Αμαξίδιο και σώμα σε ταλαντώσεις.

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα αμαξίδιο μάζας Μ=3kg, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₁=120Ν/m. Πάνω στο αμαξίδιο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, δεμένο και αυτό στο άκρο δεύτερου οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₂=130Ν/m, όπως στο σχήμα, χωρίς να αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων . Θεωρούμε ότι τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων βρίσκονται στη θέση x=0. Τραβάμε αργά-αργά το αμαξίδιο προς τα αριστερά μετακινώντας το κατά d=0,2m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.

i)   Αν δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ αμαξιδίου και σώματος Σ, θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις x=x(t) της θέσης κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε βαθμολογημένους άξονες.

 ii)  Αν υπάρχουν τριβές μεταξύ σώματος και αμαξιδίου, με αποτέλεσμα να μην παρατηρείται ολίσθηση μεταξύ τους, να γίνει το διάγραμμα x=x(t) της θέσης του συστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής, μεταξύ των δύο σωμάτων για την παραπάνω κίνηση.

Δίνεται π²=10 και ότι κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων, το αμαξίδιο δεν κτυπά στα τοιχώματα, αλλά και το σώμα Σ δεν θα φύγει από το αμαξίδιο, ούτε θα κτυπήσει κάπου.

Απάντηση:

ή

	Αμαξίδιο και σώμα σε ταλαντώσεις.

Ταλάντωση με δράση μεταβλητής δύναμης.

Δύο ασκήσεις στις οποίες δρα μεταβλητή δύναμη.

Συνέχεια:

Μια ταλάντωση μετά τη δράση μεταβλητής δύναμης.

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη F, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση F=90-450x (μονάδες στο S.Ι.), όπου x η απόσταση από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος. Η δύναμη παύει να ασκείται στη θέση μηδενισμού της.

i)   Σε ποια θέση βρίσκεται το σώμα τη στιγμή που μηδενίζεται η ασκούμενη δύναμη;

ii) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F;

iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή μηδενισμού της δύναμης F.

iv) Να αποδείξετε ότι στη συνέχεια το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ και να υπολογίστε το πλάτος ταλάντωσής του.

Απάντηση:

ή

	Μια ταλάντωση μετά τη δράση μεταβλητής δύναμης.

Τι κίνηση κάνει το hamster?

Ένα μικρό hamster τοποθετείται σε ένα κλουβί που έχει σχήμα κυκλικής ρόδας, το κέντρο της οποίας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Μια οριζόντια σταθερή πλατφόρμα τοποθετείται μέσα στο κλουβί κάτω από το κέντρο περιστροφής όπως φαίνεται στο σχήμα.  Αρχικά το σύστημα συγκρατείται ακίνητο και το hamster βρίσκεται στη μία άκρη της πλατφόρμας. Μόλις η πλατφόρμα αφήνεται ελεύθερη, το hamster αρχίζει την κίνηση του από την ηρεμία. Εξαιτίας της κίνησης του hamster το σύστημα παραμένει ακίνητο, να βρεθεί τι κίνηση κάνει το τρωκτικό

Για συνέχεια εδώ

Κοντά δεν κάνουμε και μακριά δεν πάμε.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το ελατήριο σταθεράς k₁ = 100 N/m και τα σώματα Σ₁ και Σ₁ με μάζες m₁ = 1 kg και m₂ = 3 kg αντίστοιχα, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο ελατήριο k₁ ενώ το Σ₂ απλώς βρίσκεται σε επαφή με το Σ₁. Κάποια στιγμή συμπιέζουμε το σύστημα προς τα αριστερά κατά d = 0,4 m και το αφήνουμε ελεύθερο. Μετά το χάσιμο της επαφής του Σ₂ από το Σ₁, το Σ₂ συναντά οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k₂ που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Το Σ₂ με την επαφή του, δένεται στο ελατήριο και εκτελεί ταλαντώσεις πλάτους Α₂. Από την στιγμή που το Σ₂ αρχίζει τις ταλαντώσεις του τα δύο σώματα απέχουν σταθερή απόσταση. Να βρείτε:

α. την ταχύτητα των σωμάτων την στιγμή που χάνεται η επαφή

β. την σταθερά του ελατηρίου k₂

145. Σύστημα τροχαλίας οδοντωτού τροχού.

H τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ = 2 kg, ακτίνα R = 0,2 m, είναι συμπαγής και ομογενής και φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r με R=2r.  Στην περιφέρεια της τροχαλίας και στην κυκλική προεξοχή έχουμε τυλίξει νήματα με εγκοπές  όπως στο σχήμα (πολλές φορές ώστε να μην ολισθαίνουν), και στα άκρα τους έχουμε έναν οδοντωτό τροχό μάζας m₁ = 2 kg που η διάμετρός του είναι 2r₁ = R + r=3r ή r₁=. Η τροχαλία συγκρατείται αρχικά ακίνητη με την επίδραση δύναμης μέτρου F, εφαπτομένης στην περιφέρειά της, ώστε ο οδοντωτός τροχός να ισορροπεί.   

A) Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά αυτής της δύναμης.

Κάποια στιγμή αφήνουμε την τροχαλία ελεύθερη να κινηθεί.

Τότε να βρεθούν:

Β) Οι γωνιακές επιταχύνσεις α_γων1 και α_γων2, της τροχαλίας και του οδοντωτού τροχού αντίστοιχα, καθώς και η επιτάχυνση α₁ του κέντρου μάζας του οδοντωτού τροχού .

Γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των δύο σωμάτων, ως προς το σημείο Κ.

(Δίνονται: Ι_{(τροχαλίας)} = ∙Μ∙R²      g = 10 m/s²)

Συνοπτικήλύση:

Για … δυνατούς λύτες.

Στο διπλανό σχήμα τα σώματα Σ₁ και Σ₂ έχουν μάζες m₁ = 0,5 kg και m₂ = 4 kg, αντίστοιχα και ισορροπούν όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ₂ απέχει από το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k₂, απόσταση d = 2π²/45 m και με το κόψιμο του νήματος διανύει την απόσταση αυτή στο λείο κεκλιμένο επίπεδο (φ = 30^ο), στο μισό χρόνο απ’ αυτόν που χρειάζεται για να ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά. Μόλις το Σ₂ ακουμπήσει στο ελατήριο σταθεράς k₂ καρφώνεται σ’ αυτό, χάνοντας μέρος της ενέργειας του και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της μορφής x₂ = A₂ημ(ω₂t + 11π/6) . Οι δύο ταλαντώσεις πραγματοποιούνται έχοντας ίσες ενέργειες ταλάντωσης. Να βρείτε:

α. σε πόσο χρόνο θα ακινητοποιηθεί το σώμα Σ₂ μετά το κόψιμο του νήματος

Δύο κατακόρυφα ελατήρια.

Τα δύο σώματα του σχήματος έχουν μάζες m₁ = 1 kg και m₂ = 3 kg αντίστοιχα. Τα ελατήρια έχουν σταθερές k₁ = 100 N/m και k₂ = 75 N/m. Το ελατήριο σταθεράς k₁ είναι αρχικά συσπειρωμένο κατά Δℓ₁ και το σώμα Σ₁ συνδέεται μέσω μη εκτατού νήματος αμελητέας μάζας το οποίο μέσω δύο λείων τεταρτοκυκλίων καταλήγει στο σώμα Σ₂. Το Σ₂ με τη σειρά του βρίσκεται πάνω από ελατήριο σταθεράς k₂ σε ύψος h.

α. να βρεθεί η αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου k₁.

Κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ₁ εκτελεί ταλάντωση ενώ το Σ₂ συναντά το ελατήριο σταθεράς k₂ με το οποίο μετά την επαφή δένεται χωρίς απώλειες ενέργειας και του προκαλεί μέγιστη παραμόρφωση x_max = 1 m.

β. θεωρώντας ως στιγμή t = 0 την στιγμή που κόβεται το νήμα και θετική την φορά προς τα πάνω να γράψετε την χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος Σ₁.

Με το σώμα στο ταβάνι.

Σώμα Σ₁ μάζας m = 1 kg και αμελητέων διαστάσεων, είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατήριου  σταθεράς k = 100 N/m. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε σώμα Σ₂ μάζας Μ = 2 kg, το οποίο με την σειρά του είναι δεμένο μέσω νήματος στο ταβάνι. Κάποια στιγμή εκτρέπουμε το Σ₁ από την θέση ισορροπίας του προς τα κάτω κατά d = 0,1 m, και ταυτόχρονα την χρονική στιγμή t₀ = 0 το εκτοξεύουμε με ταχύτητα μέτρου υ₀ = √3 m/s και φορά ίδια μ’ αυτή του βάρους.

α. να υπολογίσετε την μέγιστη παραμόρφωση του ελατηρίου

β. να γράψετε την χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας

Σώμα δεμένο με νήμα στο πάνω άκρο.

Στο κεκλιμένο επίπεδο (φ = 30^ο) του διπλανού σχήματος, έχουμε δεμένο στη βάση του ιδανικό ελατήριο σταθεράς k. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου έχουμε προσαρμόσει σώμα μάζας m = 2 kg που ισορροπεί με την  βοήθεια νήματος δεμένο στην κορυφή του λείου κεκλιμένου επιπέδου. Κάποια στιγμή (t₀ = 0) κόβουμε το νήμα και το σώμα επιταχύνεται για Δt₁ = 0,05π s, αποκτώντας τη στιγμή t₁ κινητική ενέργεια Κ = 4 J. Το ελατήριο αποθηκεύει ενέργεια μέχρι την χρονική στιγμή t₂.

α. Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου

β. να δικαιολογήσετε αν το σώμα αρχικά ισορροπούσε πάνω ή κάτω από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου

144. Σφαίρα και κύβος σε κεκλιμένο επίπεδο.

Η ομογενής σφαίρα του σχήματος μάζας m=0,3Kg και ακτίνας R=4cm βρίσκεται σε επαφή με κύβο μάζας Μ=m=0,3Kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα των δυο σωμάτων αφήνεται να κινηθεί από ένα σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. Τότε ο κύβος μάζας Μ ολισθαίνει και η σφαίρα μάζας m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ενώ βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τον κύβο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στον κύβο και το κεκλιμένο επίπεδο είναι μ=0,5 τότε:

α) Να υπολογιστεί η κοινή επιτάχυνση των δυο σωμάτων.

 

 β)  Να υπολογιστεί:

1. η στατική τριβή που δέχεται η σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο
2. η τριβή ολίσθησης κύβου – κεκλιμένου επιπέδου
3. η δύναμη επαφής μεταξύ των δυο σωμάτων.

γ) Να υπολογιστεί:

1. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος (m-M) και
2. η στροφορμή του συστήματος (m-M)  ως προς σημείο του κεκλιμένου επιπέδου όταν αυτό κατέβει κατά (ΑΒ)=x=60cm πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

δ) Αν αντικαταστήσουμε τον κύβο με έναν άλλο από πάγο και αφήσουμε ξανά το σύστημα να κινηθεί κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, τότε ποια είναι η επιτάχυνση των σωμάτων του συστήματος.

ε) Έστω ότι στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου υπάρχει ελατήριο σταθερά Κ=30Ν/m και αφήνουμε το σύστημα [m-M(πάγου)] να ισορροπήσει πάνω σ’ αυτό, οπότε το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x₁. Στη συνέχεια συμπιέζουμε το ελατήριο κατά επιπλέον  και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Τότε να αποδείξετε ότι αυτό πραγματοποιεί α.α.τ  και να υπολογίσετε τη σταθερά D και το πλάτος Α της ταλάντωσης.

Θεωρείστε ότι τα κέντρα μάζας βρίσκονται στην ευθεία που είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και ότι μεταξύ των επιφανειών των δυο μαζών δεν ασκείται κάποια δύναμη τριβής.

Ακόμη δίνεται για τη σφαίρα Ι_cm= ×m×R², ημφ=0,6 και g=10m/s².

Συνοπτική λύση