Διακρότημα

Δύο ταλαντώσεις πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x₁= Α ημ(10πt+π/2)  και x₂ = Α∙ημ(2πf₂t+π/2)    (S.Ι.)

Το αποτέλεσμα της σύνθεσης παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Ζητούνται:

Α)  Ποια τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων;

Β)   Πόση είναι η περίοδος του διακροτήματος;

Γ)   Η συχνότητα της δεύτερης ταλάντωσης.

Δ)  Οι διαφορές φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων τις  χρονικές στιγμές t₁=1,25s και t₂=2,5s

Απάντηση:

Σύνθεση ταλαντώσεων. Ένα φύλλο εργασίας.

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις και στο σχήμα φαίνονται οι επιμέρους απομακρύνσεις σε συνάρτηση με το χρόνο. Πάνω στο ίδιο διάγραμμα να σχεδιάστε τη συνολική απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας από εδώ.

Σύνθεση ταλαντώσεων 1. Φύλλο εργασίας

ΑΑΤ χωρίς ελατήριο

Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε πως μεταβάλλεται χρονικά η κινητική ενέργεια ενός σώματος Σ που εκτελεί ΑΑΤ σε λείο οριζόντιο δάπεδο υπό την επίδραση κατάλληλης δύναμης επαναφοράς της μορφής Fεπ=-Dx . Αν την χρονική στιγμή t=π/40s η απομάκρυνση του σώματος Σ είναι x=-0,1√2 m, να βρεθούν:

α. Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης.
β. Η μάζα του σώματος Σ και η σταθερά επαναφοράς D.

γ. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας.

Κάποια χρονική στιγμή το σώμα Σ συγκρούεται πλαστικά με κατακόρυφα κινούμενο σώμα ίσης μάζας.
δ. Να βρεθεί το πλάτος η ενέργεια το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας και η γωνιακή συχνότητα της νέας ταλάντωσης, αν η σύγκρουση γίνει την χρονική στιγμή: ι. π/20s ii. π/15s

Απάντηση

Άλλη μία άσκηση ταλάντωσης (τι σας θυμίζει;)

Το σώμα Σ₁ έχει μάζα m και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές στο οριζόντιο επίπεδο. Η οδοντωτή ράβδος Ρ είναι αβαρής, οριζόντια, στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου (που διέρχεται και από το κέντρο μάζας του Σ₁) και όλες οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω της είναι οριζόντιες. Ο οδοντωτός τροχός Σ₂ έχει κι αυτός μάζα m και μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από τον στερεωμένο άξονά του Ο, ως προς τον οποίο έχει ροπή αδράνειας Ι = ½∙m∙r². 

Αν εκτρέψουμε το Σ₁ οριζόντια από τη θέση ισορροπίας του κατά +Α προς τα δεξιά και τη στιγμή t = 0 το αφήσουμε ελεύθερο, αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση με τη βοήθεια του ελατηρίου, συμπαρασύροντας και τον τροχό σε στροφική ταλάντωση.

1.     Να δείξετε ότι η απομάκρυνση του Σ₁ είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. Συμπίπτει η σταθερά επαναφοράς D με τη σταθερά k του ελατηρίου;

2.     Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και πόση η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του Σ₁;

Απάντηση:

Μια απλή αρμονική ταλάντωση

1. Το ιδανικό ελατήριο του 1^ου σχήματος έχει σταθερά k=300N/m, είναι στερεωμένο στο ένα του άκρο, και στο άλλο έχει δεμένο σώμα Σ₁, μάζας m₁=2kg. Το Σ₁ είναι συγκολλημένο στο σημείο Λ με σώμα Σ₂, μάζας m₂=1kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Διεγείρουμε κατάλληλα το σύστημα ώστε να εκτελέσει ΑΑΤ με εξίσωση x=Aημωt. Αν Α=0,2m να υπολογίσετε:

(α) Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και την ολική ενέργεια της ΑΑΤ.

(β) Τους συντελεστές αναλογίας D₁ και D₂ μεταξύ συνισταμένης δύναμης και απομάκρυνσης για τις ΓΑΤ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂, καθώς και τη σχέση τους με τη σταθερά k του ελατηρίου.

2. Στο 2^ο σχήμα αντικαθιστάμε το αρχικό ελατήριο με δύο ιδανικά ελατήρια ίδιου φυσικού μήκους, με σταθερές k₁=200N/m και k₂=100N/m και ξαναθέτουμε το σύστημα σε ΑΑΤ με εξίσωση x=Aημωt. Να υπολογίσετε πάλι τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του καθενός από τα δύο ελατήρια και την ολική ενέργεια της ΑΑΤ.

3. Τέλος, στο 3^ο σχήμα έχουμε αλλάξει τη θέση του 2^ου ελατηρίου, στερεώνοντάς το στο σώμα Σ₂, έτσι ώστε στη θέση ισορροπίας τα δύο ελατήρια να έχουν πάλι το φυσικό τους μήκος. Θέτουμε ξανά το σύστημα σε ΑΑΤ με εξίσωση x=Aημωt.

(α) Να υπολογίσετε πάλι τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του καθενός από τα δύο ελατήρια και την ολική ενέργεια της ΑΑΤ.

(β) Να υπολογίσετε, σε τυχαία απομάκρυνση, τη δύναμη που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο στο σημείο συγκόλλησης. Τι θα γίνει αν, καθώς το σύστημα εκτελεί την ΑΑΤ, ρίξουμε λίγο διαλυτικό στην κόλλα;

Απάντηση:

ή με κλικ ΕΔΩ.

Φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Δίνεται το κύκλωμα, όπου το αμπερόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη Ι=2Α, ενώ ο αντιστάτης  έχει αντίσταση R=5Ω. Σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε t=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ. Το πηνίο είναι ιδανικό.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας

i)   Αμέσως μετά (χρονική στιγμή t=0⁺):

α)   Ο πυκνωτής εκφορτίζεται.

β)   Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο θα αυξηθεί (κατά απόλυτο τιμή).

γ)    Ο πυκνωτής δίνει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό 20J/s.

ii)   Τη χρονική στιγμή t₁=Τ  όπου Τ η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, πάνω στον αντιστάτη παράγεται θερμότητα με ρυθμό μικρότερο από 20J/s.

Δίνεται ότι οι τιμές της χωρητικότητας του πυκνωτή και της αυτεπαγωγής του πηνίου είναι τέτοιες,  που στο κύκλωμα μετά το άνοιγμα του διακόπτη, να πραγματοποιούνται φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

Απάντηση

Φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Εξαναγκασμένη Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Στο διπλανό κύκλωμα η τάση της πηγής δίνεται από την εξίσωση V=20∙ημ(5.000t+φ_ο) (S.Ι.), ενώ το πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο μεταβλητός πυκνωτής έχει αρχικά χωρητικότητα C₁=5μF.  Το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση:

q= 2∙10^-6∙ημωt  (S.Ι.).

i)    Να βρεθεί η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος.

ii)   Πόσο είναι το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t₁=π∙10^-4s;

iii)  Ποια είναι η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα;

iv)  Να υπολογιστούν οι μέγιστες τιμές της ενέργειας του πυκνωτή και του πηνίου.

v)  Αν αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή στην τιμή C₂=6μF, η ένδειξη του αμπερομέτρου:

α) θα αυξηθεί,        β) θα παραμείνει σταθερή               γ) θα μειωθεί.

vi)   Ποια τιμή πρέπει να πάρει η χωρητικότητα του πυκνωτή, ώστε το αμπερόμετρο να δείξει μέγιστη ένδειξη;  Για την παραπάνω τιμή της χωρητικότητας, τι θα  συμβεί με την ένδειξη του αμπερομέτρου, αν μειώσουμε την αντίσταση του αντιστάτη;

Απάντηση

Εξαναγκασμένη Ηλεκτρική Ταλάντωση

Ελεύθερη και Εξαναγκασμένη Αρμονική Ταλάντωση

Δύο σημεία Κ και Η βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=10m. Πάνω στη γραμμή που τα ενώνει μπορεί να κινείται χωρίς τριβή υλικό σημείο Ν μάζας m=1Kg, το οποίο δέχεται από τα σημεία Κ και Η ελκτικές δυνάμεις που έχουν μέτρα F1 =10(KN) (SI) και F2 =15(HN) (SI) όπου (ΚΝ) και (ΗΝ) οι αποστάσεις του υλικού σημείου Ν από τα Κ, Η αντίστοιχα.
Α) Να δείξετε ότι το υλικό σημείο Ν εκτελεί Απλή (ή Ελεύθερη) Αρμονική Ταλάντωση.
Β) Αν το υλικό σημείο Ν περνάει από το σημείο Κ με ταχύτητα μέτρου υ1 =40 m/s, ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης;
Γ) Αν κατά τη διάρκεια της κίνησης ασκείται στο υλικό σημείο δύναμη αντίστασης της μορφής Fαντ =-(9/4)υ (S.I) και εξωτερική δύναμη της μορφής F=Fmaxημ(4t) (S.I) τότε η απομάκρυνση του υλικού σημείου από τη θέση Ο περιγράφεται από την εξίσωση:
x= 10ημ(4t-π/4) (S.I)
i) Για ποια τιμή Fmax της εξωτερικής δύναμης το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=10m;
ii) Να υπολογίσετε το λόγο Umax /Kmax όπου Umax η μέγιστη δυναμική και Kmax η μέγιστη κινητική ενέργεια του ταλαντωτή.
Τι συμπέρασμα προκύπτει από αυτή την τιμή του λόγου;

Απάντηση
¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

Εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ένα φύλλο εργασίας.

Στα παρακάτω σχήματα δίνονται 3 ζεύγη διαγραμμάτων για το πλάτος της εξαναγκασμένης, καθώς και αντίστοιχο το πλάτος της ταχύτητας. Ποιο ζεύγος είναι σωστό;

Μπορείτε να κατεβάσετε το φύλλο εργασίας από εδώ.

Εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ένα φύλλο εργασίας

Αμείωτη και φθίνουσα Ηλεκτρική ταλάντωση.

Το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος, εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με το διακόπτη κλειστό και στο διπλανό σχήμα δίνεται το φορτίο του πυκνωτή (το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή) σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνονται ακόμη η χωρητικότητα του πυκνωτή C=0,4μF, ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου L=0,3Η και η αντίσταση του αντιστάτη R=100Ω.

i)   Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης και το πλάτος του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

ii)  Βρείτε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή t₁ (που δίνεται στο διάγραμμα) και σχεδιάστε πάνω στο κύκλωμα τη φορά του ρεύματος.

iii)  Τη στιγμή t₁ ανοίγουμε το διακόπτη. Για αμέσως μετά (στιγμή t₁+0⁺) να βρεθούν:

α)  Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή.

β) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη.

γ)  Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πηνίου.

iv)  Πόση συνολικά θερμότητα θα παραχθεί πάνω στον αντιστάτη με το διακόπτη ανοικτό;

Απάντηση:

Αμείωτη και φθίνουσα Ηλεκτρική ταλάντωση

Φθίνουσες Ταλαντώσεις. Φύλλο εργασίας.

Δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από την αρχική θέση ισορροπίας για το παραπάνω σώμα, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε Word από εδώ.

Φύλλο εργασίας. Φθίνουσες ταλαντώσεις