Μια κρούση και ένα ελατήριο.

Ένα σώμα Α μάζας m=1kg κινείται με ταχύτητα υ0=2m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια σφαίρα Β, η οποία ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100N/m, το οποίο έχει μήκος l1=0,4m όπως στο σχήμα. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα Α κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου 1m/s, ενώ η σφαίρα διανύσει απόσταση s=0,3m μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά της στη θέση (2).

i) Να υπολογισθεί η μάζα της σφαίρας.

ii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια που αποκτά η σφαίρα κατά την κρούση.

iii) Να αποδειχθεί ότι το ελατήριο στην αρχική θέση ισορροπίας της σφαίρας, θέση (1), δεν έχει το φυσικό μήκος του. Στη συνέχεια, με δεδομένο ότι το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί (l0<l1)να υπολογιστεί το φυσικό μήκος του.

iv) Ποια η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση (2);

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και ένα ελατήριο.

Μια κρούση και ένα ελατήριο. 

Μια κρούση και ένα ελατήριο. 

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν, σε ευθεία γραμμή, τρεις σφαίρες Α, Β και Γ με ίσες ακτίνες. Σε μια στιγμή εκτοξεύουμε την Α σφαίρα, μάζας m1=1,5kg με ταχύτητα μέτρου υ1=2m/s προς την σφαίρα Β, πάνω στην ευθεία που ενώνει τις τρεις σφαίρες. Οι σφαίρες Α και Β συγκρούονται για  t=0 κεντρικά και ελαστικά. Η Β σφαίρα, μάζας m2=0,5kg, αφού διανύσει απόσταση d=3m συγκρούεται επίσης κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Γ η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο. Μετά την κρούση παρατηρούμε ότι το νήμα, το οποίο συγκρατεί την σφαίρα Γ, εκτρέπεται μέχρι μια γωνία θ για την οποία βρίσκουμε ότι συν θ=0,9.

i)  Ποια χρονική στιγμή t1 συγκρούονται οι σφαίρες Β και Γ και πόσο απέχουν οι τρεις σφαίρες μεταξύ τους, τη στιγμή αυτή; (οι ακτίνες των τριών σφαιρών είναι πολύ μικρές και μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες, ενώ το επίπεδο δεν παρεμποδίζει την εκτροπή της σφαίρας Γ μετά την κρούση).

ii)  Να υπολογιστεί η μάζα της σφαίρας Γ.

iii) Πόση είναι η ορμή του συστήματος των τριών σφαιρών, τη στιγμή που έχουμε μέγιστη εκτροπή της σφαίρας Γ;

iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που οι σφαίρες Α και Β θα συγκρουστούν για 2η φορά. Ποιες οι ταχύτητές τους μετά την 2η κρούση, αν και αυτή είναι ελαστική;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση

  

Μια σφαίρα μάζας m=0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ₀=20m/s  και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ₁ μάζας m₁=4,9kg το οποίο βρίσκεται πάνω στο σώμα Σ₂, όπως στο σχήμα (α). Μεταξύ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ υπάρχει τριβή, με συντελεστή οριακής  στατικής τριβής μ_s=0,2 ενώ το δάπεδο είναι λείο. H κρούση διαρκεί Δt=0,1s και θεωρούμε ότι στη διάρκεια αυτής, οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων είναι σταθερές:

i) Να υπολογισθεί η μέγιστη μάζα του σώματος Σ₂ ώστε να παρασυρθεί από το Σ₁, χωρίς να παρατηρηθεί ολίσθηση μεταξύ τους.

ii) Να εξετασθεί το αντίστοιχο πρόβλημα, αν το σώμα Σ₂  βρίσκεται πάνω στο Σ₁, όπως στο σχήμα (β).

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

 

Δύο σφαίρες, με ίσες ακτίνες, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να στρέφονται. Η σφαίρα Α, μάζας m1=2kg τη στιγμή t=0, περνά από μια θέση Ο, την οποία θεωρούμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα  (x=0) και στο διάγραμμα δίνεται η θέση της σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου τη στιγμή t1=4s, οι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά.

i) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας, που οφείλεται στην κρούση.

Αν η κρούση είναι ελαστική:

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας, λόγω κρούσης.

iii) Αν η Β σφαίρα έχει μάζα m2=0,4kg:

α)  Ποια η θέση της Β σφαίρας τη στιγμή t=0.

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της θέσης της Β σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2=10s.

iv) Αν η απόσταση των δυο σφαιρών τη στιγμή t=0 είναι d=3m, να υπολογιστεί η μάζα της Β  σφαίρας.

Απάντηση:

ή

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.