Ελατήριο με μάρσιππο.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο ελατήρια (το ένα μέσα στο άλλο), όπου το εξωτερικό έχει σταθερά k₁ = 100 N/m και το εσωτερικό k₂ = 400 N/m. Δένουμε (και στα δύο ελατήρια) σώμα Σ μάζας m = 1 kg σε τέτοια θέση ώστε το ελατήριο σταθεράς k₁ να έχει παραμόρφωση Δℓ₁ = 0,1 m και όταν αφήσουμε το σώμα Σ να ισορροπεί. Την χρονική στιγμή t₀ = 0, κόβουμε την σύνδεση του ελατηρίου σταθεράς k₂ με το σώμα Σ, οπότε αυτό αρχίζει να ταλαντώνεται. Την χρονική στιγμή t₁ = π/15 s, ασκείται στο σώμα Σ σταθερή δύναμη F μέτρου 15 Ν και φορά προς τα κάτω. Η δράση της δύναμης F διαρκεί μέχρι τη στιγμή που το σώμα περνά για πρώτη φορά από την θέση ισορροπίας της αρχικής ταλάντωσης.

α. Να βρείτε πόσο απέχουν τα φυσικά μήκη των ελατηρίων σταθεράς k₁, k₂

β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από την Θ.Ι. για το χρονικό διάστημα Δt = t₁ – t₀, θεωρώντας θετική την φορά προς τα κάτω

γ. Να υπολογίσετε την μεταβολή ενέργεια (ΔΕ = Ε₃ – Ε₁) της ταλάντωσης που πραγματοποιείται πριν την δράση της δύναμης F, (Ε₁) και μετά την κατάργηση αυτής (Ε₃).

δ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη δύναμη που δέχεται το Σ από το ελατήριο, κατά την διάρκεια της ταλάντωσης που πραγματοποιεί μετά την κατάργηση της δύναμης F.

Μια οβιδιακή μεταμόρφωση.Από την εξαναγκασμένη στην ελεύθερη αμείωτη αρμονική ταλάντωση.

Μια οβιδιακή μεταμόρφωση.Από την εξαναγκασμένη στην ελεύθερη αμείωτη αρμονική ταλάντωση.

Μια απλή αρμονική ταλάντωση και μια εξαναγκασμένη

Ένα σώμα μάζας 0,5kg είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=18Ν/m κι εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(ωt)  (μονάδες στο S.Ι.) σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου Ο.

i) Να βρεθούν οι εξισώσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθούν γραφικά στους ίδιους άξονες.

ii) Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης,  γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, έχουμε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας Ο, να υπακούει στην εξίσωση x=0,2∙ημ(5t)  (S.Ι.).

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις υ=υ(t) και α=α(t) της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Να βρεθούν οι εξισώσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθούν γραφικά στους ίδιους άξονες.

γ) Το άθροισμα Κ+U των δύο παραπάνω ενεργειών παραμένει σταθερό στη διάρκεια της ταλάντωσης; Να σχολιάστε το συμπέρασμα που καταλήγετε παράλληλα με την πρόταση ότι «στη διάρκεια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα (μέσω της εξωτερικής δύναμης) αντισταθμίζει τις απώλειες (που οφείλονται στις δυνάμεις απόσβεσης) και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό».

Απάντηση:

ή

Μια απλή αρμονική ταλάντωση και μια εξαναγκασμένη

Ποια σανίδα θα κινηθεί με μεγαλύτερη επιτάχυνση;

Οι δυο σανίδες είναι ολόιδιες.

Ο συμπαγής και ο κούφιος κύλινδρος έχουν ίδιες μάζες.

Ασκούμε ίδιες οριζόντιες δυνάμεις στις  σανίδες τέτοιες ώστε να κινηθούν.

Ουδείς των κυλίνδρων ολισθαίνει στην σανίδα του.

Ποια σανίδα θα αποκτήσει μεγαλύτερη επιτάχυνση;

Ποιος κύλινδρος θα αποκτήσει μεγαλύτερη επιτάχυνση;

Το πάτωμα παρουσιάζει τριβές με τις σανίδες με ίδιους συντελεστές μ.

Συνέχεια:

Πόσο θα πρέπει να απέχουν;

Το σώμα Σ₁ με μάζα m₁=1kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε τοίχο   όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα κατά d₁=0,4m από τη Θ.Ι. και την t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση στο λείο οριζόντιο δάπεδο.

Στην ίδια ευθεία με το σώμα Σ₁ κινείται προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα υ₂ δεύτερο σώμα Σ₂ με μάζα m₂=3kg που την χρονική στιγμή t=0 απέχει απόσταση d₂ από το δεξί άκρο του ελατηρίου όταν αυτό έχει το φυσικό του μήκος. Τα σώματα συγκρούονται πλαστικά στην θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος όταν το σώμα Σ₁ περνά για πέμπτη φορά από τη θέση αυτή.

Συνέχεια.... εδώ

Τίποτα δεν πάει χαμένο…

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Με την κρούση, κόβουμε και το νήμα» …με κατηγόρησε ο Βασίλης, ότι έκοψα το νήμα και …πήγε χαμένο!

Δεν ήξερε ότι το ένα κομμάτι μήκους l=20cm, θα το χρησιμοποιούσα στο επόμενο «πείραμα»!!! Το δίνω….

Δυο πλάκες με μάζες m₁=1kg και m₂=9kg ηρεμούν στην ίδια κατακόρυφη, στα άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές k₁=40Ν/m και k₂=160Ν/m αντίστοιχα, απέχοντας κατά h=1,2m. Μετακινούμε τα σώματα κατακόρυφα και τα δένουμε με το νήμα μήκους l=20cm, όπως στο σχήμα.

Σε μια στιγμή κόβουμε (ξανά!!!) το νήμα, οπότε τα σώματα αρχίζουν να ταλαντώνονται.

i) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης κάθε σώματος.

ii) Σε πόσο χρόνο η απόσταση των δύο σωμάτων θα γίνει ξανά 20cm για πρώτη φορά;

Απάντηση:

ή

Τίποτα  δεν πάει χαμένο…

Με την κρούση, κόβουμε και το νήμα

Ένα σώμα Σ μάζας m=4kg ηρεμεί δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μετακινούμε το σώμα προς τα αριστερά συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Δl και στη θέση αυτή το δένουμε με το νήμα, όπως στο κάτω σχήμα.

Ένα δεύτερο σώμα Β της ίδιας μάζας m κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με διεύθυνση τον άξονα του ελατηρίου, με σταθερή ταχύτητα υ₀=1m/s. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t₀=0. Τη στιγμή της κρούσης, με ένα ψαλίδι, κόβουμε ταυτόχρονα και το νήμα που συγκρατούσε το σώμα Σ. Μετά την κρούση το Σ κινείται προς τα αριστερά μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του τη στιγμή t₁=1/3s.

i)  Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση τους.

ii) Να βρεθεί η μεταβολή της φάσης της απομάκρυνσης του σώματος Σ, από την στιγμή της κρούσης έως τη στιγμή t₁.

iii) Να βρεθεί η αρχική συσπείρωση Δl του ελατηρίου.

iv) Αν τα δυο σώματα συγκρούονται ξανά κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t₂, ζητούνται:

 α) Η απόσταση των δύο σωμάτων, όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του, για πρώτη φορά.

 β) Πόσο καθυστέρησε η απόκτηση του φυσικού μήκους του ελατηρίου, εξαιτίας της δεύτερης κρούσης μεταξύ των σωμάτων;

γ)  Θεωρώντας τη θέση φυσικού μήκος του ελατηρίου, ως αρχή ενός οριζόντιου άξονα x, με θετική φορά προς τα δεξιά, να γράψετε τις συναρτήσεις x=x(t), της θέσης κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις τους.

Δίνεται ότι η διάρκεια κάθε κρούσης είναι αμελητέα, τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων και π²≈10.

Απάντηση:

ή

Με την κρούση, κόβουμε και το νήμα

Αποχωρισμός σε καθορισμένη στιγμή.

Ελατήριο σταθεράς k στερεώνεται στο δάπεδο και πάνω σε αυτό στερεώνουμε (δένοντας το) το σώμα Σ₁ μάζας m₁. Πάνω στο Σ₁ τοποθετούμε το Σ₂ μάζας m₂ έτσι ώστε τα δύο σώματα να βρίσκονται απλά σε επαφή. Ασκώντας κάποια δύναμη συμπιέζουμε το ελατήριο και δένουμε μέσω νήματος το σώμα Σ₁ με το δάπεδο όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα. Κάποια χρονική στιγμή, που την θεωρούμε ως στιγμή t₀ = 0 κόβουμε το νήμα και το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μέχρι την στιγμή που το Σ₂ αποχωρίζεται από το Σ₁. Για να μηδενιστεί η ταχύτητα του Σ₂ μετά από την αποχώριση από το Σ₁ χρειάζεται να περάσει χρονικό διάστημα Δt = 0,2√3s. Μόλις το Σ₂ φτάσει στο μέγιστο ύψος το πιάνουμε και το απομακρύνουμε ώστε να μην συγκρουστεί με το Σ₁. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₂, Δt′ = 0,1√3 s μετά την αποχώριση από το Σ₁ είναι ίσος με dK₂/dt = -15√3 J/s.

α. Να βρείτε την ταχύτητα την στιγμή της αποχώρισης των δύο σωμάτων.

β. Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης των Σ₁, Σ₂.

γ. Να βρείτε τις μάζες m₁ και m₂.

δ. Να βρείτε την τάση του νήματος πριν το κόψουμε το νήμα.

ε. Να γίνει η γραφική παράσταση της δύναμης Ν που δέχεται το Σ₂ από το Σ₁ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας, όσο αυτά είναι σε επαφή.

στ. Το πλάτος της ταλάντωσης του Σ₁.

Δίνεται g = 10 m/s², κάθε αντίσταση από τον αέρα θεωρείται αμελητέα και το ελατήριο είναι ιδανικό.

Θετική θεωρούμε την φορά προς τα πάνω.

   

Ελάχιστα και μέγιστα σε μια αρμονική ταλάντωση

Το βαγόνι του σχήματος έχει αρκετά μεγάλο μήκος και κινείται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α=80m/s² και ταχύτητα μέτρου...
Ελάχιστα  και μέγιστα σε μια αρμονική ταλάντωση

Μια ταλάντωση και το ύψος

Ένα σώμα Σ μάζας 1kg, εκτελεί αατ στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.

i)  Να αποδείξετε ότι το ύψος h του σώματος από το έδαφος, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.

ii)  Αν η γραφική παράσταση του ύψους του σώματος από το έδαφος είναι της μορφής του (α) σχήματος, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

iii) Σε μια επανάληψη του πειράματος, το σώμα Σ κάποια στιγμή t₁ συγκρούεται με δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται κατακόρυφα, με αποτέλεσμα η γραφική παράσταση του ύψους σε συνάρτηση με το χρόνο, να είναι της μορφής του (β) σχήματος.

 α) Η κρούση αυτή είναι πλαστική ή όχι και γιατί;

 β) Το σώμα Β πριν την κρούση είχε ταχύτητα προς τα πάνω ή προς τα κάτω;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

iv) Σε ένα άλλο πείραμα το σώμα Σ συγκρούεται με σώμα Γ, με αποτέλεσμα η αντίστοιχη γραφική παράσταση να είναι η (γ) στο παραπάνω σχήμα.

α) Πόση είναι η μάζα του σώματος Γ;

β) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Γ ελάχιστα πριν την κρούση.

Δίνεται g=10m/s² και π²≈10.

Απάντηση:

ή

 Μια ταλάντωση και το ύψος

 Μια ταλάντωση και το ύψος

Μια ταλάντωση και το ύψος

Μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση του σχήματος η γωνιακή
συχνότητα του διεγέρτη είναι 5 rad/s.
Μετά την πάροδο των μεταβατικών φαινομένων
αποκαθίσταται ταλάντωση πλάτους 0,2 m.
Η ταλάντωση έχει φάση μικρότερη αυτής του διεγέρτη κατά π/4.
1. Να υπολογίσετε την δύναμη του διεγέρτη και την απόσβεση.
2. Ποια πρέπει να είναι η συχνότητα του διεγέρτη ώστε η φάση της ταλάντωσης να είναι μικρότερη αυτής του διεγέρτη κατά 2π/3 ;

Συνέχεια: