Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής δίσκος ακτίνας R=0,4m και μάζας 10kg, ο οποίος μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα που συνδέει το κέντρο του Ο, με το άκρο μιας ομογενούς ράβδου ΑΚ μήκους ℓ=2R και μάζας Μ=30kg, η οποία μπορεί να στρέφεται, επίσης χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο σταθερό άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Κ. Τυλίγουμε γύρω από τον δίσκο ένα μη εκτατό νήμα, αμελητέας μάζας, στο άκρο του οποίο τη στιγμή t=0, ασκούμε μια σταθερού μέτρου δύναμη F=40Ν, με αποτέλεσμα το νήμα να ξετυλίγεται θέτοντας σε περιστροφή, τόσο το δίσκο όσο και τη ράβδο. Η διεύθυνση της δύναμης F, σε κάθε θέση, είναι κάθετη στον άξονα της ράβδου ΑΚ, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστούν οι γωνιακές επιταχύνσεις για τις περιστροφές του δίσκου και της ράβδου.

ii) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της στο Κ.

iii) Τη χρονική στιγμή t₁=4s να βρεθούν:

α) πόσες περιστροφές έχει πραγματοποιήσει ο δίσκος γύρω από τον άξονά του στο κέντρο του Ο και πόσες η ράβδος, γύρω από τον άξονα στο Κ.

β) Οι αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες των δύο στερεών.

γ)  Η κινητική ενέργεια του συστήματος και

δ) Η ισχύς της ασκούμενης δύναμης F.

Δίνονται οι ροπές αδράνειας δίσκου και ράβδου, ως προς τους άξονες περιστροφής τους Ι_δ= ½ mR² και Ι_ρ= 1/3 Μℓ².

Απάντηση:

ή

 Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Μια ισορροπία δύο ράβδων

Δύο λεπτές ομογενείς ράβδοι με μήκη (ΑΓ)=ℓ και (ΒΓ)=2ℓ συγκολλούνται στο κοινό άκρο τους Γ, δημιουργώντας ένα στερεό s. Οι δυο ράβδοι ΑΓ και ΒΓ έχουν βάρη w και w₁=2w αντίστοιχα. Το στερεό s ισορροπεί σε οριζόντια θέση, κρεμασμένο από νήμα που έχει δεθεί στο σημείο Ο, όπως στο πάνω σχήμα.

i) Η απόσταση (ΟΓ) είναι ίση με:

α) (ΟΓ)= ¼ ℓ,     β) (ΟΓ)= 1/3 ℓ,

γ) (ΟΓ)= ½ ℓ,     δ) (ΟΓ)= ℓ.

ii) Να μελετηθεί η ισορροπία της ράβδου ΑΓ.

iii) Εκτρέπουμε το στερεό s, όπως δείχνει το κάτω σχήμα και το αφήνουμε να κινηθεί. Τότε το στερεό s:

α) Θα επιστρέψει ξανά σε οριζόντια θέση.

β) Θα περιστραφεί αυξάνοντας τη γωνία που σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση.

γ) Θα ισορροπήσει στην θέση που θα αφεθεί.

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία δύο ράβδων

Μια ισορροπία δύο ράβδων

Και αν κόβαμε το νήμα ΓΔ; Θέμα Δ 2017 μια παραλλαγή

Μία ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΓ μήκους L=2m σταθερής διατομής έχει μάζα Μ=4Kg. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το άκρο της Α συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος ΓΔ με τον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ. Γύρω από ένα λεπτό ομογενή δίσκο κέντρου Κ, μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,1m είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα λεπτό μη εκτατό αβαρές νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος έχει στερεωθεί στο άκρο Γ της ράβδου ΑΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα
Α.Τη χρονική στιγμή t₀=0 ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί και το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει.
i. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου, καθώς αυτός κατέρχεται.
ii. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος ΑΓ στο άκρο της Γ από το νήμα ΓΔ, όταν ο δίσκος κατέρχεται καθώς και τη δύναμη από την άρθρωση.
iii. Τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας Κ του δίσκου έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h₁=0,3m να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, και το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου.
Β. Τη χρονική στιγμή t=0,3s κόβουμε το σχοινί που συνδέει τον δίσκο με τη ράβδο.
iv. Να γίνει η γραφική παράσταση του λόγου της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του δίσκου προς την στροφική κινητική ενέργειά του συναρτήσει του χρόνου.
 Γ.
v. Αν δεν κοβόταν το σχοινί που συνδέει τον δίσκο με τη ράβδο αλλά το νήμα ΓΔ που συνδέει τη ράβδο με τον τοίχο, τότε να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του δίσκου και της ράβδου περί τον άξονα περιστροφής τους τη στιγμή που κόβεται το νήμα.
Δίνονται:

