηδενική αρχική ταχύτητα, πάνω στο σώμα Σ1 ένα δεύτερο σώμα Σ2 ίσης μάζας. Το συσσωμάτωμα εκτελεί α. α. τ. με σταθερά επαναφοράς ίση με τη σταθερά του ελατηρίου. Την ίδια χρονική στιγμή, από κάποια απόσταση πάνω από τα δύο σώματα, αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί μια μπαλίτσα αμελητέων διαστάσεων. Λίγο μετά η μπαλίτσα συγκρούεται με το συσσωμάτωμα μετωπικά και αναπηδά προς τα πάνω, ενώ το συσσωμάτωμα αμέσως μετά τη σύγκρουσή τους σταματά να κινείται παραμένοντας μόνιμα στο σημείο που έγινε η κρούση. Τα μέτρα των ταχυτήτων της μπαλίτσας πριν την κρούση υ1, και μετά την κρούση υ2, συνδέονται με τη σχέση υ2=υ1/2.
i)Ποια η ταχύτητα του συσσωματώματος τη στιγμή που αρχίζει η κρούση.
ii)Ποια η μικρότερη απόσταση, από τη θέση της κρούσης, που πρέπει ν’ αφήσουμε τη μπαλίτσα ώστε μετά την κρούση το συσσωμάτωμα να παραμείνει μόνιμα ακίνητο;
iii)Ποιο είδος μετωπικής κρούσης έχουμε; Να υπολογίσετε τη μάζα της μπαλίτσας.
iv)Να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ2 από το σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και σε συνάρτηση της χρονικής στιγμής κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.
Θεωρείστε t=0 τη στιγμή που αρχίζει η ταλάντωση.
Τη μπαλίτσα μετά την κρούση την πιάνουμε ώστε τα σώματα να μην συγκρουστούν ξανά. Θεωρείστε για την ταλάντωση θετική φορά αντίρροπη του βάρους.
Δίνονται:g=10m/s^2 , π^2=10.
Απάντηση

Τρόποι θέασης της διατήρησης της ενέργειας

Τρόποι θέασης της διατήρησης της ενέργειας

Ισορροπία ράβδου με δυο στηρίγματα.

Μια ομογενής κυλινδρική ράβδος ΑΓ μήκους 2ℓ=2m και βάρους 100Ν, ισορροπεί οριζόντια, όπως στο σχήμα, όπου δεν υπάρχουν τριβές  στα σημεία στήριξης, Α και Δ. Το ένα σημείο στήριξης Α είναι στο άκρο της ράβδου και Δ το δεύτερο, όπου (ΑΔ)=x, όπου x< ℓ.

i) Να βρεθούν οι δυνάμεις που δέχεται η ράβδος από τα δυο στηρίγματα, σε συνάρτηση με την απόσταση x.

ii) Ποια τα μέτρα των δυνάμεων αυτών στις εξής περιπτώσεις:

α)  x=25cm,   β) x=2cm,   γ) x=2mm.

iii) Η παραπάνω ράβδος στηρίζεται σε τοίχο,  έχοντας εισχωρήσει σε μια τρύπα κυλινδρικού σχήματος με ακτίνα ελάχιστα μεγαλύτερη της ακτίνας της ράβδου και βάθους x. Να σχολιάστε την ισορροπία της ράβδου στην οριζόντια θέση.

Απάντηση:

ή

Ισορροπία ράβδου με δυο στηρίγματα.

Η κούνια.

Η παραπάνω κούνια που ισορροπεί κατακόρυφα  αποτελείται από δύο λεπτά δαχτυλίδια ακτίνας R=5cm και μάζας M=100g δύο κατακόρυφους  λεπτούς και ομογενείς ράβδους μήκους  L=0,9m και μάζας  m=1kg  και μία οριζόντια ράβδο μήκους l=0,3m  και μάζας  m₁=0,4kg. Όλα τα παραπάνω σώματα είναι συγκολλημένα μεταξύ τους και τα δαχτυλίδια μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από το οριζόντιο άξονα  νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κάθε δαχτυλιδιού και είναι κάθετος στο επίπεδο του κάθε δαχτυλιδιού. Να βρεθούν:

A) H ροπή αδράνειας  της κούνιας γύρω από τον  υποθετικό άξονα περιστροφής της.

Β) Η ελάχιστη χημική ενέργεια που πρέπει να ξοδέψει  ένας πιτσιρικάς ώστε μόλις η κούνια να  εκτελέσει  ανακύκλωση.

Μόλις το σύστημα φτάσει στο ανώτερο σημείο δίνουμε στην κούνια μία  στιγμιαία οριζόντια ταχύτητα μέτρου u=1m/s  δίνοντας και ελάχιστη ώθηση ώστε να φύγει από τη θέση κατακόρυφης ισορροπίας της.

