Μια ταλάντωση και ένα γιο-γιο....

ΘΕΜΑ 4^ο

Μικρό σώμα Σ μάζας m=1kg εφάπτεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι δέσμιο.

Στερεό Π αποτελείται από κολλημένους ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R και 2R, R=1m.Οι περιφέρειες των δίσκων είναι τυλιγμένες με αβαρή μη εκτατά νήματα μεγάλου μήκους. Το νήμα της εσωτερικής περιφέρειας έχει το ελεύθερο άκρο του δεμένο σε οροφή. Το νήμα της εξωτερικής περιφέρειας συνδέει το σώμα Σ με το στερεό Π μέσω αβαρούς τροχαλίας Τ, όπως στο σχήμα.

Α. Η διάταξη ισορροπεί. Τα τμήματα των νημάτων που συγκρατούν το στερεό Π είναι κατακόρυφα και το τμήμα του νήματος που συγκρατεί το σώμα Σ είναι οριζόντιο. Το ελατήριο έχει υποστεί επιμήκυνση Δℓ-10cm.Nα υπολογίσετε τη μάζα του στερεού Π.

Β. Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβουμε τα άκρα του νήματος της εξωτερικής περιφέρειας. Το στερεό Π κατέρχεται περιστρεφόμενο περί του κέντρου του, καθώς  το νήμα ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση παραμένοντας κατακόρυφο. Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Β1.Να υπολογίσετε το μήκος νήματος που έχει ξετυλιχθεί από το στερεό Π τη στιγμή που το σώμα Σ αποκτά μέγιστη ταχύτητα δεύτερη φορά.

Β2.Να υπολογίσετε την αύξηση της στροφορμής σπίν του στερεού Π για κάθε μια πλήρη ταλάντωση του σώματος Σ.

Η διάταξη βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Η ροπή αδράνειας του στερεού Π ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του είναι I=MR². Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Για τις πράξεις θεωρήστε: g=10m/s²..

Απάντηση.