• το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10m/s²
• η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Ι_CM = 1/2 mR²
• η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Ι_CM = 1/12 ML²
• συνφ= 0.6, ημφ =0.8
• ο άξονας περιστροφής του δίσκου παραμένει συνεχώς οριζόντιος και

κινείται σε κατακόρυφη τροχιά σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του

• ο δίσκος δεν φτάνει στο έδαφος στη διάρκεια του φαινομένου.

Απάντηση

Δύο ράβδοι σε δύο συνδέσεις

Διαθέτουμε δύο ομογενείς ράβδους τις οποίες μπορούμε να συνδέσουμε κατασκευάζοντας είτε το στερεό (1), είτε το στερεό (2), όπως στο διπλανό σχήμα. Στο πρώτο, το άκρο της ράβδου ΟΜ συνδέεται στο μέσον της ράβδου ΑΒ, ενώ αντίθετα στο δεύτερο με το άκρο της Α. Τα δυο στερεά ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ μπορούν να στρέφονται στο επίπεδο αυτό, γύρω από κατακόρυφους άξονες, κάθετους στο επίπεδό τους, που διέρχονται από το άκρο Ο της μιας ράβδου.

i) Αν Ι₁ η ροπή αδράνειας του στερεού (1) και Ι₂ η αντίστοιχη του στερεού (2), ισχύει:

α) Ι₁<Ι₂,         β) Ι₁=Ι₂,        γ) Ι₁ >Ι₂.

ii) Στα δυο στερεά ασκείται η ίδια, σταθερού μέτρου, οριζόντια δύναμη F, παράλληλη στον άξονα της ράβδου ΑΒ, όπως στο σχήμα. Μόλις ολοκληρωθεί μια περιστροφή, μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα έχει:

α) Το στερεό (1),    β) Το στερεό (2),    γ) Τα δύο στερεά θα έχουν την ίδια κινητική ενέργεια.

iii) Πρώτο θα ολοκληρώσει μια περιστροφή:

α) Το στερεό (1),    β) Το στερεό (2),    γ) Τα δύο στερεά θα ολοκληρώσουν ταυτόχρονα μια περιστροφή.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας, ενώ η ροπή αδράνειας μιας ράβδου δεν δίνεται και δεν θεωρείται γνωστή.

Απάντηση:

ή

 Δύο ράβδοι σε δύο συνδέσεις

Δύο ράβδοι σε δύο συνδέσεις

Να αυξήσουμε την επιτάχυνση του άκρου της δοκού

 Μια ομογενής δοκός ΟΑ, μήκους ℓ=3m και μάζας m=10kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από άρθρωση στο άκρο της Ο και ισορροπεί σε οριζόντια θέση δεμένη με κατακόρυφο νήμα, όπως στο σχήμα, όπου (ΟΓ)=0,5m.

  i)   Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.

ii)  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α της δοκού.

iii) Υποστηρίζεται ότι αν πριν το κόψιμο του νήματος τοποθετήσουμε στο σημείο Δ, όπου (ΔΑ)=1m ένα σώμα Σ₁ αμελητέων διαστάσεων και μάζας m₁=5kg, μπορούμε να επιτύχουμε την αύξηση της επιτάχυνσης του άκρου Α της δοκού. Να εξετάσετε αν η άποψη αυτή είναι σωστή ή όχι.

iv) Τοποθετούμε στο σημείο Γ ένα άλλο υλικό σημείο Σ₂ , αμελητέων διαστάσεων, μάζας m₂, με αποτέλεσμα μόλις κόψουμε το νήμα η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α να έχει μέτρο α₂=2g. Να βρεθούν:

α) Η μάζα του υλικού σημείου Σ.

β) Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ ως προς το άκρο Ο.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_cm= mℓ²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Να αυξήσουμε την επιτάχυνση του άκρου της δοκού

 Να αυξήσουμε την επιτάχυνση του άκρου της δοκού

Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Το άκρο της ράβδου Β,  συνδέεται μέσω ιδανικού νήματος, με ένα υλικό σημείο Σ μάζας m=10kg, όπου η διεύθυνση του νήματος είναι κάθετη στη ράβδο. Τη στιγμή t₀=0 ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=5Ν στη διεύθυνση του νήματος, με αποτέλεσμα το σώμα Σ, να κινείται. Η ράβδος έχει μήκος 3m  ενώ παρουσιάζει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=12kgm².

i)  Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής:

α) Του συστήματος ράβδου- σώματος Σ

β) Της ράβδου ΑΒ.

ii) Αν τη στιγμή t₁=2s το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ₁=0,87m/s, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή αυτή.

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, τη στιγμή που το σώμα Σ έχει μετατοπισθεί κατά Δx₂ =1,2m, έχοντας ταχύτητα υ₂=1m/s.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Γ από τον φορέα της δύναμης, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα.

Δίνεται ακόμη ότι κατά την κίνηση, εντός των ορίων που αναφέρονται, το σώμα Σ κινείται πρακτικά στην ίδια διεύθυνση x. 

Απάντηση:

ή

 Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Μία ράβδος με ένα σφαιρίδιο

Λεπτή ομογενής ράβδος μάζας M=3kg και μήκους L=2m αρθρώνεται σε άξονα στο άκρο της Ο γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο Β της ράβδου είναι ενσωματωμένο σφαιρίδιο Σ₁ αμελητέων διαστάσεων η μάζα του οποίου είναι m₁=1kg. Το σύστημα που προκύπτει ισορροπεί οριζόντιο μέσω νήματος που είναι δεμένο σε σημείο Γ που απέχει από το άκρο Ο απόσταση ΟΓ=1,25m. Το άλλο άκρο Α του νήματος είναι ακλόνητα στερεωμένο στο ταβάνι.

i) Υπολογίστε τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση και το νήμα ΑΓ.
Μία χρονική στιγμή που θεωρείται t=0 κόβουμε το νήμα οπότε η ράβδος στρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το Ο.

ii) Όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ σε σχέση με την οριζόντια διεύθυνση τέτοια ώστε ημθ=0,8 και συνθ=0,6 να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος­­– σφαιρίδιο.

iii) Στη θέση του ερωτήματος ii) να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

iv) Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στο σώμα Σ₁ από την ράβδο όταν η ράβδος βρεθεί στην κατακόρυφη θέση.

Όταν η ράβδος φθάνει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με σφαιρίδιο Σ₂ αμελητέων διαστάσεων μάζας m₂=6kg, το οποίο κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους ℓ=2m που είναι αναρτημένο στον άξονα στο σημείο Ο. Αν η ποσοστιαία μεταβολή της τάσης του νήματος πριν και στο τέλος της κρούσης είναι 45%
v) Να βρεθεί η απώλεια ενέργειας του συστήματος στη διάρκεια της κρούσης.
Δίνεται √2=1.4

Δίνονται:
Η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους L περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι  I_cm=M·L²/12
Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι  |g| =10m/s².

Απάντηση 

Διαγωνισμός Βασίλη Ξανθόπουλου. 2019

 

Πραγματοποιήθηκε και φέτος στη Δράμα, ο διαγωνισμός στη μνήμη του αδικοχαμένου Βασίλη Ξανθόπουλου.

Τα θέματα ανά τάξη:

Φυσική Α Λυκείου 2019

Φυσική Β Λυκείου 2019

Φυσική Γ Λυκείου 2019

Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Στο άκρο Α μιας ομογενούς ράβδου ΑΒ μήκους ℓ=4m και μάζας m=3kg, έχουμε καρφώσει ένα υλικό σημείο Σ, της ίδιας μάζας m, δημιουργώντας ένα στερεό s.

Το στερεό s, κινείται πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, χωρίς τριβές και τη στιγμή t=0, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα και τα άκρα του Α και Β έχουν αντιπαράλληλες ταχύτητες κάθετες στη ράβδο, με μέτρα υ_Α=υ_Β=2m/s. Με δεδομένο ότι το κέντρο μάζας του στερεού s είναι το σημείο Κ, όπου (ΚΑ)=1m, ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο δίνεται από την σχέση Ι_ο=mℓ²/12, ζητούνται:

i)   Η ταχύτητα υ_cm του κέντρου μάζας του στερεού s, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.

ii) Η κινητική ενέργεια του στερεού s.

iii) Η κινητική ενέργεια του υλικού σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Ποια είναι η αντίστοιχη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΑΒ, σε συνάρτηση με το χρόνο;

Απάντηση:

ή

 Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Δύο ράβδοι για μία ταλάντωση.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k, με το πάνω άκρο του δεμένο στο ταβάνι και το κάτω άκρο του δεμένο στο σφαιρίδιο μάζας m. Το σφαιρίδιο μέσω νήματος συνδέεται με το άκρο συστήματος δύο ράβδων (μάζας Μ η καθεμία) όπου έχουν συγκολληθεί στα άλλα άκρα τους έτσι ώστε η κυρτή γωνία να είναι 120^ο. Στο σχήμα 1, όπως φαίνεται το σύστημα των ράβδων συνδέεται στο άκρο Α με το νήμα, ενώ στο σχήμα 2 συνδέεται στο άκρο Γ. Αν κόψουμε το νήμα στο σχήμα 1, το σφαιρίδιο εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α₁ ενώ αν κάνουμε το ίδιο στο σχήμα 2, το σφαιρίδιο εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α₂. Για τα δύο πλάτη των ταλαντώσεων ισχύει η σχέση:

α. Α₁ = 2Α₂                                         β. Α₁ = Α₂                                           γ. Α₂ = 2Α₁

Η συνέχεια εδώ.

Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις

Διαθέτουμε δυο όμοιες ορθογώνιες πλάκες, οι οποίες περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες, χωρίς τριβές. Στην  πρώτη (ΑΒΓΔ), ο άξονας περνά από την κορυφή Α, ενώ στη δεύτερη (ΕΖΗΘ) από το μέσον Μ της πλευράς ΕΘ.

Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Αν Ι₁ η ροπή αδράνειας της πρώτης πλάκας και Ι₂ της δεύτερης, ως προς τους άξονες περιστροφής τους, ισχύει:

α) Ι₁ < Ι₂,    β) Ι₁=Ι₂,   γ) Ι₁ > Ι₂.

ii) Αν στις πλάκες ασκείται η ίδια δύναμη F, όπως στο σχήμα με διεύθυνση μόνιμα παράλληλη στην ΑΒ και ΕΖ αντίστοιχα, τότε μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:

α) Η πρώτη πλάκα,  β) Η δεύτερη πλάκα,   γ) Οι πλάκες αποκτούν ίσες γωνιακές επιταχύνσεις.

iii) Αν οι πλάκες αρχικά είναι ακίνητες, μετά από μια περιστροφή τους θα έχουν κινητικές ενέργειες Κ₁ και Κ₂ όπου:

α) Κ₁ < Κ₂,     β) Κ₁ = Κ₂,      γ) Κ₁ > Κ₂.

iv) Αν κάποια στιγμή οι δύο πλάκες στρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, τότε:

α) Μεγαλύτερη ταχύτητα έχει η κορυφή Β ή η κορυφή Ζ;

β) Να συγκριθούν οι κινητικές ενέργειες των δύο πλακών.

γ) Να συγκριθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας των πλακών, αν πάνω τους ασκούνται οι δυνάμεις του ii) ερωτήματος.

Τα ερωτήματα είναι ανεξάρτητα και δεν αναφέρονται στην εξέλιξη ενός φαινομένου.

Απάντηση:

ή

  Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις

Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις