Σύνδεση με μη αβαρή ράβδο

Με τη βοήθεια μιας ράβδου μάζας Μ_ρ=2kg και μήκους L  συνδέουμε τα κέντρα μάζας ενός δίσκου μάζας m₁=4kg και ενός δακτυλίου μάζας m₂=6kg , όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δίσκος  και η ράβδος έχουν ίδιες ακτίνες και η ράβδος δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Το σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κινηθεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο.

α) Βρείτε την επιτάχυνση του συστήματος.

β) Υπολογίστε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στο δίσκο και τον δακτύλιο.

γ) Υπολογίστε την δύναμη που δέχεται ο δίσκος στην 
συνέχεια εδώ

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε ένα σκαλοπάτι. Συνέχεια.

2. Το σκαλοπάτι δεν είναι λείο.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Το σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=20cm, με το οποίο εμφανίζει τριβή με συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,5. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F=20Ν στο άκρο Α του νήματος χωρίς να κινηθεί ο φλοιός.

i) Να υπολογίσετε την τριβή και την κάθετη αντίδραση που ασκείται στον κυλινδρικό φλοιό, από το σκαλοπάτι. 

ii)  Αυξάνουμε σιγά-σιγά το μέτρο της δύναμης F με σκοπό να κινηθεί ο φλοιός. Να εξετάσετε τι πρόκειται να συμβεί πρώτα:

 α) Ο φλοιός θα εκτελέσει περιστροφική κίνηση χωρίς να ανέβει στο σκαλοπάτι.

 β) Ο κυλινδρικός φλοιός θα αρχίσει να ανεβαίνει στο σκαλοπάτι, εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα ασκώντας οριζόντια δύναμη F₁=120Ν, με αποτέλεσμα  το στερεό να ανέβει στο σκαλοπάτι.

α) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο, του κυλινδρικού φλοιού.

β) Ποια τιμή παίρνει η παραπάνω επιτάχυνση μόλις το κέντρο Ο απέχει κατά h₁=60cm από το οριζόντιο επίπεδο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του φλοιού, ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε  ένα σκαλοπάτι. Συνέχεια.

Ενάμισυ δεύτερο θέμα στο στερεό

Πάνω σε ένα οριζόντιο χαρτόνι βρίσκονται ένας συμπαγής κύλινδρος και ένας κυλινδρικός φλοιός.

Έχουν ίσες μάζες, ίσες ακτίνες και παρουσιάζουν με το χαρτόνι ίδιους συντελεστές τριβής.

Τραβάω το χαρτόνι έτσι ώστε να κινείται με σταθερή επιτάχυνση.

Δυστυχώς αμφότερα τα σώματα ολισθαίνουν στο χαρτόνι.

Συνέχεια:

Πως θα τα τοποθετήσουμε;

Σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο αφήνουμε να κινηθούν μαζί ένας κύβος μάζας m₁=6kg και μία ομογενής συμπαγής σφαίρα μάζας m₂=10kg και ακτίνας R με δύο τρόπους,  την διάταξη 1 και τη διάταξη 2.

 Ο κύβος δεν εμφανίζει τριβές με το κεκλιμένο επίπεδο ούτε με τη σφαίρα. Η σφαίρα μπορεί να κυλίεται και ο συντελεστής οριακής τριβής ολίσθησης μεταξύ της σφαίρας και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μ_ορ=0,5. Αρχικά συγκρατούμε τη σφαίρα και τον κύβο ακίνητα με το χέρι μας και μια χρονική στιγμή που θεωρούμε μηδέν αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Οι διαστάσεις των σωμάτων είναι τέτοιες ώστε η ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων να είναι παράλληλη στην ευθεία του κεκλιμένου επιπέδου.

Α) Υποδείξτε σε ποια απο τις δύο διατάξεις τα σώματα μπορούν να κινηθούν μαζί με κοινή επιτάχυνση κέντρου μάζας.

Συνέχεια εδώ 

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε ένα σκαλοπάτι.

1. Το σκαλοπάτι είναι λείο.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Το σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,5, σε επαφή με λείο σκαλοπάτι, ύψους h=20cm. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F=20Ν στο άκρο Α του νήματος χωρίς να κινηθεί ο φλοιός.

i)  Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στον κυλινδρικό φλοιό.

ii)  Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=100Ν και παρατηρούμε ότι ο φλοιός περιστρέφεται, χωρίς να ανεβαίνει στο σκαλοπάτι. Για τη στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους l=1m:

α) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του φλοιού;

β) Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η κινητική του ενέργεια;

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F₃=300Ν με αποτέλεσμα  το στερεό να ανέβει στο σκαλοπάτι.

α) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο, του κυλινδρικού φλοιού.

β) Ποια τιμή παίρνει ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του κέντρου Ο, στη θέση όπου το Ο απέχει κατά h₁=60cm από το οριζόντιο επίπεδο; 

Δίνεται η ροπή αδράνειας του φλοιού, ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε  ένα σκαλοπάτι.

Διερευνώντας την ανατροπή και την ολίσθηση.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας «όρθιος» ομογενής κύλινδρος, μάζας Μ=60kg, ακτίνας R και ύψους 4R. Ασκούμε στο σημείο Α, το οποίο απέχει κατακόρυφη απόσταση y=R από το κέντρο μάζας Ο, μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα (η προβολή του κυλίνδρου στο επίπεδο κίνησής του).

i)  Ποιο το ελάχιστο μέτρο της δύναμης F για να ανατραπεί ο κύλινδρος, αν ο συντελεστής τριβής είναι αρκετά μεγάλος, ώστε να μην προηγηθεί ολίσθηση του κυλίνδρου;

ii)  Στο σημείο Α ασκούμε μεταβλητή οριζόντια δύναμη που το μέτρο της μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση F=4t (S.Ι.). Αν οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου έχουν τιμές μ=μ_s=0,3 ο κύλινδρος πρώτα θα ανατραπεί ή θα ολισθήσει;

iii) Ποια χρονική  στιγμή θα ανατραπεί ο κύλινδρος;

iv)  Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή που αρχίζει να ανατρέπεται.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

 ή

Διερευνώντας την ανατροπή και την ολίσθηση.

Το έργο και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου

Ένας ομογενής δίσκος μάζας 40kg και ακτίνας 0,5m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και περνά από το κέντρο του Ο. Γύρω από το δίσκο τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο Α του οποίου, ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=10Ν.

i) Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη στιγμή t₁ όπου το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπισθεί κατά x₁=4m.

ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου τη στιγμή t₁;

Απελευθερώνουμε τον παραπάνω  δίσκο από τον άξονα και τον τοποθετούμε σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

iii) Να βρεθεί ξανά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου τη στιγμή που το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπισθεί κατά 4m.

iv) Ποιος θα είναι τώρα ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου την παραπάνω στιγμή;

v) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση F=2t  (S.Ι.), διατηρώντας σταθερή την κατεύθυνσή της. Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του δίσκου τη χρονική στιγμή t₁=10s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

Το έργο και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου

Τράβηξε για να δούμε αν τα καταφέρεις…

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα ομογενές δοκάρι ΑΒ, μήκους 4m και μάζας Μ=50kg. Θέλοντας ένα παιδί να το ανασηκώσει, δένει το ένα του άκρο Α με σχοινί, το οποίο αφού περάσει από μια τροχαλία, στο άλλο του άκρο τραβάει ασκώντας δύναμη F, όπως στο σχήμα, όπου το τμήμα του νήματος μεταξύ τροχαλίας και δοκαριού, είναι κατακόρυφο.

i)  Αν F=100Ν το δοκάρι δεν ανασηκώνεται. Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκείται στο δοκάρι από το έδαφος και τη ροπή της ως προς το άκρο Α, αν:

 α) Δεν αναπτύσσονται τριβές ανάμεσα στο σχοινί και την τροχαλία.

 β) Υπάρχουν τριβές, με αποτέλεσμα να μην γλιστράει το νήμα στο αυλάκι της τροχαλίας.

ii) Αν κάποια στιγμή (t₀=0) το παιδί αυξήσει το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=300Ν, το δοκάρι αρχίζει να ανασηκώνεται. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που θα αποκτήσει, αμέσως μετά (t=0⁺), το άκρο Α του δοκαριού, όταν:

 α) Η τροχαλία έχει μάζα m=10kg και το σχοινί δεν γλιστράει στο αυλάκι της.

 β) Η τροχαλία έχει μάζα m=10kg και δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ τροχαλίας και σχοινιού.

 γ) Η τροχαλία έχει μάζα m=0,5kg και το σχοινί δεν γλιστράει στο αυλάκι της.

Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι₁= ½ mR², η ροπή αδράνειας του δοκαριού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον του Ι₂= (1/12)Μl² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Τράβηξε για να  δούμε αν τα καταφέρεις…

220. Προς τα που θα σπάσει ο άξονας περιστροφής;

Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας Μ=3Kg και μήκους L=1m μπορεί να περιστρέφεται στο οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το άκρο της Α. Στο άκρο της Β έχουμε κολλήσει μια σημειακή μάζα m=1Kg. Η ράβδος αρχικά ηρεμεί και στη συνέχεια (t₀=0), ασκούμε στο ελεύθερο άκρο Β της ράβδου εφαπτομενική δύναμη F=20N και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γων.

Τότε:

Α) Πόση είναι η δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής

α) αρχικά και

β) μετά από μια περιστροφή;

Β ) Πόση είναι η δύναμη ανάμεσα στη ράβδο και τη σημειακή μάζα m;

Γ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος της μάζας m και της ράβδου;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το σημείο Α, I_Α =∙M∙L².

 
Συνοπτική λύση:

Η επιτάχυνσης μιας σανίδας στον πάγο

Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί οριζόντια, μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l=4m και μάζας m=12kg. Σε μια στιγμή t₀=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=6Ν, η οποία ασκείται στο σημείο Κ, όπου (ΒΚ)=1m και αρχικά είναι κάθετη στη σανίδα. Τη χρονική στιγμή t₁=2s το σημείο εφαρμογής της δύναμης Κ, έχει μετατοπισθεί κατά x_Κ=1,6m στην διεύθυνση της ασκούμενης δύναμης, ενώ η σανίδα έχει περιστραφεί κατά γωνία θ, όπως στο σχήμα. Κατά την κίνηση της σανίδας δεν εμφανίζονται τριβές.

i) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Κ, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη (για t=0⁺).

ii) Να υπολογιστεί η γωνία περιστροφής θ της σανίδας.

iii) Πόση ενέργεια μεταφέρεται στη σανίδα μέσω του έργου της δύναμης από 0-t₁;

iv) Με ποιο ρυθμό μεταφέρεται ενέργεια στη σανίδα τη στιγμή t₁;

Απάντηση:

ή

Η επιτάχυνσης μιας σανίδας στον πάγο

Η κίνηση της πλάκας πάνω στο μηχανέλαιο

Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες

R₁=0,1m και R₂=0,2m και μάζες M₁=2kg και Μ₂=4kg αντίστοιχα. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα χωρίς  τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Η τροχαλία στερεώνεται σε τραπέζι στην επιφάνεια του οποίου έχει στρωθεί λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l=1mm, το οποίο συμπεριφέρεται ως νευτώνειο υγρό με συντελεστή ιξώδους n=0,25Pa·s. Πάνω στο λάδι ηρεμεί μια ξύλινη πλάκα μάζας m₁=lkg σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης A=200cm². Η πλάκα συνδέεται με την τροχαλία στο αυλάκι του μικρού δίσκου της μέσω μη εκτατού και αβαρούς νήματος, (νήμα 1).  Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό δεύτερο νήμα, (νήμα 2), στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα μάζας m₂=5kg. 

Συνέχεια εδώ