Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Δύο όμοιες σφαίρες κυλίονται (χωρίς να ολισθαίνουν) σε οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα κέντρου μάζας υ₀. Στην πορεία τους συναντούν δύο κεκλιμένα επίπεδα, στα οποία συνεχίζουν να ανέρχονται. Η Α σφαίρα ανεβαίνει στο πρώτο επίπεδο που είναι λείο, ενώ η Β συνεχίζει να κυλίεται κατά μήκος του δεύτερου.

Σε μεγαλύτερο ύψος θα φτάσει:

   i) Η Α σφαίρα.

   ii)  Η Β σφαίρα.

   iii) Οι δυο σφαίρες θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.

Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

24. Τροχαλία και ελατήριο

Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δυο συγκολλημένους δίσκους με ακτίνες R=20cm και r=10cm που έχουν κοινό άξονα. Οι δίσκοι περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από τον κοινό τους άξονα και έχουν συνολική ροπή αδράνειας Ι=4×10^-2Kg×m². Τα αβαρή σχοινιά που είναι τυλιγμένα στους δίσκους, έχουν στα ελεύθερα άκρα τους δεμένα τα σώματα με μάζες m₁=4Kg και m₂=2Kg. Το σώμα μάζας m₁, είναι επίσης δεμένο σε οριζόντιο αβαρές ελατήριο Κ=100Ν/m και μπορεί να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Κάποια στιγμή εξασκούμε στο σύστημα την οριζόντια δύναμη F=80N που φαίνεται στο σχήμα. Τότε:
α) Για ποια επιμήκυνση του ελατηρίου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας γίνεται μέγιστη;
β)i) Πόση είναι τότε η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος;
ii) Ποιος είναι τότε ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος των μαζών;
Αν εκείνη τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας γίνεται μέγιστη κοπεί το νήμα που συνδέει τη μάζα m₁ με την τροχαλία, τότε
γ)i) Nα υπολογιστεί η επιτάχυνση α₂ της μάζας m₂ καθώς και η τάση του νήματος που συνδέει την m₂ με την τροχαλία
ii) Nα υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχαλία – m₂;
δ)i) Ποια είναι η ενέργεια ταλάντωσης της μάζας m₁ και
ii) Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της m₁ καθώς αυτή ταλαντώνεται; Δίνεται g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Ταλάντωση και δυο ελαστικές κρούσεις.

Τα σώματα Β και Γ, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg ηρεμούν σε επαφή σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Β είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε τα σώματα προς τα αριστερά, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 0,4m και τη στιγμή t₀=0, αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί.

i)   Ποια η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσουν τα σώματα και ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το Β στο Γ σώμα;

ii)  Ποια χρονική στιγμή τα δυο σώματα θα χάσουν την επαφή;

iii) Το σώμα Γ αφού συγκρουστεί ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο, ξανασυγκρούεται ελαστικά με το σώμα Α τη στιγμή t₂= 3π/20s. Ποια η αρχική απόσταση d του σώματος Γ από τον τοίχο;

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t₃=π/5s.

Απάντηση.

Ταλάντωση και δυο ελαστικές κρούσεις

Γενικό διαγώνισμα 2011-12

ΘΕΜΑ Δ

Στο παρακάτω σχήμα το σώμα έχει μάζα m=1/π kgr  ο κύλινδρος  που έχει μάζα Μ₁=2kg και  ακτίνα R₁= 1m είναι στερεωμένος με κατάλληλο υποστήριγμα έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα. Πάνω στον κύλινδρο είναι κολλημένη ράβδος μήκους L= 2m και μάζας M₂=3Kg με το ένα της άκρο να βρίσκεται στο κέντρο του κυλίνδρου.

Η ράβδος ισορροπεί κατακόρυφα .Το ελατήριο  έχει σταθερά Κ=100/π Ν/m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος με το νήμα να είναι τεντωμένο και δεμένο στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου. Με την βοήθεια  κατάλληλης δύναμης αρχίζουμε να περιστρέφουμε το σύστημα επιμηκύνοντας το ελατήριο   με το νήμα να τυλίγεται στον κύλινδρο μέχρι η ράβδος  να περιστραφεί κατά 90^ο .

Να βρεθούν:

Α)  Το μέτρο της δύναμης που  πρέπει ασκούμε κάθετα στην ράβδο  αν το σύστημα ισορροπεί μετά από την διαγραφή των 90^ο .                                            

Όταν το σύστημα έχει διαγράψει γωνία 90^ο και το σύστημα ισορροπεί  το νήμα κόβεται και η εξωτερική δύναμη καταργείται.

Β)  Πόση μέγιστη ταχύτητα θα αποκτήσει το σώμα m και πόση μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που  θα αποκτήσει το σύστημα κυλίνδρου-ράβδου;

Γ)  Ποιο από τα δύο συστήματα θα αποκτήσει πρώτο την μέγιστη κινητική ενέργεια.

Δίνονται για τον κύλινδρο Ι=0,5Μ₁·R₁²   για την ράβδο  Ι=1/3Μ₂·L²  και π=3,14

Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

23. Σύστημα τροχαλιών με ιμάντα

Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από μια διπλή και από μια απλή τροχαλία οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με ιμάντα αμελητέας μάζας όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διπλή τροχαλία αποτελείται από δυο τροχαλίες που έχουν κοινό άξονα. Η μικρότερη από αυτές έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα r=0,2m, ενώ η πιο μεγάλη έχει μάζα M=2Kg και ακτίνα R=0,4m. Η απλή τροχαλία έχει μάζα  m=1Kg και ακτίνα r=0,2m. Γύρω από τη μικρότερη τροχαλία της διπλής τροχαλίας είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί. Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι δεμένο ένα σώμα μάζας m₁= =Kg.

Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο.

α) Αν το νήμα ξετυλιχθεί κατά L=1m, τότε να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα ω₁ της διπλής τροχαλίας

β) Ποιος είναι ο ρυθμός προσφερόμενης ενέργειας εκείνη τη στιγμή και

γ) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.

Η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι= 1/2m×r². Δίνεται g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

TΡΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ… ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ

TΡΕΙΣ  ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ… ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Πρόταση 1^η : Οι  τροχιές μας δείχνουν την κρούση

Πρόταση 2^η : Mια σημαντική εφαρμογή της κρούσης στην Πυρηνική  Φυσική

Πρόταση 3^η : Κρούση πολλών σωματιδίων…

  
   AΠΑΝΤΗΣΗ

Επαναληπτική άσκηση: Ταλάντωση-Κρούση-Στερεό

Σώμα Σ μάζας m=1kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα με τη βοήθεια νήματος ισορροπεί και η τάση του νήματος έχει μέτρο 200Ν. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα αρχίζει να κινείται. . Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου συγκρούεται ελαστικά με το κάτω άκρο Κ λεπτής και ομογενούς ράβδου, το οποίο βρίσκεται στην διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Η ράβδος μάζας Μ=2kg και μήκους L=1,2m έχει το άλλο άκρο της Ο στερεωμένο σε άρθρωση και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές.

Να υπολογίσετε:

α) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει Α.Α.Τ  και να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης και την γωνιακή συχνότητα.

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση

γ) Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση.

Για την ράβδο αμέσως μετά την κρούση, να υπολογίσετε:

δ) το μέτρο της δύναμης από τον άξονα περιστροφής αμέσως μετά την κρούση

ε) την μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής της ταχύτητας

στ) Να ελέγξετε εάν εκτελεί ανακύκλωση

Για την ταλάντωση του σώματος μετά την κρούση:

ζ) να γράψετε την χρονική εξίσωση απομάκρυνσης θεωρώντας ως t=0 τη στιγμή της κρούσης και  θετική την φορά προς τα δεξιά.

η) Για την χρονική στιγμή  Τ/12,όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης αμέσως μετά την κρούση, να υπολογίσετε:

i) την στροφορμή του σώματος Σ κατά τον άξονα περιστροφής της ράβδου

ii) τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ κατά τον άξονα περιστροφής της ράβδου

iii) τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ελατηρίου

θ) την τιμή του λόγου m/M, ώστε να μεταφερθεί στην ράβδο το 100% της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ πριν την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο Ο: Ι_(Ο)=(1/3)ML2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Λύση:

Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρμόζονται;

- Ένα βλήμα σφηνώνεται σε ένα ξύλο που είναι πακτωμένο στο έδαφος.

   Για την κρούση αυτή ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.), για το σύστημα βλήμα-ξύλο;

- Όχι κύριε. Το σύστημα των σωμάτων δε είναι μονωμένο.

- Και λοιπόν;

- Δεν ισχύει η Α.Δ.Ο.

- Μα, τι λέει η Α.Δ.Ο. Γιάννη;

Υπάρχουν μερικά πράγματα που περνάμε συνήθως ελαφρά. Έχει δίκιο ο Γιάννης στην απάντησή του; Και αν έπεφτε ένα τέτοιο ερώτημα στις εξετάσεις, τι θα έπρεπε να απαντήσει ο κάθε Γιάννης;

Είναι η ίδια απάντηση, με αυτήν που θα έπρεπε να δώσει στο ερώτημα:

Η ορμή του συστήματος βλήμα-ξύλο παραμένει σταθερή κατά την κρούση;

Συνήθως θεωρούμε ότι οι δυο ερωτήσεις είναι ταυτόσημες. Και όμως δεν είναι!!!

Η Α.Δ.Ο. ισχύει πάντα. Τι λέει; Ότι αν ένα σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο η ορμή του παραμένει σταθερή. Και τι δεν λέει, αλλά υπονοεί; Ότι αν το σύστημα δεν είναι μονωμένο η ορμή του δεν παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση, ας πούμε του παραπάνω παραδείγματος, παραβιάζεται η αρχή; Όχι βέβαια. Το σύστημα δεν είναι μονωμένο και η συνολική ορμή του συστήματος δεν παραμένει σταθερή. Δεν διατηρείται.

Μα, αυτό μας λέει και η Α.Δ.Ο.!!!

----------------------------

Αλλά με την ευκαιρία ας εξετάσουμε μερικές περιπτώσεις διατήρησης ή μη (ορμής-στροφορμής) σε περιπτώσεις κρούσεων, δίνοντας κάποιες εφαρμογές.

Εφαρμογή 1:

Ένα σώμα Σ μάζας Μ κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος. Ένα βλήμα μάζας m συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ. Για την παραπάνω κρούση:

i)   Η ορμή του βλήματος διατηρείται.

ii)  Η ορμή του συστήματος διατηρείται.

iii) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο ανάρτησης Ο διατηρείται.

iv) Η συνολική στροφορμή ως προς ένα τυχαίο σημείο Α, διατηρείται.

Η συνέχεια σε pdf.

Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρμόζονται;

Βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα και την περίοδο

Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά   k = 300 Ν/m.

Η μάζα του ομογενούς κυλίνδρου είναι   2 kg.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι  10 m/s².

Ο κύλινδρος αφήνεται  να κινηθεί από μια θέση στην οποία το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

Ο συντελεστής τριβής είναι τόσος ώστε να εξασφαλίζεται κύλιση χωρίς ολίσθηση.

1. Ποια είναι η μεγαλύτερη ταχύτητα που αποκτά;
2. Ποια η μεγαλύτερη μετατόπισή του από την θέση που αφέθηκε;
3. Δεχόμενοι ότι κάνει αρμονική ταλάντωση υπολογίσατε την περίοδό της.

Απάντηση:

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται δύο εγκάρσια κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα φτάνουν τη στιγμή t=0, σε ένα σημείο του μέσου Σ, στη θέση x_Σ=4m. Το σημείο αυτό εξαιτίας κάθε κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2·ημπt  (S.Ι.). Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=2m/s, ζητούνται:

i)   Η περίοδος και το μήκος κύματος κάθε κύματος.

ii)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου που προκύπτει από την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.

iv) Πόσοι δεσμοί έχουν σχηματιστεί πάνω στο μέσο τη χρονική στιγμή t₁=1,5s;

v)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου την στιγμή t₁.

vi) Δύο υλικά σημεία Μ και Ν βρίσκονται δεξιά και αριστερά της θέσης x=7m και έχουν ίσες απομακρύνσεις, από τη θέση ισορροπίας τους. Το σημείο Μ είναι το πλησιέστερο στη θέση x=7m σημείο με την παραπάνω ιδιότητα. Ποιο υλικό σημείο τη στιγμή t₁ έχει:

α) Μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης.

β) Μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης.

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.