55. ΦΘΙΝΟΥΣΑ – ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Σε ταλαντωτή που αποτελείται από μάζα m=2Kg και ελατήριο σταθεράς Κ, προσφέρουμε μια φορά ενέργεια τη χρονική στιγμή t₀=0 και αυτός πραγματοποιεί φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο T=1s, όση και η περίοδος της ελεύθερης και αμείωτης ταλάντωσης του συστήματος. Η ταλάντωση είναι της μορφής x=A×συνωt, ενώ το πλάτος της μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=10×e^-ln2×t (cm).

Στη συνέχεια μετά από χρόνο t=2s, εξασκούμε εξωτερική περιοδική δύναμη με περίοδο T΄= s και ο ταλαντωτής πραγματοποιεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με πλάτος Α αυτό που είχε τη στιγμή t=2s.

α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο t, για την εξαναγκασμένη ταλάντωση,

β) Να υπολογίσετε το μέτρο της εξωτερικής περιοδικής δύναμης όταν ο ταλαντωτής m, περνάει από τη θέση ισορροπίας (x=0). Δίνεται Λ=.

γ) Να υπολογίσετε το μέγιστο ρυθμό , με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα μέσω της δύναμης απόσβεσης. Ποια χρονική στιγμή γίνεται αυτός μέγιστος για πρώτη φορά;

δ) Να υπολογίσετε τη συχνότητα συντονισμού του συστήματος και τη σταθερά Κ του ελατηρίου. Να γράψετε τις σχέσεις της δυναμικής της κινητικής και της ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας (x=0) και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Τι παρατηρείτε;

ε) Να γράψετε τη σχέση που δίνει τη συνολική δύναμη ΣF σε συνάρτηση με το χρόνο t, για την εξαναγκασμένη ταλάντωση,

στ) Να γίνει η γραφική παράσταση x(t) και Α(t) από την αρχή του φαινομένου και για χρόνο t=2T+2T΄ s.

ζ) Αν το πλάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισμό είναι Α₀=1m ποιο είναι τότε το έργο που πρέπει να προσφερθεί, κατά το συντονισμό από την εξωτερική περιοδική δύναμη σε χρόνο Δt=10 s, από τη στιγμή που άρχισε να εξασκείται η δύναμη, ώστε να πραγματοποιείται η εξαναγκασμένη ταλάντωση;

Δίνεται π²=10.

Λύση