ΘΕΜΑ 4ο Ένα στερεό και μια ταλάντωση.

Στερεό Ρ μάζας Μ=8Kg αποτελείται από ομόκεντρους ομογενείς δίσκους δ και Δ, με ακτίνες r και R=2r αντίστοιχα, στις περιφέρειες των οποίων έχουν τυλιχθεί πολλές φόρες αβαρή μη εκτατά νήματα. Η ροπή αδρανείας του στέρεου Ρ ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι=Mr².

Υλικό σημείο Σ μάζας m=1Kg είναι κολλημένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m, το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο. Ο άξονας του ελατηρίου διέρχεται από το κέντρο του στερεού Ρ.  Το κατώτατο σημείο Α του στερεού Ρ έχει δεθεί μέσω αβαρούς νήματος με το υλικό σημείο Σ.

Α. Το νήμα του δίσκου δ έχει δεθεί σε οροφή, ενώ αυτό του δίσκου Δ έλκεται από κατακόρυφη δύναμη F ώστε η διάταξη να ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα, με τα νήματα κατακόρυφα και τεντωμένα και το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F.

Β. Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα ΑΣ.

Β1. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ, θεωρώντας την αρχική απομάκρυνση  θετική.

Β2. Να υπολογίστε τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού P. Τα νήματα δε γλιστρούν στις περιφέρειες των δίσκων.

Γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή που κινητική ενέργεια του στερεού Ρ ισούται με την ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ.

Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. 

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση: