Ταλάντωση και κόψιμο νήματος

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ που φαίνονται στο σχήμα έχουν μάζες m₁=1kg και m₂=3kg αντίστοιχα και είναι δεμένα μεταξύ τους με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους l=0,7m. Το σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Εκτρέπουμε το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,3m και την χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί.

Α.        i) Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί α.α.τ.

ii) Να γραφεί η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ₂ από τη θέση ισορροπίας του και η χρονική εξίσωση της δύναμης που ασκεί το νήμα στο σώμα Σ₂, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω.

iii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σωμάτων τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου ισούται με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.

iv) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση d_max που μπορούμε να εκτρέψουμε αρχικά το σύστημα, ώστε το νήμα να παραμένει διαρκώς τεντωμένο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.

Β. Κάποια στιγμή που το σύστημα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του, κόβουμε το νήμα.

i) Να βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης του Σ₁.

ii) Να υπολογιστεί η απόσταση των σωμάτων, όταν το Σ₁ ακινητοποιηθεί για 1^η φορά μετά το κόψιμο του νήματος.

Δίνονται: g=10m/s², π²=10, και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα.

Λύση: