Μήκος Νήματος - Μέγιστο Βεληνεκές

Μια μικρή σφαίρα μάζας m είναι δεμένη στο άκρο ενός νήματος το μήκος του οποίου μπορεί να μεταβληθεί, το άλλο άκρο του νήματος βρίσκεται σε σημείο Ο  της οροφής ενός εργαστηρίου το οποίο απέχει από το έδαφος 4m. Το νήμα μπορεί να περιστραφεί γύρω από το σημείο Ο χωρίς τριβές. Στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και πάνω σε ένα τραπέζι το ύψος του οποίου επίσης μπορεί να μεταβληθεί βρίσκεται μια  άλλη όμοια σφαίρα. Ρυθμίζουμε κατάλληλα τόσο το μήκος του νήματος όσο και το ύψος του τραπεζίου, έτσι ώστε τα δύο σώματα να συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά όταν το νήμα γίνεται κατακόρυφο

Για συνέχεια εδώ.

Ένα Φρένο Σε Μια Τροχαλία

Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ_Ρ και μήκος L=3m και μπορεί να στρέφεται ως προς

κάθετο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α με την βοήθεια άρθρωσης. Πάνω στη ράβδο και σε απόσταση L/4 από το άκρο στήριξης έχει τοποθετηθεί ένα σώμα μάζας m=1kg. Αρχικά η ράβδος ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στη διπλή τροχαλία. Η τροχαλία αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με μάζες Μ₁=4kg και ακτίνα R₁=0,1m και Μ₂=8kg και ακτίνα R₂=0,2m. Στο άκρο του μικρού κυλίνδρου είναι περασμένο σώμα μάζας m₁=2kg. Στο άλλο άκρο του μεγάλου κυλίνδρου είναι περασμένο σχοινί που δένεται στο άκρο της ράβδου και είναι κάθετο σε αυτήν. (Σχήμα 1)

Α. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα μάζας m₁ και στην ράβδο και βρείτε τη μάζα της ράβδου.

Β. Κάποια χρονική στιγμή που θεωρούμε t=0s τοποθετούμε το σώμα m στο άκρο Α και συγκρατούμε την τροχαλία ακλόνητη με τη βοήθεια  φρένου όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Εκτοξεύουμε το σώμα m προς τα δεξιά από το άκρο Α με ταχύτητα μέτρου υ=0,5m/s. Αν μεταξύ των επιφανειών της ράβδου και του σώματος m δεν εμφανίζονται τριβές και το νήμα έχει όριο θραύσης Τ_θρ=15Ν να κάνετε τα διαγράμματα της δύναμης της στατικής τριβής που ασκεί το φρένο στην τροχαλία σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x του σώματος m από το σημείο Α και με το χρόνο t. Θεωρείστε ότι το φρένο ακουμπά εφαπτομενικά στην τροχαλία σε ένα σημείο.

η συνέχεια εδώ

Διαφορά πίεσης σε επιταχυνόμενο ρευστό

Ένα κυλινδρικό δοχείο γεμάτο με ιδανικό ρευστό, πυκνότητας ρ, αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης θ. Να βρεθεί η διαφορά πίεσης στα  άκρα μιας διαμέτρου παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο και στα άκρα μιας διαμέτρου κάθετης σε αυτό.

Η συνέχεια σε pdf ή σε Word

Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Ένας τροχός μάζας Μ κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F₁ η οποία ασκείται στον άξονά του Ο. Κάποια στιγμή ο τροχός συναντά κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου συνεχίζει την κύλισή του με την ίδια επιτάχυνση κέντρου μάζας, αλλά αφού χρειάστηκε να μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₂, με διεύθυνση παράλληλη στο επίπεδο.

i) Η τριβή η οποία ασκείται στον τροχό, κατά την κίνησή του:

 α) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο οριζόντιο επίπεδο.

 β) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο κεκλιμένο επίπεδο.

 γ) Και στα δυο επίπεδα η τριβή έχει το ίδιο μέτρο.

ii) Η παραπάνω κίνηση μπορεί να επιτευχθεί αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης (από F₁ σε F₂) κατά:

 α) ¼ Μgημθ,   β)  1/3 Μgημθ,  γ)  ½  Μgημθ,  δ)  Μgημθ

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Ένας κύλινδρος και τρία βαρέλια