Γ)Μπορεί  το αριστερό δαχτυλίδι να βρεθεί στην αρχική θέση του δεξιού δαχτυλιδιού όταν η κούνια φτάσει για πρώτη φορά στην αρχική της θέση;

Ιcm=1/12ML².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 

Προσφερόμενη ενέργεια σε μια αρμονική ταλάντωση

Στη διάταξη του σχήματος οι δύο τροχοί ακτίνας R περιστρέφονται χωρίς τριβές με σταθερές αντίθετες γωνιακές ταχύτητες γύρω από οριζόντιους  άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους κάθετους στα επίπεδά τους.

Πάνω στους τροχούς εφάπτεται μια λεπτή ομογενής οριζόντια ράβδος όπως στο σχήμα.

Απομακρύνουμε την ράβδο από την θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.

1. Να αποδείξετε ότι το κέντρο μάζας της ράβδου θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση.
2. Να υπολογίσετε την ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο σύστημα σε χρόνο μιας περιόδου της ταλάντωσης ώστε να διατηρείται σταθερή η γωνιακή ταχύτητα των τροχών.
3. Να αποδείξτε ότι η ροπή που πρέπει να ασκούμε στον αριστερό τροχό για να διατηρούμε σταθερές τις γωνιακές ταχύτητες των τροχών είναι σταθερή και να υπολογίσετε το μέτρο της.

 Λύση σε pdf και word

Βρείτε την ταχύτητα του κέντρου του κυλίνδρου.

Ο ομογενής κύλινδρος δέχεται σταθερή δύναμη  σε συγκεκριμένο σημείο της περιφέρειάς του. Τη στιγμή που ο φορέας της δύναμης περνάει από το κέντρο βρείτε την ταχύτητα του κέντρου του κυλίνδρου που είναι και το κέντρο μάζας του.

Δεν ολισθαίνει.

Απάντηση:

Οι δύο κύλινδροι.

Σε οριζόντιο επίπεδο αφήνονται δύο όμοιοι μάζας 2 kg και ακτίνας 0,2m.  Ο συντελεστής  τριβής μεταξύ αυτών και του εδάφους είναι 0,2. Ο πράσινος έχει αρχική γωνιακή ταχύτητα 30 rad/s και ο κόκκινος 60 rad/s.

1.      Ποια θα είναι η τελική ταχύτητα εκάστου;

2.      Πόση απόσταση θα διανύσει έκαστος μέχρι να αποκτήσει την τελική του ταχύτητα;

3.      Τι ταχύτητα θα έχει κάθε κύλινδρος όταν θα έχει διανύσει απόσταση 0,5m ;

4.      Ποιο το έργο κάθε τριβής;

Απάντηση:

Έργα και ενέργειες σε ένα γιο-γιο.

Γύρω από ένα μικρό κύλινδρο μάζας 0,1kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F=1Ν, ενώ ταυτόχρονα τον αφήνουμε ελεύθερο από ορισμένο ύψος.

Για μετατόπιση του άκρου Α του νήματος κατά y=1m να υπολογιστούν:

i) η ενέργεια που μεταφέρθηκε στον κύλινδρο μέσω του έργου της δύναμης.

ii) Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου.

iii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν η δύναμη είχε μέτρο F₁=1,2Ν, ενώ η μετατόπιση του άκρου Α του νήματος ήταν 1,3m;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½mR² και   g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Έργα και ενέργειες σε ένα γιο-γιο.

Πλαίσιο χρήσης του Θεωρήματος Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας για την κίνηση Υλικού σημείου ή Μηχανικού στερεού

Αφορμή για την ανάρτηση αυτή απετέλεσαν οι εξαιρετικές αναρτήσεις των συναδέλφων,
Ανδρέα Κασσέτα:

Η Φυσική και οι έννοιες
Τα δύο άκρα του νήματος. Θεώρημα έργου ενέργειας και πρώτος νόμος της Θερμοδυναμικής

και Διονύση Μάργαρη:

Ενέργεια και Έργα
Ενέργειες και έργα τριβής
Σύνθετη κίνηση και αύξηση της εσωτερικής ενέργειας


καθώς και οι τοποθετήσεις και τα σχόλια που ακολούθησαν.

Δεν χωράει αμφιβολία ότι όλες οι ενεργειακές έννοιες, αρχές και συσχετισμοί χωρούν γενικότερα κάτω από την ομπρέλα της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

Στις πιο πάνω αναρτήσεις τέθηκαν υπό συζήτηση, ανάμεσα στα άλλα, και τα όρια χρήσης καθώς και το πλαίσιο εφαρμογής του Θεωρήματος Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) στη μορφή που όλοι το γνωρίζουμε.

Ανεξάρτητα από την παιδαγωγική διάσταση του θέματος, προσπαθώ κι εγώ με την ανάρτηση αυτή να συμβάλω στη συζήτηση, καταθέτοντας μια περιγραφή για αυτό το πλαίσιο.

Δυστυχώς μου "βγήκε" κάπως μεγάλη ...
Έτσι, την περιόρισα μόνο για το υλικό σημείο και το μηχανικό στερεό, ελπίζοντας κάποια άλλη στιγμή  γράψω μερικές σκέψεις ακόμα σχετικά με πιο πραγματικά συστήματα και το ρόλο του ψευδοέργου.

Η συνέχεια, σε μορφή pdf, ΕΔΩ    ή  ΕΔΩ.