Ένας κύλινδρος και τρία βαρέλια αφήνονται ταυτόχρονα στην ίδια

απόσταση  από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. Ο κύλινδρος Α έχει μάζα Μ και είναι συμπαγής και ομογενής. Τα βαρέλια Β, Γ, Δ είναι κούφιοι κύλινδροι. Οι παράπλευρες επιφάνειες τους έχουν αμελητέο πάχος, είναι κατασκευασμένες από διαφορετικά υλικά αλλά έχουν την ίδια μάζα m. Οι βάσεις τους (τα καπάκια των βαρελιών) έχουν αμελητέα μάζα. Τα τρία βαρέλια είναι γεμάτα με διαφορετικό υγρό το κάθε ένα. Τα υγρά θεωρούνται ιδανικά χωρίς ιξώδες. Για τις μάζες των υγρών mΒ, mΓ, mΔ που περιέχουν τα βαρέλια γνωρίζουμε ότι mB=m, mΓ< m ,mΔ> m , όπου m η μάζα του κάθε βαρελιού. Τόσο ο κύλινδρος όσο και τα βαρέλια κυλάνε χωρίς ολίσθηση προς τη βάση του κεκλιμένου. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι I=0,5ΜR^2. Η σειρά με την οποία τα σώματα θα φτάσουν στη βάση του κεκλιμένου είναι:

α) Όλα μαζί.
β) Πρώτος ο κύλινδρος Α και στη συνέχεια ταυτόχρονα τα βαρέλια Β, Γ, Δ.
γ) Πρώτο το βαρέλι Δ. Στη συνέχεια φτάνουν ταυτόχρονα ο κύλινδρος Α και το βαρέλι Β και τελευταίο το βαρέλι Γ.

• Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή.
• Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απαντηση

Ένας κύλινδρος σε υγρό και μια τροχαλία

Ένας κύλινδρος μάζας  m = 8kg    και εμβαδού βάσης Α = 50.10^-3 m² επιπλέει όρθιος και ηρεμεί σε ισορροπία μέσα υγρό  όπως φαίνεται στο σχήμα 1. 

Το δοχείο που περιέχει το υγρό έχει εμβαδόν βάσης A₁ =  200 .10^-3m³ και στη θέση  αυτή η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται σε ύψος  h=1m από τον πυθμένα του δοχείου.

Α. Αγνοείστε την ατμοσφαιρική πίεση και υπολογίστε τη δύναμη που δέχεται ο πυθμένας του  δοχείου από το υγρό.

Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ = 1000kg/m³, και η επιτάχυνση της βαρύτητας  g = 10 m/s².

Β.  Δένουμε τον κύλινδρο σε κατακόρυφο  αβαρές και μη εκτατό νήμα  ( ιδανικό νήμα) , όπως στο σχήμα 2 και φέρνουμε το σύστημα  σε ισορροπία.

Η συνέχεια ΕΔΩ.

Ένας κυλινδρικός φλοιός επιταχύνεται.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Α του νήματος, με αποτέλεσμα το σημείο Α να αποκτά μια σταθερή επιτάχυνση α_Α=0,9m/s², ενώ ο φλοιός κυλίεται.

i) Να βρεθεί η επιτάχυνση του άξονα του κυλινδρικού φλοιού.

ii) Να υπολογιστεί η μετατόπιση του άξονα Ο του φλοιού, τη στιγμή t₁ που το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπιστεί κατά x_Α=4,5m;  Πόσο νήμα έχει ξετυλιχθεί μέχρι τη στιγμή αυτή;

iii) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

iv) Τη στιγμή t₂=4s, ο κυλινδρικός φλοιός, περνά σε ένα δεύτερο λείο οριζόντιο επίπεδο, όπου συνεχίζει την κίνησή του, ενώ συνεχίζει να ασκείται η ίδια δύναμη F στο άκρο Α του νήματος. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του φλοιού με το επίπεδο, σημείο Γ, τη χρονική στιγμή t₃=7s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας κυλινδρικός φλοιός επιταχύνεται.

190. περιστροφή της πλάκας.

Η τετράγωνη πλάκα του σχήματος, μάζας Μ=0,3 Kg και πλευράς α=24 cm, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, που περνά από το κέντρο της Κ και είναι κάθετος σε αυτήν. Η πλάκα αρχικά ισορροπεί. Κάποια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε αρχή των χρόνων (t=0) κολλάμε στην κορυφή Α της τετράγωνης πλάκας μια σημειακή μάζα m=0,1 Kg και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο χωρίς τριβές να περιστραφεί. Να βρείτε:

α) τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος.

β) πόση είναι τότε η στροφορμή της τετράγωνης πλάκας και πόση της σημειακής μάζας m ως προς το κέντρο Κ;

γ) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος και της μάζας m, τη χρονική στιγμή t=0 και τη χρονική στιγμή που έχουμε τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

δ) τη δύναμη από την τετράγωνη πλάκα στη σημειακή μάζα m τη χρονική στιγμή t=0 και τη στιγμή που αυτή αποκτά τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

Δίνεται για την τετράγωνη πλάκα Ι_cm=Mα² και για τις πράξεις θεωρείστε και g=10m/s².

 

Συνοπτική λύση: